Tendencia y periodicidad
Un día de calor en Asunción, sacás una gaseosa de la heladera y la dejás sobre la mesa: se va entibiando, pero nunca supera la temperatura del comedor. Las mareas del mar, en cambio, suben y bajan repitiendo el mismo ciclo una y otra vez. Son dos comportamientos a largo plazo muy distintos: la tendencia hacia un valor y la periodicidad. En esta página aprendés a reconocerlos y a usarlos para hacer predicciones.
Tendencia cuando $x$ crece indefinidamente
La forma más simple de descubrir una tendencia es armar una tabla con valores de $x$ cada vez más grandes y mirar hacia dónde van los resultados.
Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál crees que es su tendencia cuando la variable independiente $x$…
Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál crees que es su tendencia cuando la variable independiente $x$ tiende a $+\infty$?
| $x$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10000$ | $100000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $3,85$ | $3,98$ | $3,999$ | $3,9999$ | $3,99999$ |
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo…
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo avanza indefinidamente? ¿Cómo se llama matemáticamente a la recta horizontal a la que se aproxima la curva?
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el depósito de riego de una finca agrícola depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten…
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el depósito de riego de una finca agrícola depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten simultáneamente, según la función $t(n) = \frac{120}{n}$. ¿Hacia qué valor tiende el tiempo de vaciado si el número de bombas que utilizamos tiende a infinito?
Tendencia de funciones racionales
Una función racional es un cociente de polinomios. Cuando $x$ es enorme, en el numerador y en el denominador domina el término de mayor grado: los demás casi no pesan.
Si el denominador tiene mayor grado que el numerador, la fracción se achica y tiende a $0$ (por ejemplo, $\dfrac{15t}{t^2+5}$). Si tiene menor grado, crece sin acercarse a ningún valor.
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión…
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcula la concentración a las $2\text{ horas}$, a las $10\text{ horas}$ y a las $100\text{ horas}$. A partir de estos resultados, ¿cuál es la tendencia de la concentración a largo plazo?
Una pequeña fábrica de championes tiene unos costos fijos diarios de $5\,600\,000\text{ \text{₲}\ }$ (alquiler, luz, seguros) y fabricar cada par de championes tiene un…
Una pequeña fábrica de championes tiene unos costos fijos diarios de $5\,600\,000\text{ \text{₲}\ }$ (alquiler, luz, seguros) y fabricar cada par de championes tiene un costo de materiales de $35\,000\text{ \text{₲}\ }$. El costo medio por champión al fabricar $x$ pares al día viene dado por la función $C_m(x) = \frac{5\,600\,000 + 35\,000x}{x}$. Calculá el costo medio si se fabrican $10$, $100$ y $5000$ championes en un día. ¿A qué valor tiende el costo medio si el volumen de producción tiende a infinito?
Los beneficios mensuales de una empresa emergente (en miles de guaraníes) desde su creación vienen dados por la función racional $B(x) = \frac{ax + 350\,000}{x + 2}$,…
Los beneficios mensuales de una empresa emergente (en miles de guaraníes) desde su creación vienen dados por la función racional $B(x) = \frac{ax + 350\,000}{x + 2}$, donde $x$ es el número de meses transcurridos. Si sabemos que en el mes inicial ($x=0$) el beneficio fue de $175\,000\text{ mil \text{₲}\ }$ y que, a largo plazo, los estudios de mercado indican que los beneficios tienden a estabilizarse en $840\,000\text{ mil \text{₲}\ }$ mensuales, determiná el valor exacto del parámetro $a$ y calculá el beneficio esperado para el mes $8$.
Usar la tendencia para comparar y decidir
Saber la tendencia ayuda a responder preguntas del tipo «¿cuánto tiempo hasta alcanzar tal valor?» y «¿cuál va a ganar a largo plazo?».
La temperatura interna de un motor industrial en funcionamiento (medida en $^\circ\text{C}$) sigue la ley matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, donde $t$ es el…
La temperatura interna de un motor industrial en funcionamiento (medida en $^\circ\text{C}$) sigue la ley matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde el encendido. ¿Cuál es la temperatura en el momento de arrancar el motor? ¿Hacia qué temperatura máxima tiende si el motor funciona de forma ininterrumpida durante semanas? ¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la temperatura interna alcance los $85^\circ\text{C}$?
Las ventas diarias estimadas de dos productos competidores, A y B, siguen las siguientes funciones de tendencia con el paso de los días $t$:…
Las ventas diarias estimadas de dos productos competidores, A y B, siguen las siguientes funciones de tendencia con el paso de los días $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ y $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. ¿Hacia qué valores límite tienden las ventas de cada producto a largo plazo? ¿A partir de qué día $t$ las ventas del producto B superan definitivamente a las del producto A?
Tendencia en modelos exponenciales
También hay modelos con la forma $\dfrac{M}{1 + k \cdot b^t}$ (crecimiento con límite, como una población en una reserva). Con $0 < b < 1$, el término $b^t \to 0$ y el denominador tiende a $1$: la función tiende a $M$.
Hay otras funciones que oscilan pero se van apagando, como un saltador de puenting: sube y baja cada vez menos hasta quedarse en reposo. No son periódicas, porque cada ciclo es distinto, pero sí tienen tendencia: el valor en el que el saltador queda colgado.
Sacamos una lata de gaseosa de la heladera a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a…
Sacamos una lata de gaseosa de la heladera a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a $23^\circ\text{C}$. ¿A qué temperatura tenderá la gaseosa si la dejamos ahí durante varios días sin abrir?
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, donde $t$ es el tiempo…
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde el inicio del estudio. ¿Cuál era la población inicial en el año $t=0$? ¿Hacia qué valor tiende la población a largo plazo cuando $t \to +\infty$? ¿Tiene sentido ecológico este límite?
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de puenting* a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde:…
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de puenting a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde: ¿cuál es el "periodo" temporal aproximado entre los dos primeros rebotes? ¿Se puede considerar que es una función estrictamente periódica? ¿Hacia qué valor tiende la altura del saltador cuando el tiempo tiende a infinito y qué representa físicamente ese valor?
Funciones periódicas
Para calcular $f(x)$ con un $x$ lejano, se divide $x$ por $T$ y se usa el resto: si $x = n \cdot T + r$ con $n$ entero, entonces $f(x) = f(r)$.
Clasifica los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas: La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.…
Clasifica los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas:
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La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.
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El movimiento de la aguja de los minutos en un reloj de pared.
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El saldo disponible en una cuenta corriente a lo largo del año.
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El ciclo de las fases de la Luna.
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Una función periódica tiene un periodo $T = 5$. Si conocemos sus valores en el primer ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ y $f(5) = 1$, calcula de…
Una función periódica tiene un periodo $T = 5$. Si conocemos sus valores en el primer ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ y $f(5) = 1$, calcula de forma razonada el valor de $f(14)$.
Leer el periodo en un gráfico
En un gráfico, el periodo es la distancia horizontal entre dos puntos equivalentes (dos picos consecutivos, dos valles consecutivos, o el principio y el fin de un ciclo completo). Una vez que lo tenés, el gráfico del primer ciclo alcanza para conocer toda la función.
Las funciones $\operatorname{sen}(x)$ y $\cos(x)$ de la figura son periódicas, con periodo $2\pi$ (unos $6{,}28$). La tangente, $\operatorname{tg}(x)$, también es periódica, pero con periodo $\pi$: $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg}(x)$. Además, no está definida en $\dfrac{\pi}{2}$ ni en $\dfrac{3\pi}{2}$ (ni en los demás puntos donde $\cos(x) = 0$), por eso su gráfico se corta en esos valores. En ELE-TRIG las vas a estudiar en detalle.
Una función puede venir dada por una fórmula en un solo ciclo y extenderse por periodicidad. Por ejemplo, si $f(x) = x^2 - 1$ en $[0; 3)$ y $T = 3$, entonces $f(100)$: $100 = 3 \cdot 33 + 1$, así que $f(100) = f(1) = 0$.
Observa la gráfica de la siguiente función que describe la altura de una cabina de una noria respecto a su posición central a lo largo del tiempo. Determina su periodo…
Observa la gráfica de la siguiente función que describe la altura de una cabina de una noria respecto a su posición central a lo largo del tiempo. Determina su periodo $T$ y, sabiendo que el patrón se repite indefinidamente, calcula el valor de la función en el instante $x = 22$.
El siguiente gráfico muestra un electrocardiograma (ECG) simplificado de un paciente en reposo. Determina el periodo de la función en segundos y, a partir de este dato,…
El siguiente gráfico muestra un electrocardiograma (ECG) simplificado de un paciente en reposo. Determina el periodo de la función en segundos y, a partir de este dato, calcula la frecuencia cardíaca del paciente expresada en pulsaciones por minuto (lpm).
Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de agua (en metros) en un depósito industrial automatizado a lo largo del tiempo (en minutos). Determina el periodo…
Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de agua (en metros) en un depósito industrial automatizado a lo largo del tiempo (en minutos). Determina el periodo de la función y calcula cuál será el nivel exacto de agua en el minuto $t = 86$.
Periodicidad en situaciones reales
Para modelar una situación periódica, primero hay que encontrar cuánto dura un ciclo completo. A veces el enunciado da solo parte del ciclo.
La famosa noria "London Eye" tiene un diámetro aproximado de $120\text{ m}$. Los pasajeros suben a las cabinas en la parte más baja, que se encuentra prácticamente a ras…
La famosa noria "London Eye" tiene un diámetro aproximado de $120\text{ m}$. Los pasajeros suben a las cabinas en la parte más baja, que se encuentra prácticamente a ras de suelo ($0\text{ m}$). La noria gira a velocidad constante y tarda exactamente $30\text{ minutos}$ en dar una vuelta completa. ¿Cuál es el periodo de la función que describe la altura de una cabina respecto al tiempo? ¿A qué altura se encontrará un pasajero a los $45\text{ minutos}$ de haber subido si no se ha bajado?
La tabla de mareas de un puerto pesquero indica que la primera pleamar (marea alta) del día se produce a las 04:00 de la madrugada y la siguiente bajamar (marea baja) se…
La tabla de mareas de un puerto pesquero indica que la primera pleamar (marea alta) del día se produce a las 04:00 de la madrugada y la siguiente bajamar (marea baja) se produce a las 10:15 de la mañana. Suponiendo que el nivel del mar se comporta como una función periódica en la que la subida y la bajada duran lo mismo, ¿cuál es su periodo en horas y minutos? ¿A qué hora exacta se producirá la siguiente pleamar?
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de…
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de $7\text{ segundos}$, repitiendo este ciclo de forma ininterrumpida. Si el faro se enciende por primera vez en la noche a las 22:00:00, ¿cuál es el periodo de esta función luminosa? ¿Estará la luz encendida o apagada a las 22:01:15?
Un satélite meteorológico orbita la Tierra de forma que pasa exactamente sobre una estación de seguimiento terrestre cada $4\text{ horas y } 15\text{ minutos}$. Si el…
Un satélite meteorológico orbita la Tierra de forma que pasa exactamente sobre una estación de seguimiento terrestre cada $4\text{ horas y } 15\text{ minutos}$. Si el primer paso de la semana sobre la estación se registra un lunes a las 02:30 de la madrugada, ¿cuántas veces pasará en total sobre la estación a lo largo de toda la semana (hasta el domingo a las 23:59)? ¿Qué día y a qué hora exacta será el último paso registrado en esa semana?
Ciclos combinados y procesos por etapas
Cuando dos fenómenos periódicos ocurren a la vez, vuelven a coincidir cada mínimo común múltiplo de sus periodos.
También hay procesos con varias etapas que se repiten, y el periodo es la suma de las duraciones de todas las etapas.
En una planta industrial automatizada, la máquina A requiere una parada de mantenimiento cada $45\text{ minutos}$ y la máquina B requiere una parada cada…
En una planta industrial automatizada, la máquina A requiere una parada de mantenimiento cada $45\text{ minutos}$ y la máquina B requiere una parada cada $60\text{ minutos}$. Si ambas máquinas reciben mantenimiento simultáneo a las 08:00 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir exactamente en el mantenimiento? Si definimos una función matemática que vale $1$ cuando ambas máquinas están paradas a la vez y $0$ en el resto del tiempo, ¿cuál es el periodo de dicha función?
Un depósito de $500\text{ L}$ inicialmente vacío se llena con una canilla que aporta $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exactamente en ese momento, la…
Un depósito de $500\text{ L}$ inicialmente vacío se llena con una canilla que aporta $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exactamente en ese momento, la canilla se cierra y se abre una válvula de desagüe que vacía el depósito a un ritmo constante de $50\text{ L/min}$ hasta que queda completamente vacío, momento en el cual la válvula se cierra, la canilla se abre y el ciclo vuelve a empezar. Dibujá mentalmente el gráfico del volumen de agua frente al tiempo. ¿Cuál es el período completo de este proceso? ¿Qué volumen exacto de agua habrá en el depósito en el minuto $100$?
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo…
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo $T = 4$ para cualquier valor de $x \ge 0$, cumpliéndose que $f(x+4) = f(x)$. Basándote en estas propiedades, calcula paso a paso el valor exacto de $f(2019)$.
Volvé al principio: la gaseosa de la heladera tiende a la temperatura del comedor (tendencia, asíntota horizontal), mientras que las mareas repiten su ciclo cada cierto periodo.