Propiedades de las potencias

En la ludoteca del colegio, los juegos de mesa se organizan en estanterías. Si tenemos una expresión en forma de potencia como $7^{3}$, indicá cuál es el número que actúa como base y cuál como exponente. Explicá brevemente qué operación tendrías que hacer para calcular su valor (sin necesidad de dar el resultado final).

Una conocida red social muestra las fotos del perfil de los usuarios en una cuadrícula cuadrada. Si el muro de fotos de Lucía tiene $5$ fotos de ancho y $5$ fotos de alto, ¿cuántas fotos tiene en total? Expresa el resultado primero como una multiplicación de dos factores iguales, luego en forma de potencia y finalmente calcula el valor total.

Calcula mentalmente las siguientes potencias especiales. Recuerda las reglas para los exponentes $0$ y $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

En un videojuego, cada vez que pasas de nivel, tus puntos se multiplican por $10$. Si has pasado $4$ niveles y la puntuación se escribe como $10^{4}$, ¿cuántos puntos tienes en total? Escribe el número con todas sus cifras y explica cuántos ceros has añadido.

Aplica la propiedad del producto de potencias de la misma base para escribir las siguientes expresiones como una sola potencia (no es necesario calcular el valor final):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Pista: cuando un número no tiene exponente, es como si tuviera un $1$).

Utiliza la propiedad del cociente de potencias de la misma base para simplificar estas operaciones en una única potencia:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

En el mundo de la informática, las capacidades de almacenamiento suelen expresarse en potencias de base $10$. Un disco duro externo tiene una capacidad de $10^3$ gigabytes ($GB$). Si cada gigabyte contiene $10^3$ megabytes ($MB$), y cada megabyte tiene $10^6$ bytes:

1. a) Expresa la capacidad total del disco duro en bytes utilizando una sola potencia de $10$.
2. b) ¿Cuántas fotos de $10^6$ bytes cada una cabrían en el disco duro? Expresa el resultado como una potencia.

Una empresa de mensajería organiza sus paquetes en grandes contenedores cúbicos. Si en un contenedor caben $6$ cajas a lo largo, $6$ cajas a lo ancho y $6$ cajas a lo alto:

1. a) Expresa el número total de cajas que hay en un contenedor en forma de potencia y calcula el resultado.
2. b) Si la empresa tiene almacenados $6^2$ contenedores iguales, ¿cuántas cajas tienen en total? Expresa el resultado como una sola potencia.

Escribe como una sola potencia utilizando la propiedad de potencia de una potencia:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar la siguiente expresión y dejarla como una sola potencia de base $2$:

Recuerda indicar los pasos seguidos: primero opera dentro del paréntesis, luego aplica la potencia de una potencia y, finalmente, resuelve el cociente.

Calcula las siguientes expresiones de dos formas distintas para comprobar que se cumplen las propiedades de las potencias:

• Forma A: Calculando primero el interior de los paréntesis y luego la potencia.

• Forma B: Aplicando la propiedad de la potencia de un producto o un cociente.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Aplica las propiedades de las potencias y realiza las transformaciones de base necesarias para expresar el resultado como una única potencia:

$\frac{2^5 \cdot (4^2)^3 \cdot 8}{2^8 \cdot 16}$

Recuerda que para operar con las propiedades de la misma base, primero debes descomponer los números $4$, $8$ y $16$ en potencias de base $2$.

Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas pensando en qué número multiplicado por sí mismo da el radicando. Fíjate en el ejemplo de la figura: $\sqrt{25} = 5$ porque $5^{2} = 25$.

1. a) $\sqrt{16} =$

1. b) $\sqrt{49} =$

1. c) $\sqrt{81} =$

1. d) $\sqrt{100} =$

El patio de un colegio tiene forma cuadrada y una superficie total de $225 m^2$. El equipo de mantenimiento quiere rodearlo con una cinta de señalización para una actividad deportiva, pero dejando un espacio libre de $2$ metros para una puerta en uno de los lados.

1. a) ¿Cuánto mide el lado del patio? (Usá la raíz cuadrada).
2. b) ¿Cuántos metros de cinta necesitan comprar?

Resuelve las siguientes operaciones combinadas aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones y las propiedades de las potencias cuando sea posible:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$

Calcula el valor de la siguiente expresión combinada respetando la jerarquía de las operaciones y aplicando las propiedades de las potencias siempre que sea posible:

$10^2 : [5^2 \cdot (2^5 : 2^3)] + \sqrt{144} \cdot (3^2 - 2^3)$

Un reto solidario del colegio se difunde en cadena. Al principio lo proponen $3$ alumnos. Cada uno de ellos se lo propone a otras $3$ personas nuevas, y así sucesivamente en diferentes niveles de difusión.

1. a) ¿Cuántas personas habrán recibido el reto en el quinto nivel? Expresalo como potencia y calculá el valor.
2. b) Si en el nivel $n$ lo recibieron $243$ personas, ¿cuál es el valor de $n$?
3. c) Expresá el producto del tercer nivel por el cuarto nivel como una sola potencia.

Averigua el valor de la letra $x$ en cada una de las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indica qué valores no podría tomar $x$ en este caso).

Halla el valor del exponente desconocido $x$ en las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $3^x \cdot 9^2 = 3^7$
2. b) $(5^3)^x : 125 = 5^9$
3. c) $2^4 \cdot 4^x \cdot 8 = 2^{11}$

En el mundo de la informática, las unidades de medida crecen en potencias de base $2$. Sabemos que $1 \text{ Kilobyte (KB)} = 2^{10} \text{ bytes}$. Si un servidor de un centro educativo tiene una capacidad de almacenamiento de $64 \text{ KB}$ y queremos ampliarlo instalando $4$ tarjetas de memoria adicionales, cada una con una capacidad de $16 \text{ KB}$:

1. a) Expresa la capacidad total final del servidor en forma de una única potencia de base $2$.
2. b) ¿Cuántas veces es mayor la capacidad final respecto a la inicial? (Expresa el resultado como potencia).

Un astrónomo observa dos galaxias. La galaxia A está a una distancia de $3^8 \text{ km}$ de la Tierra y la galaxia B está a una distancia de $27^3 \text{ km}$.

1. a) ¿Cuál de las dos galaxias se encuentra más alejada de nosotros? Justifica tu respuesta utilizando potencias de la misma base.
2. b) Si la luz recorre aproximadamente $3 \cdot 10^5 \text{ km}$ en un segundo, ¿cuántos segundos tardaría en llegar la luz de la galaxia A a la Tierra? (Deja el resultado expresado como operación de potencias).

Un video de TikTok se vuelve viral. Inicialmente lo comparten $2$ personas. Cada hora que pasa, el número de personas que lo han compartido se duplica.

1. a) ¿Cuántas personas habrán compartido el video al cabo de $10$ horas? Expresa el resultado como potencia y como número natural.
2. b) Si queremos representar el número total de personas en notación científica tras $20$ horas, ¿cuál sería el valor aproximado si $2^{10} \approx 10^3$?

Un patio cuadrado está pavimentado con baldosas también cuadradas. El número total de baldosas es el resultado de la expresión:

$N = \sqrt{5^2 - 3^2} \cdot \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 10^2}$

1. a) Calcula el valor de $N$ (número total de baldosas).
2. b) ¿Cuántas baldosas hay en cada lado del patio?
3. c) Si cada baldosa mide $40 \text{ cm}$ de lado, ¿cuál es la superficie total del patio en metros cuadrados?

Utiliza la descomposición en factores primos para calcular la raíz cuadrada exacta de los siguientes números de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$
2. b) $\sqrt{1296}$ (Pista: factoriza primero el número).
3. c) $\sqrt{\frac{10^4 \cdot 2^2}{25}}$