Secciones cónicas y lugares geométricos
Dos estaciones del MARN registran un sismo y las dos dicen que el epicentro estuvo a la misma distancia de cada una. ¿Dónde pudo ocurrir? No es un solo punto: son infinitos, y forman una figura que podés describir con una ecuación. Y si en lugar de «la misma distancia» la condición fuera otra, aparecerían curvas como las de una antena parabólica, una cancha elíptica o una torre de enfriamiento. En esta página aprendés a convertir una condición de distancias en una ecuación.
Lugar geométrico: qué es y cómo se plantea
Arrastrá el punto y observá cómo se mantiene la condición de equidistancia.
El método es siempre el mismo:
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Llamás $P(x, y)$ al punto genérico del lugar.
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Escribís la condición con la distancia entre dos puntos, $d(P, A) = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$.
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Simplificás (elevando al cuadrado si hay raíces) hasta llegar a una ecuación en $x$ e $y$.
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Identificás la figura que representa.
Graficar el lugar geométrico de una ecuación
También se puede ir en el sentido contrario: te dan una ecuación y tenés que dibujar el lugar geométrico. Se hace con una tabla de valores y, mejor aún, reconociendo la forma. Por ejemplo, $x^2 + y^2 = 25$ dice que $d(P, O) = 5$: es la circunferencia de centro el origen y radio $5$.
Para la ecuación $y = \dfrac{x^2}{4}$ la tabla da los puntos $(0, 0)$, $(\pm 2, 1)$, $(\pm 4, 4)$, y al unirlos aparece una curva abierta. Movela y comprobalo:
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Hallar el centro de un círculo con tres puntos
Si un punto equidista de $A$, $B$ y $C$, está en la mediatriz de $AB$ y en la de $AC$. Por eso el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos es la intersección de dos mediatrices.
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Cuando una distancia es múltiplo de la otra
Ahora la condición es $d(P, A) = k \cdot d(P, B)$ con $k \neq 1$. Como hay raíces en los dos lados, elevás al cuadrado y completás cuadrados perfectos.
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Sumas y diferencias de cuadrados de distancias
Si la condición ya trae las distancias al cuadrado, no hay raíces y la cuenta es más corta.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Distancia a una recta y lugares con rectas
Para condiciones que involucran rectas necesitás la distancia de un punto a una recta.
Con esta fórmula, dos tipos de lugares se resuelven igual: se plantea la igualdad y se quita el valor absoluto con $\pm$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Suma o diferencia de distancias constante
Si la suma o la diferencia de las distancias (sin elevar al cuadrado) a dos puntos fijos es constante, aparecen curvas nuevas. Una cuerda tensa clavada en dos estacas es la forma de dibujarlas en el terreno.
Con una raíz sola de un lado, el truco es aislar una raíz y elevar al cuadrado dos veces.
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Distancia a un punto y a una recta
Si la condición compara la distancia a un punto $F$ con la distancia a una recta $r$, el resultado depende del factor de comparación. Con el factor $1$ se obtiene la parábola: el foco $F$ y la directriz $r$.
Si el factor no es $1$, el mismo método da otras curvas: por ejemplo, si la distancia a la recta es el doble de la distancia al punto, el lugar es una elipse. Se hace igual: planteás, elevás al cuadrado y simplificás.
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1.0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Un objeto se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determiná la ecuación…
Un objeto se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determiná la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
Otras condiciones: pendientes, ejes y tangencias
No todas las condiciones hablan de distancias entre puntos. Mirá tres que aparecen seguido.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Hallá analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describí la figura resultante.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
Si el plano es paralelo a una generatriz, la curva se abre y no se cierra: es la parábola. Si el plano es más «vertical» y corta las dos hojas del cono (el cono y su gemelo opuesto por el vértice), salen las dos ramas de la hipérbola.
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Volvé al principio: los puntos que equidistan de las dos estaciones forman la mediatriz del segmento que las une, una recta. Con una tercera estación, el punto que equidista de las tres es la intersección de dos mediatrices, el centro de la circunferencia que pasa por las tres. Así se ubica un epicentro cuando se conocen las tres distancias.