Ejercicios de cónicas
Después de un sismo cerca de la costa, tres estaciones del MARN registran la onda al mismo tiempo. ¿Cómo localizás el epicentro? Ya conocés las cuatro cónicas por separado. Ahora el reto es reconocerlas rápido, ya sea por su ecuación o por la condición que cumplen sus puntos, y resolver el problema completo. Al final de la página volvés a este sismo.
¿Qué cónica es? Mirá la ecuación
Para obtener centro, vértices y focos hay que completar cuadrados, igual que con los productos notables.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos…
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.
¿Qué cónica es? Mirá el enunciado
Cuando no hay ecuación, fijate en la condición que cumplen los puntos $P(x,y)$:
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Mediatriz y bisectrices
Dos lugares geométricos sencillos aparecen siempre en los problemas.
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Mediatriz de $AB$: puntos a la misma distancia de $A$ y de $B$. Es la recta perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio.
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Bisectrices de dos rectas: puntos a la misma distancia de ambas rectas.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Lugares geométricos con pendientes o con directriz
Dos situaciones más producen cónicas:
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El producto de las pendientes de $PA$ y $PB$ es constante.
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El cociente entre la distancia a un punto (foco) y a una recta (directriz) es constante, igual a $e$.
El método es siempre el mismo: escribí la condición con $x$ e $y$, quitá denominadores o raíces y reducí.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical…
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.
Circunferencia: centro, radio, tres puntos y distancia a una recta
Dos formas de la ecuación:
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Canónica: $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, con centro $(h,k)$ y radio $r$.
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General: $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, con centro $\left(-\tfrac D2,-\tfrac E2\right)$ y $r^2=h^2+k^2-F$.
Si te dan tres puntos, sustituí cada uno en la forma general. Salen tres ecuaciones con $D$, $E$ y $F$. Otra opción es cortar dos mediatrices: el punto donde se cruzan es el centro, que está a la misma distancia de los tres puntos.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma…
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación…
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.
Elipse: de la descripción a la ecuación
Con el centro en el origen y el eje focal horizontal, $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ con $a>b>0$. Se cumple $c^2=a^2-b^2$, los focos son $(\pm c,0)$ y $e=\dfrac ca<1$. Si el eje focal es vertical, $a^2$ va debajo de $y^2$ y los focos son $(0,\pm c)$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
Hipérbola: ramas, asíntotas y la hipérbola equilátera
Con centro en el origen y eje focal horizontal, $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Aquí $c^2=a^2+b^2$, los vértices son $(\pm a,0)$, los focos $(\pm c,0)$, las asíntotas $y=\pm\dfrac bax$ y $e=\dfrac ca>1$. En la elipse $a$ es el mayor; en la hipérbola, $a^2$ es simplemente el denominador del término positivo.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas.…
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve:
- a) Halla la ecuación de la trayectoria.
- b) Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos.
- c) Representa gráficamente la curva (en la figura tienes los ejes y el punto $P$; puedes copiarla en tu cuaderno).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Parábola en problemas de contexto
Con vértice en el origen:
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$y^2=4px$ (se abre a la derecha si $p>0$, a la izquierda si $p<0$): foco $(p,0)$, directriz $x=-p$.
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$x^2=4py$ (se abre hacia arriba si $p>0$, hacia abajo si $p<0$): foco $(0,p)$, directriz $y=-p$.
El lado recto mide $|4p|$. Mové $p$ y observá cómo cambia la abertura:
En los problemas de contexto, lo difícil es colocar los ejes de forma que el vértice sea fácil de ubicar.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Cónicas y rectas: puntos de intersección y tangentes
Para hallar los puntos de intersección, despejá una variable de la recta y sustituila en la cónica. Queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante $\Delta$ decide: $\Delta>0$, dos puntos (secante); $\Delta=0$, uno (tangente); $\Delta<0$, ninguno.
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las…
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.
Tangentes desde un punto, ángulos y eje radical
Tangentes desde un punto exterior
Escribí la recta que pasa por el punto con pendiente $m$ y exigí que su distancia al centro sea igual al radio. Resolvés una ecuación en $m$ (si hay una recta vertical, revisala aparte).
Ángulo entre dos rectas
Si las pendientes son $m_1$ y $m_2$, entonces $\tan\theta=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|$. Por ejemplo, con $m_1=3$ y $m_2=\tfrac12$: $\tan\theta=\left|\dfrac{-5/2}{5/2}\right|=1$, así que $\theta=45^\circ$. Esto sirve para ver cómo se refleja un rayo en una parábola: el ángulo entre el rayo y la tangente es el mismo que entre la tangente y el rayo reflejado, que sale paralelo al eje.
Eje radical de dos circunferencias
Si restás las ecuaciones generales de dos circunferencias, los términos $x^2$ y $y^2$ se cancelan y queda una recta: el eje radical. Si las circunferencias se cortan, esa recta pasa por los dos puntos de intersección.
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación…
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de…
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la…
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.