Repartos proporcionales
Tres amigos, Valentina, Mateo y Santiago, ponen plata para abrir un puesto en el mercado: S/ 15{,}000, S/ 20{,}000 y S/ 25{,}000. Al final del año hay ganancias. ¿Se reparten en partes iguales? No parece justo: quien puso más debería llevarse más. Eso es un reparto proporcional (en los libros preuniversitarios también lo verás como regla de compañía), y puede ser directo, inverso o con dos criterios a la vez.
Reparto directo e inverso
Con la barra se ve la idea: si se reparte S/ 450 de forma directa a $2$, $3$ y $4$, hay $9$ partes en total, así que $k = 450 : 9 = 50$ y los tres reciben S/ 100, S/ 150 y S/ 200.
Reparte la cantidad de $1\,800$ soles de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte la cantidad de $1\,800$ soles de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ soles, $20000$ soles y $25000$ soles respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa…
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ soles, $20000$ soles y $25000$ soles respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa genera un beneficio neto de $14400$ soles. Calcula qué cantidad de los beneficios le corresponde a cada socio si el reparto se realiza de forma directamente proporcional al capital invertido.
Los repartos y las funciones proporcionales
Los repartos son funciones proporcionales disfrazadas, las mismas que vas a usar en Física y en Química.
En un reparto directo, la parte $y$ que recibe cada uno depende de su coeficiente $x$ así: $y = k \cdot x$. Es una función de proporcionalidad directa: su gráfica es una recta que pasa por el origen, y $k$ es la pendiente. Si el coeficiente se duplica, la parte se duplica.
En un reparto inverso, la parte es $y = \dfrac{k'}{x}$, con $k' = \dfrac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$. Es una función de proporcionalidad inversa: su gráfica es una hipérbola. Si el coeficiente se duplica, la parte se reduce a la mitad.
Un abuelo decide repartir $480$ soles entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que…
Un abuelo decide repartir $480$ soles entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que recibe cada uno.
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $13\,600$ soles de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros…
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $13\,600$ soles de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros clasificados en llegar a la meta. Si han cruzado la línea de meta en $12$, $15$ y $20$ minutos respectivamente, determina el premio económico que se lleva cada corredor.
En un concurso escolar se reparten $190$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de fallos cometidos. Si los tres finalistas tuvieron $1$, $3$ y $4$…
En un concurso escolar se reparten $190$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de fallos cometidos. Si los tres finalistas tuvieron $1$, $3$ y $4$ fallos respectivamente, calcula los puntos que obtiene cada alumno.
Repartos con fracciones o decimales
Cuando los coeficientes son fracciones o decimales, conviene pasarlos a números enteros proporcionales: el reparto no cambia.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las…
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las temperaturas a las que se encuentran. Las temperaturas son $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC y $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la cantidad exacta de compuesto que se depositará en cada recipiente.
Tres tuberías distintas llenan un depósito industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$…
Tres tuberías distintas llenan un depósito industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son directamente proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Los costos de mantenimiento de las tuberías ascienden a $5\,200$ soles y se decide repartirlos de forma inversamente proporcional al tiempo que tarda cada una en llenar el depósito. Halla cuánto se debe pagar de mantenimiento por cada tubería.
Dos criterios combinados
A veces el reparto depende de dos cosas: una directa y otra inversa, o dos fases con criterios distintos.
Si los dos criterios son directos (por ejemplo, días y horas diarias de trabajo), se multiplican: el total de horas es días $\cdot$ horas por día, y se reparte de forma directa a ese total.
Un bono de productividad de $10\,120$ soles se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de…
Un bono de productividad de $10\,120$ soles se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa ($4$, $5$ y $8$ años) e inversamente proporcional al número de días de ausencia durante el año ($2$, $3$ y $4$ días). Calcula la bonificación que recibe cada uno de los empleados.
Una empresa tecnológica reparte $200\,000$ soles de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma…
Una empresa tecnológica reparte $200\,000$ soles de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma directamente proporcional a las horas extra trabajadas: $120$, $150$ y $130$ horas. En la segunda fase, el $60$% restante se reparte de forma inversamente proporcional al número de incidencias técnicas reportadas: $2$, $4$ y $5$ incidencias. Calcula el beneficio total final que recibe cada uno de los tres departamentos sumando ambas fases.
Un premio de $24\,000$ soles se va a repartir entre tres ciclistas al finalizar una gran vuelta. Las bases establecen que el reparto se hará de forma directamente…
Un premio de $24\,000$ soles se va a repartir entre tres ciclistas al finalizar una gran vuelta. Las bases establecen que el reparto se hará de forma directamente proporcional al número de etapas ganadas ($3$, $4$ y $5$ etapas) e inversamente proporcional al número de caídas sufridas ($1$, $2$ y $x$ caídas). Si el ciclista que ganó $4$ etapas y sufrió $2$ caídas recibió exactamente $8\,000$ soles, determina el número de caídas $x$ del tercer ciclista y la cantidad de dinero que cobró.
Planteamiento algebraico
Muchas veces falta un dato: se conoce una sola parte, o un número del reparto es una incógnita. Entonces se arma una ecuación con la constante $k$.
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $480$ soles. Calcula la cantidad total que se ha repartido…
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $480$ soles. Calcula la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben las otras dos personas.
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de…
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de $15$ años le han correspondido $1\,600$ soles, halla la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben los otros dos hermanos.
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $14\,000$ soles más…
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $14\,000$ soles más que el que recibe la menor parte, calcula el valor total de la herencia y la cantidad asignada a cada una de las tres partes.
Cuando los coeficientes llevan incógnitas
El método es el mismo aunque los coeficientes sean expresiones con $x$ y hasta lo que se reparte sea una expresión: $k = \dfrac{N}{\text{suma de coeficientes}}$. La diferencia es que $k$ queda como una expresión algebraica, y conviene factorizar para simplificar.
Cuando los números del reparto son incógnitas, por ejemplo $x$, $x+1$ y $x+2$, se usa lo que se sabe (la constante $k$, una parte o el total) para armar una ecuación y resolverla. Después se verifica que las soluciones sirvan para el problema, por ejemplo que sean enteros positivos.
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de…
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de proporcionalidad inversa del reparto es $k = 120$:
- a) Plantea la ecuación correspondiente y halla los tres números enteros.
- b) Determina el valor de cada una de las tres partes obtenidas en el reparto.
Se ha repartido una cantidad de $34\,800$ soles de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido…
Se ha repartido una cantidad de $34\,800$ soles de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido $16\,000$ soles, $12\,000$ soles y $6\,800$ soles respectivamente. Sabiendo que el menor de los tres números originales es $51$, determina el valor de los otros dos números.
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función…
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función de $x$ y simplifica al máximo los polinomios obtenidos.
Vuelve al principio: para repartir la ganancia del puesto entre los tres socios se hace un reparto directo al capital: cada uno recibe $k \cdot c$, con $k = \dfrac{\text{ganancia}}{15{,}000 + 20{,}000 + 25{,}000}$. Es decir, $15{,}000 : 20{,}000 : 25{,}000$ es lo mismo que $3 : 4 : 5$, y a cada uno le tocan $3$, $4$ y $5$ partes de las $12$ en que se divide la ganancia.