Funciones definidas a trozos
Un taxi en Asunción cobra una tarifa base y, pasados los primeros kilómetros, empieza a cobrar cada kilómetro a otro precio. El estacionamiento de la Costanera también cambia el precio de la hora después de la primera. ¿Se puede escribir una sola fórmula para cada una de estas situaciones? Casi nunca: hace falta una fórmula para cada tramo. En esta página aprendés a trabajar con esas funciones y a decidir si en el punto donde cambian las dos partes se empalman bien o dan un salto.
¿Qué es una función definida a trozos?
Cada fórmula vale solo dentro de su intervalo. Y cada $x$ tiene que caer en un único tramo; si no, a un mismo $x$ le tocarían dos imágenes y no sería una función.
Un punto relleno significa que ese valor pertenece a la función; uno hueco, que el gráfico se acerca pero ese punto no es de ese tramo.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Calcular imágenes
Para calcular $f(a)$ siempre hacés lo mismo: primero mirás en qué tramo cae $a$ y después reemplazás en la fórmula de ese tramo.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ Calcula el valor de la función en…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Graficar una función a trozos
Se grafica un tramo por vez, solo dentro de su intervalo. Para cada tramo, elegí los puntos clave (los extremos del intervalo y, si es una parábola, el vértice). Después marcá con punto relleno los extremos que pertenecen al tramo y con punto hueco los que no.
Cuando graficás una parábola en un tramo, además de los extremos buscá el vértice, pero fijate si cae adentro del intervalo. Si no cae adentro, no aparece en esa parte del gráfico. Los máximos y mínimos relativos se leen del gráfico: son los puntos más altos o más bajos «en su zona», y pueden estar en un vértice o en un punto donde se cambia de tramo.
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$…
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$ Represéntala gráficamente y determina sus…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$
Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.
De la gráfica a la fórmula
Es el camino inverso: tenés el gráfico y tenés que escribir cada tramo.
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Marcá dónde cambia el gráfico: esos $x$ son los extremos de los intervalos.
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En cada tramo, reconocé qué tipo de curva es (recta horizontal, recta oblicua, parábola) y hallá su fórmula con dos puntos o con vértice y un punto.
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Escribí las condiciones ($<$, $\le$) mirando los puntos rellenos y huecos.
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El dominio se lee en el eje $x$ y el rango o recorrido en el eje $y$, uniendo intervalos.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
Continuidad: ¿se empalman los tramos?
Una función es continua en un punto si el gráfico pasa por ahí sin cortes: se puede dibujar sin levantar el bolígrafo. En una función a trozos, el único lugar donde puede haber un corte es el punto donde cambia la fórmula.
¿Por qué funciona? Porque para que el trazo no se corte, las dos ramas tienen que encontrarse exactamente en el mismo punto $(p; y)$.
Hallar un parámetro para que sea continua
Si una fórmula tiene una letra ($k$, $a$, $b$), se pide que los dos valores coincidan y se resuelve la ecuación.
Qué tipos de corte hay
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Salto: las dos ramas llegan a alturas distintas (como en el gráfico de la sección anterior).
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Punto suelto: las ramas llegan a la misma altura, pero el valor de la función en ese punto está en otro lugar o no existe (queda un punto hueco).
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Corte por falta de dominio: a la función no le corresponde ningún valor en ese $x$.
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:…
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:
$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.
El módulo (valor absoluto) como función a trozos
¿Por qué? El valor absoluto devuelve la distancia al cero, que nunca es negativa. Si el número ya es negativo, multiplicarlo por $-1$ lo vuelve positivo.
Valor absoluto sumado a otra cosa
Cuando hay un valor absoluto más otros términos, los términos sin barras se copian igual en los dos tramos.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos…
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.
La parte entera: una función escalonada
Hay funciones a trozos con infinitos tramos. La más conocida es la parte entera $[x]$: el mayor número entero que no supera a $x$.
Su tabla de valores sale escalonada:
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si $0 \le x < 1$, $[x]=0$;
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si $1 \le x < 2$, $[x]=1$;
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si $2 \le x < 3$, $[x]=2$;
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si $-1 \le x < 0$, $[x]=-1$.
En cada salto, el punto relleno es el de la izquierda del tramo y el hueco es el del final: la función es discontinua en todos los enteros.
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$…
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Modelar tarifas por tramos
Los taxis, los estacionamientos, los planes de datos o las facturas de servicios cobran distinto según cuánto usás. Para modelarlos:
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Identificá los umbrales (dónde cambia el precio): serán los extremos de los tramos.
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En cada tramo escribí cuánto se paga: fijo + (precio por unidad) · (unidades que superan el umbral).
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Revisá el dominio: no hay horas, kilómetros ni GB negativos.
Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $14\,000$ guaraníes por la primera hora de permanencia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de…
Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $14\,000$ guaraníes por la primera hora de permanencia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $10\,500$ guaraníes por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de permanencia. Escribí la función definida por partes $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el auto permanece en el estacionamiento.
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $105\,000$ guaraníes que incluye los…
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $105\,000$ guaraníes que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $14\,000$ guaraníes.
Escribí la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calculá cuánto pagará un cliente que consumió $3$ GB y otro que consumió $8,5$ GB.
Tarifas progresivas
En una tarifa progresiva el precio nuevo se aplica solo al excedente, no a todo lo consumido. El error típico es cobrar todo al precio más alto.
Los impuestos por escalas funcionan igual: cada tramo cobra su porcentaje solo sobre la parte que cae dentro de ese tramo, y hay que sumar lo que ya se pagó en los tramos anteriores.
Si un enunciado trae otra unidad de dinero, el método es el mismo: lo único que cambia es la unidad.
El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $70\,000$ guaraníes mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $840$ guaraníes/kWh.…
El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $70\,000$ guaraníes mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $840$ guaraníes/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $1\,050$ guaraníes/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $70\,000\,000$ guaraníes de ingresos no se pagan impuestos ($0$%).…
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $70\,000\,000$ guaraníes de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $70\,000\,000$ guaraníes y hasta $140\,000\,000$ guaraníes, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $140\,000\,000$ guaraníes, se paga un $20$%.
Escribe la función definida a trozos $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.
Situaciones que cambian con el tiempo
Cuando una cantidad evoluciona con el tiempo y cambia de comportamiento (se prende un aparato, se frena, se agrega una bomba), cada comportamiento es un tramo.
Cuando una cantidad crece a ritmo constante, ese tramo es una recta, cuya pendiente es el ritmo. Si no se «teletransporta», los tramos se empalman, así que cada tramo empieza donde terminó el anterior. Ese dato te sirve para encontrar ordenadas al origen.
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos…
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200ºC. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20ºC) de forma constante en 30 minutos."
Escribe los intervalos de tiempo que definirían los tres tramos de la función temperatura $T(t)$.
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero…
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.
Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto.…
Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escribe la función a trozos $V(t)$ que representa el volumen de agua en el depósito en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el depósito por completo.
Tramos con parábola y máximos
Un tramo puede ser una parábola. Si se conoce su vértice y dos condiciones más (pasar por un punto del empalme o por un punto del eje), se plantea $y=a(t-t_v)^2+k$ y se encuentran $a$ y $k$.
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos…
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete alcanza su altura máxima a los $25$ segundos e impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $70\,000$ guaraníes si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por…
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $70\,000$ guaraníes si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $700$ guaraníes.
Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.
Área bajo un gráfico y puntos de intersección
Área encerrada con el eje $x$
Si cada tramo es una recta, la figura que queda con el eje es una unión de triángulos y rectángulos. Se suman las áreas.
Intersección con otra gráfica
Para hallar dónde se cortan una función a trozos y otra función, igualás tramo por tramo y, al terminar, comprobás que cada solución cae adentro del tramo que usaste.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$ Calcula el valor del parámetro $k$ para…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos…
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las…
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.
Resumen
Volvé al principio: un taxi o un estacionamiento necesitan una fórmula distinta en cada tramo, y para saber si el precio «salta» en el umbral comparás los valores de las dos fórmulas en ese punto.