Simetría de funciones: funciones pares e impares
Antes de graficar una función conviene preguntarse si tiene alguna simetría: si la tiene, alcanza con estudiar la mitad del gráfico. Pero la simetría no se decide "a ojo": se demuestra con una sustitución algebraica. En esta página aprendés a hacerlo, y al final vas a poder responder: ¿por qué la parábola del cable de un puente colgante sobre el río Paraguay, en Asunción, es simétrica respecto del eje $y$, y qué le pasa a una función si le sumamos una constante?
Simetría par: reflejo respecto del eje $y$
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Considerá la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprobá algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Considerá la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprobá algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Simetría impar: respecto del origen
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la…
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la definición de función impar.
Simetría en módulo, trigonométricas y exponenciales
La comprobación con $f(-x)$ no es solo para polinomios: sirve para cualquier función cuyo dominio sea simétrico. Para el módulo se usa que $|-x| = |x|$. Para las trigonométricas, que $\sen(-x) = -\sen x$ y $\cos(-x) = \cos x$.
Funciones sin simetría
La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares: basta con mezclar exponentes pares e impares, o tener un término constante distinto de cero junto con términos de exponente impar.
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu…
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu respuesta en función de su forma visual.
Para qué sirve conocer la simetría
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo…
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifica tu respuesta.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas…
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelve para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.
Simetría en funciones racionales
En una función racional, $f(-x)$ se calcula reemplazando en numerador y denominador, cuidando el signo que aparece con cada potencia impar. Además, el dominio tiene que ser simétrico: si $x$ está en el dominio, $-x$ también.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicamente si esta función presenta simetría…
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interpreta el resultado geométricamente.
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia…
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación?…
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demuéstralo o refútalo mediante un análisis algebraico.
Volvamos al principio: la parábola del cable del puente $y = 0{,}05x^2 + 10$ tiene solo exponentes pares, por eso es par y su gráfico es simétrico respecto del eje $y$; en cambio, sumarle una constante a una función impar le hace perder la simetría respecto del origen.