Ecuaciones de primer grado
En el almacén del barrio, un plato de la balanza tiene 3 bolsas iguales de harina de mandioca y una pesa de 2 kg. En el otro plato hay 11 kg en pesas. La balanza está en equilibrio. ¿Cuánto pesa cada bolsa? Sin darte cuenta, ya planteaste una ecuación: $3x + 2 = 11$. Resolverla es averiguar el peso de la bolsa sin desequilibrar la balanza.
Qué es una ecuación
No confundas una ecuación con una identidad: $2(x + 1) = 2x + 2$ se cumple para cualquier $x$, así que es una identidad. Y $3x + 2$ (sin $=$) es solo una expresión algebraica.
Comprobar una solución es fácil: sustituí y mirá si los dos miembros dan lo mismo. Para $x = 3$: $3 \cdot 3 + 2 = 11$ ✓. Para $x = 4$: $3 \cdot 4 + 2 = 14 \neq 11$ ✗.
En el colegio, el profe suele pedir esa comprobación al rendir una prueba: así sabés si tu resultado es correcto antes de entregar.
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado.…
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:
- a) $3x + 5$
- b) $2x - 8 = 10$
- c) $x^2 - 4 = 0$
- d) $5 + 3 = 8$
- e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores:…
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:
$5x - (x + 4) = 8$
Resolver: la balanza
La regla de oro: lo que hagas en un miembro, hacelo también en el otro. Así la balanza sigue en equilibrio y la igualdad sigue siendo cierta. Probá resolver esta balanza:
Para $3x + 2 = 11$:
-
Restamos 2 de ambos lados: $3x = 9$.
-
Dividimos ambos lados por 3: $x = 3$.
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 15 = 42$ b) $x - 7 = -12$ c)…
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 15 = 42$
- b) $x - 7 = -12$
- c) $10 - x = 4$
- d) $25 = x + 18$
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de…
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ kg.
Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Paréntesis y denominadores
Las ecuaciones de verdad suelen venir enredadas. Hay un orden que siempre funciona:
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado: a) $3(x - 2) = 12$ b)…
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:
- a) $3(x - 2) = 12$
- b) $2(x + 4) + 5 = 17$
- c) $10 - (x - 3) = 8$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:
$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de las fracciones:
$$\frac{2(x-5)}{3} - \frac{3x - \frac{x+1}{2}}{5} = \frac{x-1}{6} - \frac{7}{10}$$¿Siempre hay una solución?
Casi siempre, pero no siempre. Al reducir puede pasar:
| Al final queda… | Ejemplo | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| $0x = b$ con $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Ninguna solución (ningún número por 0 da 5) |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinitas soluciones: era una identidad |
El dibujo adelanta una idea que vas a ver en funciones: cada miembro es una recta, y la solución es donde se cruzan.
Un coeficiente desconocido
A veces la solución es un dato y lo que falta es un número de la ecuación. Se reemplaza $x$ por la solución y queda una ecuación en la letra desconocida. Por ejemplo, en $kx + 1 = 13$ con solución $x = 4$: $4k + 1 = 13$, entonces $k = 3$.
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$: $$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$ Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la…
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:
$$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.
Inecuaciones sencillas
Una inecuación usa $<$, $\le$, $>$ o $\ge$ en lugar de $=$. Se resuelve igual, con una advertencia.
Módulo
El módulo (o valor absoluto) $|x|$ es la distancia de $x$ al 0, así que siempre es positivo o cero.
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$|x| = 4$ significa $x = 4$ o $x = -4$.
-
$|x| \le 4$ significa $-4 \le x \le 4$, o sea $[-4; 4]$.
-
$|x| > 4$ significa $x < -4$ o $x > 4$, o sea $(-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
-
$|x - 1| = 3$ significa $x - 1 = 3$ o $x - 1 = -3$, o sea $x = 4$ o $x = -2$.
Traducir problemas al lenguaje algebraico
Las ecuaciones sirven sobre todo para resolver problemas. El método siempre es el mismo:
-
Elegí la incógnita y escribí qué representa («$x$ = puntos del amigo»).
-
Expresá las otras cantidades en función de $x$.
-
Planteá la ecuación con la condición del enunciado.
-
Resolvela y comprobá.
-
Respondé con una frase completa y con unidades.
| En palabras | En lenguaje algebraico |
|---|---|
| un número | $x$ |
| el doble de un número | $2x$ |
| la mitad de un número | $\frac{x}{2}$ |
| el siguiente de $x$ | $x + 1$ |
| 5 más que $x$ | $x + 5$ |
| el triple de $x$ menos 4 | $3x - 4$ |
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación: "Si al doble de un número le…
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:
"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".
(Pista: llama $x$ al número desconocido).
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$…
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.
Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $770\,000$ guaraníes. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón,…
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $770\,000$ guaraníes. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los cascos cuestan $70\,000$ guaraníes más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.
Números consecutivos y cifras
Para números consecutivos:
| Tipo | Expresión |
|---|---|
| consecutivos | $x$, $x+1$, $x+2$ |
| pares consecutivos | $x$, $x+2$, $x+4$ |
| impares consecutivos | $x$, $x+2$, $x+4$ (con $x$ impar) |
Un número de dos cifras con decenas $d$ y unidades $u$ vale $10d + u$. Con el orden invertido vale $10u + d$.
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta…
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.
Problemas geométricos
Cuando el enunciado trae una figura, las fórmulas de perímetro y área dan la ecuación.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en…
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?
Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observa cómo se simplifican al operar.
Mezclas y porcentajes
En las mezclas se conserva la cantidad total: lo que aporta cada ingrediente suma lo que tiene la mezcla.
$$\text{cantidad}_1 \cdot \text{precio (o concentración)}_1 + \text{cantidad}_2 \cdot \text{precio}_2 = \text{cantidad total} \cdot \text{precio final}$$Si el total es $T$ y de un ingrediente tomás $x$, del otro tomás $T - x$.
Con descuentos pasa algo parecido: si un artículo con descuento del $20\%$ cuesta $0{,}8p$, el ahorro es $0{,}2p$. Sumá precios finales o ahorros, según lo que dé el enunciado.
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $8\,400$ guaraníes/litro con jugo de mango que cuesta $12\,600$…
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $8\,400$ guaraníes/litro con jugo de mango que cuesta $12\,600$ guaraníes/litro. Si quiere obtener $60$ litros de mezcla a un precio de $9\,800$ guaraníes/litro, ¿cuántos litros de jugo de piña debe utilizar?
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución…
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\text{₲}\ 325$. Sabe que la tablet tiene…
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\text{₲}\ 325$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $\text{₲}\ 115$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?
Móviles y trabajo en equipo
Persecuciones
Para un móvil con velocidad constante, $d = v \cdot t$. En una persecución, cuando se encuentran recorrieron la misma distancia desde el punto de partida (o sus distancias se relacionan con la separación inicial).
Si los móviles parten de puntos distintos y van en el mismo sentido, el que va atrás recorre la distancia que los separa más lo que recorre el de adelante.
Trabajo en equipo (canillas)
Si una canilla llena una pileta en $a$ horas, en una hora llena $\frac{1}{a}$ de la pileta. Cuando trabajan juntas, suman lo que llena cada una en una hora. Una fuga resta.
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido…
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y Selene a $60\text{ km/h}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla…
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina ella sola si no hubiera fuga?
Despejar en fórmulas
Las mismas reglas sirven para despejar una letra en una fórmula. De $v = \frac{d}{t}$ se obtiene $d = v \cdot t$ y $t = \frac{d}{v}$. La letra que despejás es la «incógnita» y las demás actúan como números conocidos.
Si la letra aparece en varios términos, primero juntalos de un lado y sacá la letra como factor común. Por ejemplo, de $ax + b = cx + d$ queda $ax - cx = d - b$, o sea $x(a - c) = d - b$, y entonces $x = \dfrac{d - b}{a - c}$.
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos…
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero, con $a \neq d$:
$$a(x + b) - c = d(x - a)$$Expresa el resultado final como una única fracción.
Volvé al principio: cada bolsa de harina pesa 3 kg. Si sacás 2 kg de cada plato, quedan 3 bolsas que pesan 9 kg ($3x = 9$), y al repartir entre las 3 bolsas queda $x = 3$ kg.