Problemas de proporcionalidad
Un carro a control remoto recorre más metros cuantos más segundos pasan. En una colonia de Tegucigalpa, el tanque comunitario de agua se llena en menos horas si se abren más llaves. Dos situaciones muy distintas, pero las dos se resuelven comparando cómo cambia una cantidad cuando cambia la otra. ¿Cómo sabe cuándo usar una multiplicación y cuándo una división? Eso va a aprender aquí.
Magnitudes que van de la mano
Cuando dos magnitudes están relacionadas, al cambiar una también cambia la otra. Hay dos formas muy frecuentes de que pase esto:
En la proporcionalidad directa, al multiplicar una magnitud por un número, la otra se multiplica por el mismo número: el doble de tiempo, el doble de distancia. También se cumple que la suma de dos valores de una corresponde a la suma de los valores de la otra. En la inversa, al multiplicar una por un número, la otra se divide por ese número.
Una tabla le ayuda a verlo. En la directa, el cociente entre las dos magnitudes siempre da lo mismo: esa es la constante de proporcionalidad.
| Tiempo (s) | 3 | 6 | 9 |
|---|---|---|---|
| Distancia (m) | 15 | 30 | 45 |
Aquí $15 \div 3 = 30 \div 6 = 45 \div 9 = 5$: el carro avanza 5 metros por segundo.
En matemáticas, una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir y expresar con un número. De la siguiente lista de situaciones relacionadas con los videojuegos,…
En matemáticas, una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir y expresar con un número. De la siguiente lista de situaciones relacionadas con los videojuegos, indique cuáles son magnitudes y cuáles no:
-
El número de puntos de experiencia ($XP$) acumulados.
-
Lo divertido que es el nivel final.
-
El tiempo que tarda en cargar una partida.
-
La belleza de los gráficos del escenario.
-
El precio en lempiras de una suscripción mensual.
Indique si los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales (al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción) o si no tienen relación de…
Indique si los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales (al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción) o si no tienen relación de proporcionalidad:
- a) El número de fundas para el celular que compra y el precio total a pagar.
- b) La edad de un adolescente y su estatura en centímetros.
- c) Los minutos que está encendido un foco y el consumo de energía.
- d) El número de goles que anota un equipo y la edad de su capitán.
Reducción a la unidad y razones
La forma más sencilla de resolver un problema de proporcionalidad directa es averiguar primero cuánto corresponde a una sola unidad y después multiplicar. Es lo mismo que encontrar la constante de proporcionalidad de la tabla.
Razones
Una razón compara dos cantidades con una fracción. Si la razón entre madera y piedra es $\frac{5}{3}$, por cada 5 de madera hacen falta 3 de piedra. Si la razón entre cobre y zinc es $5:2$, por cada 5 partes de cobre hay 2 de zinc: la pieza tiene $5 + 2 = 7$ partes en total.
Escalas
Una escala $1:50$ significa que $1$ cm del plano son $50$ cm de la realidad. Es una proporcionalidad directa: se multiplican las medidas del dibujo por $50$. Un mapa $1:25{,}000$ funciona igual: $1$ cm del mapa son $25{,}000$ cm, es decir, $250$ m reales.
Para preparar un batido de frutas para $2$ personas, utilizamos $3$ piezas de fruta. Queremos invitar a nuestros amigos y hacer batido para $6$ personas. Calcula cuántas…
Para preparar un batido de frutas para $2$ personas, utilizamos $3$ piezas de fruta. Queremos invitar a nuestros amigos y hacer batido para $6$ personas. Calcula cuántas piezas de fruta necesitaremos completando la siguiente proporción:
$$\frac{2 \text{ personas}}{3 \text{ frutas}} = \frac{6 \text{ personas}}{x \text{ frutas}}$$Si $5$ paquetes de figuras de su serie favorita cuestan $156.25$ lempiras, ¿cuánto cuesta un solo paquete? Utilice este dato para calcular cuánto le costarían $12$…
Si $5$ paquetes de figuras de su serie favorita cuestan $156.25$ lempiras, ¿cuánto cuesta un solo paquete? Utilice este dato para calcular cuánto le costarían $12$ paquetes.
Pista: Utilice el método de reducción a la unidad.
Un carro de control remoto recorre $15$ metros en $3$ segundos. Si mantiene siempre la misma velocidad, complete la siguiente tabla de proporcionalidad directa: | Tiempo…
Un carro de control remoto recorre $15$ metros en $3$ segundos. Si mantiene siempre la misma velocidad, complete la siguiente tabla de proporcionalidad directa:
| Tiempo (segundos) | $3$ | $1$ | $6$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Distancia (metros) | $15$ | ? | ? | ? |
En un popular videojuego de construcción, la razón entre la cantidad de madera y de piedra necesaria para construir una cabaña es de $\frac{5}{3}$. Si un jugador ha…
En un popular videojuego de construcción, la razón entre la cantidad de madera y de piedra necesaria para construir una cabaña es de $\frac{5}{3}$. Si un jugador ha recolectado $120$ unidades de madera para su base secreta, ¿cuántas unidades de piedra necesitará exactamente para mantener la proporción del diseño original?
Para organizar una merienda de cumpleaños, has visto una receta de "smoothie" de frutas donde se utilizan $450$ ml de leche para $3$ personas. Si finalmente se han…
Para organizar una merienda de cumpleaños, has visto una receta de "smoothie" de frutas donde se utilizan $450$ ml de leche para $3$ personas. Si finalmente se han apuntado $11$ amigos a la fiesta, ¿qué cantidad de leche necesitarás comprar? Expresa el resultado en litros usando la regla de tres directa.
Una famosa plataforma de "streaming" ofrece un pack de datos para ver series en alta definición. Si por $15$ horas de visualización el consumo es de $37.5$ GB de datos,…
Una famosa plataforma de "streaming" ofrece un pack de datos para ver series en alta definición. Si por $15$ horas de visualización el consumo es de $37.5$ GB de datos, ¿cuántos gigas consumirá un usuario que ve una maratón de su serie favorita durante $4$ horas? Utiliza el método de reducción a la unidad.
Está diseñando el plano de su habitación ideal a una escala de $1:50$. En su dibujo, la mesa de la computadora mide $2.4$ cm de largo y $1.2$ cm de ancho. ¿Cuáles serán…
Está diseñando el plano de su habitación ideal a una escala de $1:50$. En su dibujo, la mesa de la computadora mide $2.4$ cm de largo y $1.2$ cm de ancho. ¿Cuáles serán las dimensiones reales (largo y ancho) de la mesa en metros cuando la compre?
Un mapa de senderismo tiene una escala de $1:25,000$. En el mapa, un joven mide un trayecto rectangular para una ruta que tiene $6$ cm de largo y $4$ cm de ancho. Si…
Un mapa de senderismo tiene una escala de $1:25,000$. En el mapa, un joven mide un trayecto rectangular para una ruta que tiene $6$ cm de largo y $4$ cm de ancho. Si camina a una velocidad constante de $5$ km/h, ¿cuántas horas y minutos tardará en recorrer todo el perímetro de esa ruta rectangular en la realidad?
Para fabricar una aleación metálica especial se mezclan cobre y zinc en una razón de $5:2$. Si en una fundición han utilizado $12.6$ kg de cobre más que de zinc para…
Para fabricar una aleación metálica especial se mezclan cobre y zinc en una razón de $5:2$. Si en una fundición han utilizado $12.6$ kg de cobre más que de zinc para crear una pieza, ¿cuál es el peso total de la pieza metálica obtenida?
Cuando a más, menos: la proporcionalidad inversa
Algunos problemas van al revés: cuantas más llaves, obreros o máquinas trabajan a la vez, menos tiempo se tarda.
Otra forma de pensarlo: el trabajo total es $3 \times 12 = 36$ «llave-horas». Si el trabajo es el mismo, se divide entre las llaves que quedan.
Trabajo en dos etapas
A veces el trabajo se hace en dos partes y cambia el número de llaves a mitad del camino. Entonces se calcula primero qué fracción del tanque ya se llenó.
Repartos inversamente proporcionales
A veces hay que repartir una cantidad de modo que quien tardó menos reciba más. Entonces el reparto es inversamente proporcional al tiempo: en lugar de usar los tiempos, se usan sus inversos y se reparte directamente.
Cuando los inversos no dan partes enteras, el valor de una parte puede ser un decimal: aproxime el dinero a los centavos y verifique que la suma dé el total (con aproximaciones puede diferir en un centavo).
Tres llaves de agua iguales tardan exactamente $12$ horas en llenar un tanque de agua de $18,000$ litros. Tras estar funcionando las tres llaves durante $4$ horas, una…
Tres llaves de agua iguales tardan exactamente $12$ horas en llenar un tanque de agua de $18,000$ litros. Tras estar funcionando las tres llaves durante $4$ horas, una de ellas se arruina y deja de verter agua. ¿Cuántas horas adicionales necesitarán las otras dos llaves para terminar de llenar el tanque?
En una competición de robótica, tres amigos se reparten un premio de $540$ lempiras de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado en completar el…
En una competición de robótica, tres amigos se reparten un premio de $540$ lempiras de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado en completar el circuito. El primer amigo tardó $4$ minutos, el segundo tardó $5$ minutos y el tercero tardó $10$ minutos. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?
Porcentajes en problemas del día a día
Un porcentaje es una proporción expresada como tanto por cada 100. $40\,\%$ es lo mismo que la fracción $\frac{40}{100}$ o el decimal $0.4$.
Para hallar qué porcentaje representa una parte, se divide la parte entre el total. Si pasó de $12{,}500$ a $15{,}625$ seguidores, ganó $3{,}125$; y $3{,}125 \div 12{,}500 = 0.25$, o sea un aumento del $25\,\%$.
Porcentaje de un porcentaje
A veces un porcentaje se aplica sobre otro grupo, no sobre el total. Se trabaja de adentro hacia afuera: de la parte pequeña al grupo, y del grupo al total.
Cambios sucesivos
Muchos problemas encadenan varios cambios: una rebaja y después un impuesto, por ejemplo. Rebajar un $20\,\%$ es multiplicar por $0.80$; sumar un $15\,\%$ de ISV (Impuesto Sobre Ventas) es multiplicar por $1.15$.
El $40 \%$ de los alumnos de una clase de 1º ESO prefiere el cine de ciencia ficción. Si en la clase hay $30$ alumnos, ¿cuántos de ellos prefieren este tipo de cine?…
El $40 \%$ de los alumnos de una clase de 1º ESO prefiere el cine de ciencia ficción. Si en la clase hay $30$ alumnos, ¿cuántos de ellos prefieren este tipo de cine?
Expresa primero el porcentaje en forma de fracción y decimal:
-
Fracción: $\frac{40}{100}$
-
Decimal: $0.4$
Observa la barra de carga de una descarga de un archivo de música. Si el total del archivo ocupa $10$ MB y la barra indica que se ha descargado el $70 \%$, ¿cuántos MB…
Observa la barra de carga de una descarga de un archivo de música. Si el total del archivo ocupa $10$ MB y la barra indica que se ha descargado el $70 \%$, ¿cuántos MB se han descargado ya?
En una tienda de ropa, un cartel indica que todos los artículos tienen un $25 \%$ de descuento. Si quieres comprar una sudadera que cuesta $40$ lempiras, calcula cuánto…
En una tienda de ropa, un cartel indica que todos los artículos tienen un $25 \%$ de descuento.
Si quieres comprar una sudadera que cuesta $40$ lempiras, calcula cuánto dinero te ahorrarás.
Recuerda: El $25 \%$ es lo mismo que dividir la cantidad entre $4$.
El número de seguidores de un "influencer" ha pasado de $12,500$ a $15,625$ en un solo mes gracias a un video viral. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de sus…
El número de seguidores de un "influencer" ha pasado de $12,500$ a $15,625$ en un solo mes gracias a un video viral. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de sus seguidores?
Un scooter eléctrico consume el $12$ % de su batería para recorrer $4.5$ km en terreno plano. El trayecto desde su casa hasta el colegio es de $11.25$ km. a) ¿Qué…
Un scooter eléctrico consume el $12$ % de su batería para recorrer $4.5$ km en terreno plano. El trayecto desde su casa hasta el colegio es de $11.25$ km.
- a) ¿Qué porcentaje de batería consumirá en total en todo el trayecto?
- b) Al salir de casa, la batería marca un $25$ %. ¿Llegará a clase sin quedarse sin batería? Justifique su respuesta.
El precio de una tableta gráfica en una tienda online es de $4\,000$ lempiras sin impuestos. Si al finalizar la compra se aplica un IVA del $21$ %, pero tienes un cupón…
El precio de una tableta gráfica en una tienda online es de $4\,000$ lempiras sin impuestos. Si al finalizar la compra se aplica un IVA del $21$ %, pero tienes un cupón de descuento del $10$ % que se aplica sobre el precio final (con IVA incluido), ¿cuánto dinero pagarás finalmente por la tableta?
Un dispositivo de videojuegos tiene un precio inicial en una tienda. Durante la semana del "Black Friday", se le aplica un descuento del $20\%$. Sin embargo, al precio…
Un dispositivo de videojuegos tiene un precio inicial en una tienda. Durante la semana del "Black Friday", se le aplica un descuento del $20\%$. Sin embargo, al precio resultante se le debe añadir un $21\%$ de IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido). Si un cliente termina pagando un total de $290.40$ lempiras, ¿cuál era el precio del dispositivo antes de aplicar el descuento y el impuesto?
En un colegio, el $60\%$ de los alumnos practica algún deporte. De esos alumnos deportistas, el $25\%$ juega al baloncesto. Si sabemos que hay $45$ alumnos que juegan al…
En un colegio, el $60\%$ de los alumnos practica algún deporte. De esos alumnos deportistas, el $25\%$ juega al baloncesto. Si sabemos que hay $45$ alumnos que juegan al baloncesto, ¿cuántos alumnos hay en total en el colegio y cuántos de ellos no practican ningún deporte?
Un carro consume un promedio de $6.5$ litros de gasolina cada $100$ kilómetros si circula a una velocidad de $90$ km/h. Sin embargo, si aumenta su velocidad a $120$…
Un carro consume un promedio de $6.5$ litros de gasolina cada $100$ kilómetros si circula a una velocidad de $90$ km/h. Sin embargo, si aumenta su velocidad a $120$ km/h, su consumo aumenta en un $20\%$. ¿Cuántos litros de gasolina consumirá en un viaje de $360$ km circulando siempre a $120$ km/h?
Una tienda de ropa anuncia que todas sus prendas tienen un $30\%$ de descuento. Carmen compra un pantalón y, al llegar a la caja, le informan de que por ser "socia del…
Una tienda de ropa anuncia que todas sus prendas tienen un $30\%$ de descuento. Carmen compra un pantalón y, al llegar a la caja, le informan de que por ser "socia del club" tiene un descuento adicional del $10\%$ sobre el precio ya rebajado. Si finalmente paga por el pantalón $37.80$ lempiras, ¿cuál era el precio original del pantalón y qué porcentaje de descuento total se le ha aplicado realmente?
Vuelva al principio: el carro a control remoto es proporcionalidad directa (se multiplica por la constante), y las llaves de agua, proporcionalidad inversa (se divide, porque el producto es constante).