Superficie
Don Ernesto quiere comprar una manzana de terreno en Masaya y el vendedor le dice que son unos $7{,}000\ \text{m}^2$. El piso de tu aula se mide en metros cuadrados y la superficie de toda Nicaragua en $\text{km}^2$. Todo eso es superficie. ¿Cómo haces para pasar de una unidad a otra sin perderte entre tantos ceros? Lo vas a ver en esta página.
La unidad de superficie: el metro cuadrado
Para elegir la unidad conveniente piensa en el tamaño: la pantalla de un celular se mide en $\text{cm}^2$, el piso de tu habitación en $\text{m}^2$, una cancha en $\text{hm}^2$ (o hectáreas) y un país en $\text{km}^2$.
Para tener una idea real de cada unidad, conviene dibujarlas. Un $\text{cm}^2$ es un cuadradito de $1\ \text{cm}$ de lado (como el cuadradito de tu hoja cuadriculada, si es de $1\ \text{cm}$).
Selecciona la unidad de medida más adecuada para expresar la superficie de los siguientes objetos: a) La pantalla de un teléfono inteligente. b) Una cancha de fútbol de…
Selecciona la unidad de medida más adecuada para expresar la superficie de los siguientes objetos:
- a) La pantalla de un teléfono inteligente.
- b) Una cancha de fútbol de Primera División.
- c) La superficie de Nicaragua.
- d) El piso de tu cuarto.
(Opciones: $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)
El cuadro de equivalencias
En longitud, cada paso del cuadro vale $\times 10$. En superficie, cada paso vale $\times 100$, porque se trata de dos dimensiones (largo y ancho).
Para un proyecto de arte, Lucas necesita una cartulina que mide exactamente $2,400 \text{ cm}^2$. Al ir a la papelería, el dependiente le dice que las medidas vienen…
Para un proyecto de arte, Lucas necesita una cartulina que mide exactamente $2,400 \text{ cm}^2$. Al ir a la papelería, el dependiente le dice que las medidas vienen expresadas en decímetros cuadrados. ¿Cuántos $\text{dm}^2$ debe pedir Lucas para su proyecto?
Un agricultor tiene tres parcelas con las siguientes superficies: Parcela A: $0.45 \text{ hm}^2$ Parcela B: $5,200 \text{ m}^2$ Parcela C: $48 \text{ dam}^2$ Ordena las…
Un agricultor tiene tres parcelas con las siguientes superficies:
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Parcela A: $0.45 \text{ hm}^2$
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Parcela B: $5,200 \text{ m}^2$
-
Parcela C: $48 \text{ dam}^2$
Ordena las parcelas de menor a mayor superficie comparando sus medidas en $\text{m}^2$.
La pantalla de un nuevo modelo de tableta tiene unas dimensiones de $250\text{ mm}$ de alto por $160\text{ mm}$ de ancho. El fabricante afirma que el área útil de la…
La pantalla de un nuevo modelo de tableta tiene unas dimensiones de $250\text{ mm}$ de alto por $160\text{ mm}$ de ancho. El fabricante afirma que el área útil de la pantalla es de exactamente $4\text{ dm}^2$. ¿Es cierta la afirmación del fabricante? Justifica tu respuesta realizando los cálculos necesarios en $\text{cm}^2$.
Cambiar de unidad
Cuenta cuántos pasos hay entre las dos unidades. Cada paso es $\times 100$ si bajas (de una unidad mayor a una menor) y $: 100$ si subes.
Forma compleja e incompleja
Una medida está en forma compleja cuando usa varias unidades, por ejemplo $3\ \text{dam}^2\ 25\ \text{m}^2\ 75\ \text{dm}^2$. Está en forma incompleja cuando usa una sola unidad.
Para pasar de incompleja a compleja, haces al revés: cada unidad lleva dos cifras (porque cada paso es ×100), salvo la mayor.
Expresa en forma incompleja (utilizando una sola unidad) en metros cuadrados la siguiente medida de superficie expresada en forma compleja: $3 \text{ dam}^2$,…
Expresa en forma incompleja (utilizando una sola unidad) en metros cuadrados la siguiente medida de superficie expresada en forma compleja:
$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ y $75 \text{ dm}^2$
Un agricultor tiene una finca de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ y $25\text{ ca}$. Decide vender una parte de su terreno para la construcción de una carretera. La parte…
Un agricultor tiene una finca de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ y $25\text{ ca}$. Decide vender una parte de su terreno para la construcción de una carretera. La parte vendida mide exactamente $4,200\text{ m}^2$. ¿Qué superficie de finca, expresada en forma compleja (hectáreas, áreas y centiáreas), le queda al agricultor?
Un diseñador gráfico está creando un logo sobre una lámina metálica. El logo consiste en un cuadrado central de $4 \text{ dm}^2$ de área. Alrededor de este cuadrado,…
Un diseñador gráfico está creando un logo sobre una lámina metálica. El logo consiste en un cuadrado central de $4 \text{ dm}^2$ de área. Alrededor de este cuadrado, añade cuatro cuadrados más pequeños cuyos lados miden la mitad que el lado del cuadrado central. Expresa la superficie total del logo en milímetros cuadrados y en decímetros cuadrados utilizando únicamente la forma incompleja.
Unidades agrarias: hectárea, área y centiárea
Para campos y terrenos grandes se usan unidades especiales, más cómodas que los $\text{m}^2$ con muchos ceros.
En el campo nicaragüense los terrenos se miden en manzanas (y en varas cuadradas). Una manzana equivale a unos $7{,}000\ \text{m}^2$, o sea $0.7\ \text{ha}$: es un poco menos que una hectárea. Los cafetales y los cañaverales suelen medirse en manzanas, y las fincas grandes también en hectáreas.
En el mundo de la agricultura se utilizan unidades especiales. Relaciona cada medida del Sistema Internacional con su unidad agraria correspondiente: a) $1 \text{ hm}^2$…
En el mundo de la agricultura se utilizan unidades especiales. Relaciona cada medida del Sistema Internacional con su unidad agraria correspondiente:
- a) $1 \text{ hm}^2$
- b) $1 \text{ dam}^2$
- c) $1 \text{ m}^2$
I. Área ($a$)
II. Hectárea ($ha$)
III. Centiárea ($ca$)
Un incendio forestal ha afectado a una zona de la sierra. Las noticias indican que se han quemado $12\text{ km}^2$ y $45\text{ hm}^2$ de bosque. Para organizar la…
Un incendio forestal ha afectado a una zona de la sierra. Las noticias indican que se han quemado $12\text{ km}^2$ y $45\text{ hm}^2$ de bosque. Para organizar la reforestación, los técnicos forestales necesitan conocer la superficie afectada en áreas ($a$) y centiáreas ($ca$). Realiza la conversión a ambas unidades.
En un plan de reforestación después de un incendio, se va a trabajar sobre una superficie de $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ y $20 \text{ ca}$. Los ingenieros forestales…
En un plan de reforestación después de un incendio, se va a trabajar sobre una superficie de $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ y $20 \text{ ca}$. Los ingenieros forestales han decidido que se debe plantar un árbol por cada $12 \text{ m}^2$ de terreno. Si el costo de cada planta es de $\text{C\$}\ 168$ y la mano de obra cuesta $\text{C\$}\ 8\,750$ por cada decámetro cuadrado trabajado, ¿cuál será el presupuesto total necesario para la reforestación?
Comparar y operar con superficies
Para ordenar o sumar superficies dadas en unidades distintas, primero pasalas todas a la misma unidad.
Una alcaldía ha decidido crear un parque central de $5 \text{ hectáreas}$. Si quieren instalar una zona de juegos que ocupe $1,500 \text{ m}^2$, ¿cuántos metros…
Una alcaldía ha decidido crear un parque central de $5 \text{ hectáreas}$. Si quieren instalar una zona de juegos que ocupe $1,500 \text{ m}^2$, ¿cuántos metros cuadrados quedarán disponibles para árboles y caminos en el resto del parque?
Una alcaldía está planificando la creación de un nuevo parque periurbano. Han comprado tres parcelas colindantes cuyas superficies están expresadas en diferentes…
Una alcaldía está planificando la creación de un nuevo parque periurbano. Han comprado tres parcelas colindantes cuyas superficies están expresadas en diferentes unidades:
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Parcela A: $0.052\text{ km}^2$
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Parcela B: $140\text{ dam}^2$
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Parcela C: $8,500\text{ m}^2$
Expresa la superficie total del futuro parque en hectáreas ($ha$).
Ordena de mayor a menor las siguientes superficies de parques naturales de Nicaragua, convirtiéndolas previamente todas a una misma unidad (la que prefieras): Parque A:…
Ordena de mayor a menor las siguientes superficies de parques naturales de Nicaragua, convirtiéndolas previamente todas a una misma unidad (la que prefieras):
-
Parque A: $12,400,000\text{ m}^2$
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Parque B: $1,350\text{ ha}$
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Parque C: $128\text{ km}^2$
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Parque D: $1,250,000\text{ dam}^2$
Superficies en planos y mapas
En un plano o en un mapa, la superficie dibujada es mucho más chica que la real. Si en el mapa $1\ \text{cm}$ representa $50\ \text{m}$, el largo real es $50$ veces el del dibujo. Pero la superficie tiene dos dimensiones: un cuadrado de $1\ \text{cm}$ de lado en el mapa representa un cuadrado de $50\ \text{m}$ de lado, o sea
$$50 \cdot 50 = 2{,}500\ \text{m}^2.$$Entonces $1\ \text{cm}^2$ del mapa equivale a $2{,}500\ \text{m}^2$ reales. Ese número es el factor de escala de superficie: es el cuadrado del factor de la escala de longitudes.
En un plano a escala de un centro comercial, el pasillo central está representado por un rectángulo que tiene una superficie de $450\text{ cm}^2$. Si sabemos que en la…
En un plano a escala de un centro comercial, el pasillo central está representado por un rectángulo que tiene una superficie de $450\text{ cm}^2$. Si sabemos que en la realidad ese pasillo ocupa $0.18\text{ dam}^2$:
- a) Expresa ambas cantidades en $\text{dm}^2$.
- b) ¿Cuántas veces es mayor la superficie real que la superficie del plano?
Un mapa de un parque natural tiene una escala tal que $1 \text{ cm}^2$ en el papel representa $2,500 \text{ m}^2$ en la realidad. Si el parque tiene una forma irregular…
Un mapa de un parque natural tiene una escala tal que $1 \text{ cm}^2$ en el papel representa $2,500 \text{ m}^2$ en la realidad. Si el parque tiene una forma irregular que ocupa $480 \text{ cm}^2$ en el mapa, calcula su superficie real en hectáreas, áreas y centiáreas (forma compleja). Si un incendio destruye $0.4 \text{ km}^2$ del parque, ¿qué porcentaje de la superficie total ha quedado a salvo?
Áreas de figuras y figuras compuestas
Recuerda las fórmulas básicas: rectángulo $A = b \cdot h$, cuadrado $A = l \cdot l$. Para una figura irregular, lo más fácil es descomponerla en rectángulos y cuadrados, y sumar (o restar) sus áreas.
Área y perímetro son independientes
Que dos figuras tengan la misma superficie no quiere decir que tengan el mismo perímetro, y al revés. Mira la familia de rectángulos de $12\ \text{m}^2$:
| Largo | Ancho | Área | Perímetro |
|---|---|---|---|
| $12\ \text{m}$ | $1\ \text{m}$ | $12\ \text{m}^2$ | $26\ \text{m}$ |
| $6\ \text{m}$ | $2\ \text{m}$ | $12\ \text{m}^2$ | $16\ \text{m}$ |
| $4\ \text{m}$ | $3\ \text{m}$ | $12\ \text{m}^2$ | $14\ \text{m}$ |
Misma área, perímetros distintos: cuanto más «parecido a un cuadrado» es el rectángulo, menor es el perímetro.
Ahora al revés, con perímetro $16\ \text{m}$: un rectángulo de $6\ \text{m} \times 2\ \text{m}$ tiene área $12\ \text{m}^2$ y uno de $4\ \text{m} \times 4\ \text{m}$ tiene área $16\ \text{m}^2$. Entre los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado es el de mayor área; entre los de igual área, el cuadrado es el de menor perímetro.
Y si duplicas el largo y el ancho de un rectángulo, el perímetro se duplica, pero el área se multiplica por 4. No hay proporcionalidad directa entre el lado y el área. Al revés, si cada lado mide la mitad, el perímetro se reduce a la mitad y el área es la cuarta parte ($\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$).
Calcula el área de la siguiente figura sombreada contando los cuadros de la cuadrícula. Ten en cuenta que cada cuadro pequeño representa una superficie de…
Calcula el área de la siguiente figura sombreada contando los cuadros de la cuadrícula. Ten en cuenta que cada cuadro pequeño representa una superficie de $1 \text{ m}^2$. Expresa el resultado final en decámetros cuadrados ($\text{dam}^2$).
En una urbanización, se va a pavimentar una zona común cuadrada que mide $10 \text{ metros}$ de lado. Se van a utilizar losetas cuadradas de $1 \text{ dm}^2$ de…
En una urbanización, se va a pavimentar una zona común cuadrada que mide $10 \text{ metros}$ de lado. Se van a utilizar losetas cuadradas de $1 \text{ dm}^2$ de superficie cada una. ¿Cuántas losetas se necesitarán para cubrir toda la zona?
Queremos cambiar el suelo de una cocina que tiene forma rectangular y mide $420\text{ cm}$ de largo por $3\text{ m}$ de ancho. Si vamos a utilizar baldosas cuadradas de…
Queremos cambiar el suelo de una cocina que tiene forma rectangular y mide $420\text{ cm}$ de largo por $3\text{ m}$ de ancho. Si vamos a utilizar baldosas cuadradas de $20\text{ dm}^2$ de superficie cada una:
- a) Calcula la superficie total de la cocina en $\text{m}^2$.
- b) ¿Cuántas baldosas necesitaremos para cubrir todo el suelo?
Figuras compuestas con partes quitadas
A veces una pieza se forma sumando partes y quitando otras, como un hueco. Calculas el área de cada parte, las pasas a una misma unidad, sumas lo que se agrega y restas lo que se quita.
Calcula el área de la siguiente figura irregular descomponiéndola en cuadrados y rectángulos. Cada cuadrado de la cuadrícula de fondo representa una superficie de…
Calcula el área de la siguiente figura irregular descomponiéndola en cuadrados y rectángulos. Cada cuadrado de la cuadrícula de fondo representa una superficie de $100\text{ cm}^2$. Expresa el resultado final en decímetros cuadrados ($\text{dm}^2$).
Un artista quiere cubrir la fachada lateral de un edificio con placas solares cuadradas de $50 \text{ cm}$ de lado. La fachada es un rectángulo de $12 \text{ m}$ de alto…
Un artista quiere cubrir la fachada lateral de un edificio con placas solares cuadradas de $50 \text{ cm}$ de lado. La fachada es un rectángulo de $12 \text{ m}$ de alto y $3.5 \text{ dam}$ de largo, pero hay que descontar 8 ventanas simétricas que miden $150 \text{ dm}^2$ cada una. Calcula el número total de placas solares que necesita comprar para cubrir toda la superficie disponible de la fachada.
Calcula la superficie total de la siguiente figura compuesta de piezas metálicas. La pieza principal es un rectángulo de $0.8 \text{ m}$ por $15 \text{ cm}$, a la que se…
Calcula la superficie total de la siguiente figura compuesta de piezas metálicas. La pieza principal es un rectángulo de $0.8 \text{ m}$ por $15 \text{ cm}$, a la que se le han soldado en cada uno de sus cuatro vértices unas orejetas cuadradas de $25 \text{ mm}$ de lado. Además, en el centro se ha practicado un orificio circular cuya superficie es de $450 \text{ mm}^2$. Expresa el resultado final en centímetros cuadrados aproximando a las unidades.
Porcentajes y problemas de varios pasos
Muchos problemas dicen «el 25 % del terreno» o «se desperdicia el 5 %». Un porcentaje es una fracción con denominador $100$: el $25\,\%$ son $25$ partes de cada $100$, es decir, la cuarta parte.
En un problema largo, ordénate así: primero pasa todo a una misma unidad, luego calcula las superficies, después aplica la división o el porcentaje, y al final calcula el dinero o la cantidad que piden.
Para la construcción de un nuevo centro comercial, se ha cercado un terreno rectangular que mide $2.4 \text{ hm}$ de largo y $150 \text{ m}$ de ancho. La alcaldía obliga…
Para la construcción de un nuevo centro comercial, se ha cercado un terreno rectangular que mide $2.4 \text{ hm}$ de largo y $150 \text{ m}$ de ancho. La alcaldía obliga a dedicar el $25 \%$ de la superficie total a áreas verdes y otro $15 \%$ a estacionamientos. Si el resto se divide en locales comerciales de $120 \text{ m}^2$ de superficie media, ¿cuántos locales se podrán construir en total?
El piso de un polideportivo de $12.5 \text{ dam}^2$ de superficie va a ser renovado. Se han comprado cajas de baldosas de alta resistencia, donde cada caja contiene…
El piso de un polideportivo de $12.5 \text{ dam}^2$ de superficie va a ser renovado. Se han comprado cajas de baldosas de alta resistencia, donde cada caja contiene material para cubrir $2.5 \text{ m}^2$ y cuesta $\text{C\$}\ 1\,575$. Además del costo del material, la empresa instaladora cobra $\text{C\$}\ 630$ por cada metro cuadrado colocado. ¿A cuánto asciende la factura total si se compra un $5 \%$ más de material del necesario para compensar lo que se desperdicia en cortes y roturas?
El ayuntamiento ha habilitado un terreno para huertos urbanos escolares que tiene una extensión de $0.12 \text{ km}^2$ y $5.4 \text{ hm}^2$. Para aprovechar mejor el…
El ayuntamiento ha habilitado un terreno para huertos urbanos escolares que tiene una extensión de $0.12 \text{ km}^2$ y $5.4 \text{ hm}^2$. Para aprovechar mejor el terreno, lo dividen en parcelas de $60 \text{ áreas}$ cada una. Si cada una de estas parcelas produce una media de $850 \text{ kg}$ de hortalizas al año y el precio medio de mercado de las hortalizas es de $0.75 \text{ \text{C\$}\ /kg}$, calcula el valor total de la producción de todo el terreno en una cosecha.
Volviendo al principio: la manzana de don Ernesto, unos $7{,}000\ \text{m}^2$, equivale a $0.7\ \text{ha}$. Para no perderte entre tantos ceros, cuenta los pasos del cuadro y recuerda que cada uno vale $\times 100$ o $: 100$.