Valentina anota la altura de la punta de una pala de aerogenerador, en un parque eólico de Marcona (Ica), cuando la pala forma $30º$ con la horizontal. Después la anota cuando forma $150º$ y se da cuenta de que el valor es el mismo. ¿Casualidad? No: la circunferencia goniométrica es simétrica, y esa simetría permite calcular las razones de cualquier ángulo a partir de las de un ángulo del primer cuadrante. En esta página vas a ver cómo.
Reducir cualquier ángulo al primer cuadrante
Dos ángulos simétricos respecto del eje $y$ (como $30º$ y $150º$) tienen puntos a la misma altura: el mismo seno. Dos ángulos simétricos respecto del eje $x$ (como $30º$ y $330º$) tienen la misma abscisa: el mismo coseno. Con esta simetría se «reduce» cualquier ángulo a uno del primer cuadrante.
Practica★☆☆Sin empezar
En la figura se han representado los ángulos de $30º$ y $150º$ en la circunferencia goniométrica. A la vista de la simetría de la figura, expresa $\sin 150º$ y…
En la figura se han representado los ángulos de $30º$ y $150º$ en la circunferencia goniométrica.
A la vista de la simetría de la figura, expresa $\sin 150º$ y $\cos 150º$ en función de $\sin 30º$ y $\cos 30º$, indicando el signo correcto de cada una.
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo: $\sin 210º$ $\cos 225º$ $\tan 240º$
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo: $\sin 330º$ $\cos 315º$ $\tan 300º$
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:
Para controlar con la calculadora lo que viste, resuelve también este:
Practica★☆☆Sin empezar
Con ayuda de la calculadora, da el valor de estas razones con cuatro cifras decimales y comprueba la relación que se indica: Calcula $\sin 140º$ y $\sin 40º$. ¿Qué…
Con ayuda de la calculadora, da el valor de estas razones con cuatro cifras decimales y comprueba la relación que se indica:
Calcula $\sin 140º$ y $\sin 40º$. ¿Qué relación hay entre ambos valores?
Calcula $\cos 140º$ y $\cos 40º$. ¿Qué relación hay entre ambos valores?
Explica, con la circunferencia goniométrica, por qué ocurre lo que has observado.
La identidad fundamental, con cuidado con el signo
La identidad $\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ vale para cualquier ángulo, no solo para los agudos: sale de aplicar Pitágoras al triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio $1$. Lo nuevo es que, al despejar con una raíz cuadrada, tienes que elegir el signo según el cuadrante.
Practica★★☆Sin empezar
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$.
Cuando te dan la tangente, usa que $\operatorname{sen}\alpha = \tan\alpha\cdot\cos\alpha$ y sustituye en la identidad fundamental:
Practica★★☆Sin empezar
Sabiendo que $\tan \alpha = 2$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$. (Pista: utiliza que…
Sabiendo que $\tan \alpha = 2$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$. (Pista: utiliza que $\sin \alpha = 2\times\cos \alpha$ y sustituye en la identidad fundamental.)
Si te dicen que $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$, hay más de un ángulo que lo cumple entre $0º$ y $360º$: la recta horizontal $y = \dfrac12$ corta a la circunferencia en dos puntos, en dos cuadrantes distintos.
Practica★★☆Sin empezar
En la figura se han representado los ángulos de $60º$ y $120º$, que son suplementarios. Sabiendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ y…
En la figura se han representado los ángulos de $60º$ y $120º$, que son suplementarios.
Sabiendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ y $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcula $\sin 120º$ y $\cos 120º$ razonando a partir de la simetría de la figura.
En la figura se ha representado la circunferencia goniométrica y la recta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la corta en dos puntos. Halla todos los ángulos $x$ de…
En la figura se ha representado la circunferencia goniométrica y la recta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la corta en dos puntos.
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin x = \frac{1}{2}$, razonando a partir de la figura.
Las razones trigonométricas se repiten en cada vuelta completa. Por eso $\tan x = 1$ no tiene solo las soluciones de $[0º; 360º)$: tiene infinitas, una cada $180º$. Para el seno y el coseno, se repiten cada $360º$. Esto se llama periodicidad, y aparece en todo lo que gira o se repite, como la pala del aerogenerador.
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Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\tan x = 1$. Razona, con la circunferencia goniométrica, cuántas soluciones tendría la misma ecuación en el…
Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\tan x = 1$.
Razona, con la circunferencia goniométrica, cuántas soluciones tendría la misma ecuación en el intervalo $[0º, 720º)$ y escríbelas todas.
La punta de la pala de un aerogenerador describe una circunferencia de radio $1\ \text{m}$ (en unidades relativas) alrededor del eje del rotor. Si llamamos $\theta$ al…
La punta de la pala de un aerogenerador describe una circunferencia de radio $1\ \text{m}$ (en unidades relativas) alrededor del eje del rotor. Si llamamos $\theta$ al ángulo que forma la pala con la horizontal, medido en sentido antihorario, la altura de la punta respecto al centro es $\sin \theta$ y su desplazamiento horizontal es $\cos \theta$.
Completa una tabla con la altura y el desplazamiento horizontal de la punta para $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ y $270º$.
La pala gira $40$ veces por minuto. Al cabo de un tiempo, la punta está a una altura de $0.5\ \text{m}$ sobre el centro. ¿Qué valores de $\theta$ entre $0º$ y $360º$ corresponden a esa altura?
Las fórmulas de reducción no sirven solo para calcular valores: también permiten demostrar que una expresión con varios ángulos relacionados es siempre igual a otra más simple, sea cual sea $\alpha$.
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Sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante: Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$. Calcula…
Sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante:
Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.