Razones y proporciones
Un monitor "16:9", un mapa de rutas del Paraguay "1:300.000", una receta de sopa paraguaya, un asado de "un kilo cada tres personas"… Todo eso son razones: maneras de comparar dos cantidades dividiendo. Son la base de la proporcionalidad, que aparece en precios, recetas, planos y velocidades. Al final de la página vamos a volver a una pregunta: ¿cómo sabés si un monitor es de verdad 16:9?
Razón entre dos cantidades
En un 9.° grado hay 12 chicas y 18 chicos. La razón chicas/chicos es $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$: por cada 2 chicas hay 3 chicos.
Una razón entre cantidades con unidades también tiene unidad. Si una ciclista recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$, la razón es $\frac{95\ \text{km}}{4\ \text{h}} = 23{,}75\ \text{km/h}$: por cada hora recorre $23{,}75\ \text{km}$. Por eso hay que escribir siempre las unidades al interpretar el resultado.
Si invertís los términos de una razón, obtenés la razón inversa (o recíproca). La razón inversa de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$, y su producto siempre es $1$. Por ejemplo, si una varilla mide $2\ \text{dm}$ y otra $5\ \text{dm}$, la razón de la primera a la segunda es $\frac{2}{5}$ y la de la segunda a la primera es $\frac{5}{2}$: dan $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$. Esto ocurre siempre (con $a$ y $b$ distintos de cero). Las dos razones coinciden solo cuando $a = b$ es decir, cuando la razón vale $1$, o cuando $a = -b$, es decir, cuando la razón vale $-1$.
Escalas
Una escala es la razón entre una medida en el dibujo y la medida real. Escala $1 : 300.000$ significa que 1 cm del mapa representa $300.000$ cm $= 3$ km en la realidad.
Calcula el valor de la razón de cada par de cantidades e interpreta el resultado: a) $3\ \text{kg}$ de cerezas cuestan $\text{₲}\ 73\,500$. b) Una grava ciclista recorre…
Calcula el valor de la razón de cada par de cantidades e interpreta el resultado:
- a) $3\ \text{kg}$ de cerezas cuestan $\text{₲}\ 73\,500$.
- b) Una grava ciclista recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.
- c) Una botella contiene $2\ \text{L}$ y un bidón, $25\ \text{L}$.
Dos varillas metálicas miden $8\ \text{dm}$ y $12\ \text{dm}$. a) Calcula la razón entre la longitud de la primera y la de la segunda, y simplifícala. b) Calcula la…
Dos varillas metálicas miden $8\ \text{dm}$ y $12\ \text{dm}$.
- a) Calcula la razón entre la longitud de la primera y la de la segunda, y simplifícala.
- b) Calcula la razón entre la segunda y la primera.
- c) ¿Cómo son entre sí las dos razones obtenidas? ¿Ocurre siempre?
Un mapa de carreteras está dibujado a escala $1 : 300.000$. a) Explica el significado de esa razón. b) ¿Qué distancia real representan $5\ \text{cm}$ del mapa? c) Dos…
Un mapa de carreteras está dibujado a escala $1 : 300.000$.
- a) Explica el significado de esa razón.
- b) ¿Qué distancia real representan $5\ \text{cm}$ del mapa?
- c) Dos pueblos distan $21\ \text{km}$ en la realidad. ¿A qué distancia están en el mapa?
Una lanzadora de jabalina entrena con una señal situada a $60\ \text{m}$ y tarda $4,8\ \text{s}$ en recorrer esa distancia en su carrera de impulso. a) Calcula la razón…
Una lanzadora de jabalina entrena con una señal situada a $60\ \text{m}$ y tarda $4,8\ \text{s}$ en recorrer esa distancia en su carrera de impulso.
- a) Calcula la razón entre la distancia y el tiempo, en $\text{m/s}$.
- b) Exprésala en $\text{km/h}$.
- c) ¿Es correcto calcular la razón entre $60\ \text{m}$ y $4,8\ \text{s}$ sin fijarse en las unidades? ¿Por qué hay que indicarlas siempre al interpretar una razón?
Proporciones
Comprueba, calculando el producto de extremos y el producto de medios, si los siguientes pares de razones forman una proporción: a) $\frac{6}{4}$ y $\frac{15}{10}$ b)…
Comprueba, calculando el producto de extremos y el producto de medios, si los siguientes pares de razones forman una proporción:
- a) $\frac{6}{4}$ y $\frac{15}{10}$
- b) $\frac{5}{8}$ y $\frac{7}{12}$
- c) $\frac{2,5}{4}$ y $\frac{5}{8}$
Con los números $3$, $6$, $4$ y $8$, forma: a) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los extremos. b) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los medios. c) Comprueba…
Con los números $3$, $6$, $4$ y $8$, forma:
- a) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los extremos.
- b) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los medios.
- c) Comprueba en ambas que el producto de extremos es igual al producto de medios.
Calcular el término que falta
Gracias a la propiedad fundamental, si conocés tres términos podés hallar el cuarto (el cuarto proporcional):
$$\frac{x}{4} = \frac{9}{12} \ \Rightarrow\ 12x = 4 \cdot 9 \ \Rightarrow\ 12x = 36 \ \Rightarrow\ x = 3$$Si los medios son iguales, $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$ (proporción continua), entonces $x^2 = a \cdot b$ y $x = \sqrt{a \cdot b}$ es el medio proporcional. Por ejemplo, entre 4 y 9: $x = \sqrt{36} = 6$. Esto sirve, por ejemplo, para hallar el lado de un cuadrado con la misma área que un rectángulo: un rectángulo de $4\ \text{cm}$ por $9\ \text{cm}$ tiene área $36\ \text{cm}^2$, y el cuadrado equivalente tiene lado $6\ \text{cm}$.
Halla el cuarto proporcional en cada caso: a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$ b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$ c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$
Halla el cuarto proporcional en cada caso:
- a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$
- b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$
- c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$
Halla el valor de $x$ en estas proporciones: a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$ b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$ c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$
Halla el valor de $x$ en estas proporciones:
- a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$
- b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$
- c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$
Halla el medio proporcional en cada caso, es decir, el valor positivo de $x$ que cumple la proporción continua: a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$ b)…
Halla el medio proporcional en cada caso, es decir, el valor positivo de $x$ que cumple la proporción continua:
- a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$
- b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$
- c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$
Una alumna afirma lo siguiente: > «Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, entonces también se cumple $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque solo he cambiado el orden de los…
Una alumna afirma lo siguiente:
«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, entonces también se cumple $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque solo he cambiado el orden de los números.»
- a) Comprueba si la primera igualdad es una proporción verdadera.
- b) Comprueba si la segunda igualdad también es cierta. ¿Ha acertado?
- c) La regla correcta dice que en una proporción se pueden permutar los medios o permutar los extremos. Aplícala a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ y escribe dos proporciones equivalentes verdaderas.
Usar razones y proporciones para decidir
Volvamos a la pregunta del principio. Un monitor es "16:9" si la razón ancho/alto es $\frac{16}{9} \approx 1{,}78$. Un panel de $62\ \text{cm} \times 34\ \text{cm}$ tiene razón $\frac{62}{34} \approx 1{,}82$: ¿es 16:9? Depende de cuánto error aceptes. Para decidir, calculás la razón de cada caso y la comparás con la de referencia. Lo mismo sirve para comparar rendimientos: la razón toneladas/hectárea dice qué campo produce más por cada hectárea, aunque sean de distinto tamaño.
Si querés una medida con las mismas proporciones, planteás una proporción y despejás. Por ejemplo, si una ventana debe tener razón alto/ancho $= 1{,}6$ y el alto es $2\ \text{m}$: $\frac{2}{x} = 1{,}6$, entonces $x = \frac{2}{1{,}6} = 1{,}25\ \text{m}$.
Un carpintero fabrica marcos cuya parte decorativa central es un cuadrado. Para que el marco guarde la misma proporción en todos los tamaños, el lado $x$ del cuadrado…
Un carpintero fabrica marcos cuya parte decorativa central es un cuadrado. Para que el marco guarde la misma proporción en todos los tamaños, el lado $x$ del cuadrado debe ser el medio proporcional entre el ancho interior y el ancho exterior del marco.
- a) Para un marco con ancho interior de $9\ \text{cm}$ y ancho exterior de $25\ \text{cm}$, plantea la proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ y halla el lado del cuadrado.
- b) Comprueba que las dos razones valen lo mismo.
- c) Si el ancho interior es de $8\ \text{cm}$ y el cuadrado decorativo mide $12\ \text{cm}$ de lado, ¿cuál es el ancho exterior del marco?
Dos comarcas vinícolas comparan su producción. La comarca A cosecha $4.500\ \text{t}$ de uva en $1.800\ \text{ha}$ de viñedo; la comarca B, $6.240\ \text{t}$ en…
Dos comarcas vinícolas comparan su producción. La comarca A cosecha $4.500\ \text{t}$ de uva en $1.800\ \text{ha}$ de viñedo; la comarca B, $6.240\ \text{t}$ en $2.400\ \text{ha}$.
- a) Calcula la razón entre la producción y la superficie en cada comarca, con su unidad.
- b) ¿Cuál de las dos obtiene mayor rendimiento por hectárea?
- c) Si la comarca A aumentara su superficie a $2.000\ \text{ha}$ manteniendo el rendimiento, ¿qué producción esperaría?
El Partenón de Atenas se diseñó buscando la proporción áurea: la razón entre el lado mayor y el menor de sus rectángulos es aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$. a) Una…
El Partenón de Atenas se diseñó buscando la proporción áurea: la razón entre el lado mayor y el menor de sus rectángulos es aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$.
- a) Una ventana mide $1,92\ \text{m}$ de alto y $1,20\ \text{m}$ de ancho. Calcula la razón entre sus lados. ¿Está en proporción áurea?
- b) Otra ventana mide $2\ \text{m}$ de alto. ¿Cuánto debe medir de ancho para que la razón entre el alto y el ancho sea $1,6$?
- c) Mide en tu casa tres rectángulos cotidianos (una puerta, un libro, una pantalla) y comprueba si alguno se acerca a la proporción áurea.
Indica si cada afirmación es verdadera o falsa, suponiendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción verdadera. Justifícalo usando el producto de extremos y…
Indica si cada afirmación es verdadera o falsa, suponiendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción verdadera. Justifícalo usando el producto de extremos y medios:
- a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»
- b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»
- c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»
- d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»
Se quiere construir un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un rectángulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como se muestra en la figura. a) Si el lado…
Se quiere construir un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un rectángulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como se muestra en la figura.
- a) Si el lado del cuadrado es $x$, plantea la ecuación $x^2 = 9 \cdot 16$.
- b) Reescribe la ecuación como una proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. ¿Qué es $x$ respecto a $9$ y $16$?
- c) Calcula $x$ y comprueba que las áreas coinciden.
- d) ¿Cuál sería el lado del cuadrado equivalente a un rectángulo de $5\ \text{cm}$ por $45\ \text{cm}$?
Tarea de decisión. Una tienda de electrónica anuncia tres monitores como «panorámicos 16:9», es decir, con una razón entre el ancho y el alto de…
Tarea de decisión. Una tienda de electrónica anuncia tres monitores como «panorámicos 16:9», es decir, con una razón entre el ancho y el alto de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. Las medidas reales del panel de cada modelo son:
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Modelo 1: $53\ \text{cm}$ de ancho y $30\ \text{cm}$ de alto.
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Modelo 2: $62\ \text{cm}$ de ancho y $34\ \text{cm}$ de alto.
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Modelo 3: $71\ \text{cm}$ de ancho y $40\ \text{cm}$ de alto.
- a) Calcula la razón ancho/alto de cada modelo con dos decimales.
- b) ¿Qué modelos cumplen de verdad la proporción 16:9 (admite un error de $0,02$)?
- c) Un cliente quiere colocar el monitor en un hueco de $65\ \text{cm}$ de ancho y $38\ \text{cm}$ de alto. ¿Qué modelo, de los que cumplen la proporción, cabe en el hueco? Justifica tu decisión con cálculos.