Rectas paralelas a los ejes
Cuando se marca una cancha de fútbol en una colonia de Santa Tecla, las líneas de borde son siempre rectas «derechitas»: unas van siempre a la misma altura y otras siempre a la misma distancia hacia los lados. Hay rectas tan sencillas que no necesitás ninguna fórmula para escribir su ecuación: las paralelas a los ejes. ¿Cómo se escriben las líneas que delimitan una cancha? Lo vas a resolver al final de la página.
Rectas paralelas al eje X
Fijate que, camines por donde camines sobre la recta, la altura no cambia: por eso la ecuación solo menciona a $y$.
También podés deducirla con la forma punto-pendiente, $y - y_1 = m(x - x_1)$. Una recta horizontal no sube ni baja, así que su pendiente es $m = 0$. Al reemplazar queda $y - y_1 = 0$, es decir, $y = y_1$: la ordenada del punto por el que pasa.
Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Rectas paralelas al eje Y
La forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$ no sirve aquí: una recta vertical no tiene pendiente definida (más adelante verás por qué), así que no se puede escribir con $m$. Por eso se describe directamente con la abscisa que comparten todos sus puntos: $x = x_1$.
Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Escribe la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Reconocerlas a partir de dos puntos
Movés el punto en el plano y observá cómo cambian sus coordenadas:
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escribe su ecuación.
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escribe su ecuación.
Verlas en la ecuación general
En la ecuación general $Ax+By+C=0$, la recta es paralela a un eje cuando falta una de las dos variables: si falta la $y$ ($B=0$) es vertical; si falta la $x$ ($A=0$) es horizontal.
Determina el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escribe la ecuación resultante.
Determina el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escribe la ecuación resultante.
Aplicaciones: bordes de rectángulos
Una recta también se puede describir con ecuaciones paramétricas: dos fórmulas que dan $x$ e $y$ en función de un parámetro $t$ que recorre los números reales. Para una recta horizontal $y=k$ son $x=t$, $y=k$; para una vertical $x=k$ son $x=k$, $y=t$.
Una recta que divide por la mitad un rectángulo alineado con los ejes pasa por el punto medio de sus lados, o sea, por el promedio de las coordenadas de los bordes.
Las canchas, las pantallas o los planos están llenos de rectas paralelas a los ejes: son los bordes de cualquier rectángulo alineado con ellos. Si el centro está en $(a, b)$, el ancho es $w$ y el alto es $h$, los lados son $x = a \pm \frac{w}{2}$ e $y = b \pm \frac{h}{2}$.
Volvé al principio: las cuatro líneas de una cancha centrada en el origen son dos horizontales y dos verticales, de la forma $y=\pm k_1$ y $x=\pm k_2$.
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escribe las ecuaciones paramétricas y la…
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación general de esta recta.
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y…
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y $60\text{ m}$ de ancho (situado sobre el eje $Y$), escribe las ecuaciones de las cuatro líneas rectas que delimitan el terreno de juego.
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si situamos el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda,…
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si situamos el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda, escribe las ecuaciones de las dos líneas rectas (una horizontal y otra vertical) que dividen la pantalla exactamente en cuatro cuadrantes iguales.
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escribe las ecuaciones…
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escribe las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen a sus lados.