Ecuación punto-pendiente de la recta
Un gasfitero cobra un traslado fijo más un valor por cada hora de trabajo. Sabes que por 2 horas cobró cierto total, pero nadie te dice cuánto cobra "con 0 horas". ¿Se puede escribir igual la fórmula del costo? Sí: con la ecuación punto-pendiente, que usa cualquier punto de la recta y su pendiente, sin necesidad de conocer el intercepto con el eje Y. Al final de la página volvemos a este caso.
Deducción de la ecuación punto-pendiente
Si una recta tiene pendiente $m$ y pasa por $P(x_1, y_1)$, para cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta se cumple, por definición de pendiente: $$m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$$ Multiplicando ambos miembros por $(x-x_1)$ obtenemos la forma punto-pendiente.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Rectas notables y gráficos
Leer la ecuación al revés también sirve: en $y-5=-2(x+1)$ se ve enseguida que $m=-2$ y que pasa por $(-1, 5)$ (el signo del paréntesis se invierte).
La bisectriz del 1.er y 3.er cuadrante pasa por el origen y por $(1, 1)$: tiene $m=1$, así que $y-0=1(x-0)$. La del 2.° y 4.° cuadrante tiene $m=-1$: $y-0=-1(x-0)$.
Si tienes el gráfico, busca dos puntos con coordenadas claras, calcula $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ y usa cualquiera de ellos como punto de referencia.
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en…
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia el punto $P$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y…
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, utilizando en ambos casos el origen de coordenadas.
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su…
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su trayectoria.
De punto-pendiente a forma explícita y a forma general
Para hallar un punto de una recta dada en forma general, elige un valor de $x$ (por ejemplo $x=0$) y despeja $y$; ese punto y la pendiente $m=-A/B$ bastan para escribir la forma punto-pendiente.
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación…
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación correspondiente en forma punto-pendiente.
Recta determinada por dos puntos
Si conoces dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ con $x_1 \neq x_2$: primero calculas la pendiente y después aplicas punto-pendiente con cualquiera de los dos.
Este método sirve para modelos lineales. Volvamos al gasfitero: cobra S/ 30 de traslado y S/ 20 por hora, y por 2 horas cobró S/ 70. La pendiente es 20 soles por hora y el punto es $(2, 70)$, así que $C-70=20(h-2)$. Sin necesidad de conocer el intercepto con el eje Y, ya tenemos la fórmula. Si la distribuimos: $C=20h+30$, que es lo que esperábamos.
Un gasfitero cobra $120$ soles por el desplazamiento a domicilio y $80$ soles por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de…
Un gasfitero cobra $120$ soles por el desplazamiento a domicilio y $80$ soles por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $280$ soles, escribe la ecuación punto-pendiente que relaciona el costo total con las horas trabajadas, tomando como referencia este punto conocido.
Una empresa de alquiler de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por un alquiler de $3$ horas se pagan…
Una empresa de alquiler de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por un alquiler de $3$ horas se pagan $56$ soles y por un alquiler de $5$ horas se pagan $80$ soles. Determina la pendiente de la función lineal de costo y escribe su ecuación punto-pendiente tomando los datos del primer cliente.
Un auto circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$.…
Un auto circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$. Escribe la ecuación punto-pendiente que modela la posición del auto en función del tiempo transcurrido desde las $10:00$ horas, expresando el tiempo en horas.
Rectas paralelas y perpendiculares
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Aplicaciones: alineación, mediatriz y altura
La altura de un triángulo desde un vértice es la perpendicular al lado opuesto que pasa por ese vértice: se calcula con el mismo método, pero usando el vértice en lugar del punto medio.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa…
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, y luego verifica si las coordenadas de $C$ satisfacen dicha ecuación.
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su…
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su trayectoria.
Halla la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que…
Halla la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Problemas con rectas
Muchas situaciones tienen variación constante: un auto a velocidad constante, una temperatura, un valor que baja siempre lo mismo. Datos de dos momentos dan dos puntos; la pendiente es la tasa de cambio. A veces el dato es la tasa misma: «por cada S/ 2 más, se venden 50 unidades menos» da $m=\dfrac{-50}{2}=-25$ unidades por sol.
Reflexión en el eje de abscisas. Si un rayo rebota en el eje $x$ (ángulo de incidencia igual al de reflexión), el rayo reflejado es la imagen simétrica del incidente respecto de ese eje: cada punto $(x, y)$ pasa a $(x, -y)$. Por eso la pendiente cambia de signo ($m$ pasa a $-m$) y el punto de impacto, que está sobre el eje, queda en el mismo lugar y sirve de punto de referencia para ambas rectas. Para hallarlo, busca dónde la recta incidente corta al eje ($y=0$).
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $4\,800$ soles y al cabo de $4$ años su valor contable es de $1\,600$ soles,…
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $4\,800$ soles y al cabo de $4$ años su valor contable es de $1\,600$ soles, escribe la ecuación punto-pendiente que relaciona el valor del equipo con los años transcurridos, utilizando el punto correspondiente al cuarto año.
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y…
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y hierve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduce la ecuación punto-pendiente que permite convertir grados Celsius a Fahrenheit utilizando el punto de congelación. A continuación, úsala para calcular la temperatura en Fahrenheit equivalente a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $80$ soles, se demandan $500$…
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $80$ soles, se demandan $500$ unidades, y se ha observado que por cada incremento de $8$ soles en el precio, la demanda cae en $50$ unidades. Escribe la ecuación punto-pendiente de la demanda tomando el primer dato como referencia, y calcula a qué precio la demanda será nula.
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano…
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano perfecto), el rayo se refleja. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla la ecuación punto-pendiente del rayo reflejado tomando como referencia el punto de impacto en el espejo.
Rectas y ejes de coordenadas
La recta corta al eje $x$ cuando $y=0$ y al eje $y$ cuando $x=0$. Esos dos puntos y el origen forman un triángulo rectángulo de catetos $|a|$ y $|b|$, así que su área es $\dfrac{|a|\cdot|b|}{2}$.
Si la ecuación tiene un parámetro $k$, exige que el punto dado la verifique y despeja $k$. Si el punto es la intersección de dos rectas, primero resuelve el sistema que forman.
Cuando el área es un dato, se usan los interceptos como incógnitas.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y $s: x - 3y + 3 = 0$.
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de…
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de corte de la recta con los ejes.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de…
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de ordenadas negativo), forma un triángulo rectángulo de área $4$ unidades cuadradas.