Potencias de números racionales
Una pelota de goma rebota en la cancha de básquetbol del instituto de Quetzaltenango (Xela) donde estudia Josué y en cada bote sube $\frac{2}{3}$ de la altura anterior: ¿a qué altura llega después de 4 botes? Y en la calculadora de tu celular seguro viste cosas como $10^{-3}$. En esta página vas a aprender qué significan las potencias de fracciones y los exponentes negativos.
Potencias de una fracción
Elevar una fracción es elevar el numerador y el denominador:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$Una baldosa cuadrada de lado $\frac{2}{5}$ m, como las de un piso de mercado en Cobán, tiene un área de $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$ m²: en un metro cuadrado caben 25 cuadraditos de $\frac{1}{5}$ m de lado, y la baldosa ocupa 4.
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias. Recuerda que debes elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado. Expresa el resultado como…
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias. Recuerda que debes elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado. Expresa el resultado como una fracción irreducible.
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$\left( \frac{2}{3} \right)^3$
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$\left( \frac{1}{5} \right)^2$
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$\left( \frac{3}{2} \right)^4$
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$\left( \frac{10}{7} \right)^0$
Tenemos una baldosa cuadrada pequeña para un mosaico. El lado de la baldosa mide $\frac{2}{5}$ de metro. Calcula el área que ocupa esta baldosa expresando el resultado…
Tenemos una baldosa cuadrada pequeña para un mosaico. El lado de la baldosa mide $\frac{2}{5}$ de metro. Calcula el área que ocupa esta baldosa expresando el resultado como una fracción.
Ayúdate del siguiente esquema visual:
A veces confundimos el tamaño de las fracciones cuando las elevamos a una potencia. Observa el siguiente gráfico que representa la unidad, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ y…
A veces confundimos el tamaño de las fracciones cuando las elevamos a una potencia. Observa el siguiente gráfico que representa la unidad, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ y $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.
Basándote en la lógica anterior, ordena las siguientes potencias de menor a mayor:
$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$Exponentes negativos
Fíjate en la tabla: cada vez que el exponente baja una unidad, el resultado se divide por la base. Si seguimos el patrón por debajo de 0, aparecen las fracciones.
Prueba con distintas bases y exponentes negativos. Si la base es mayor que 1 (como $2^{-3}$), el resultado se hace cada vez más pequeño; si la base está entre 0 y 1 (como $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$), el resultado crece. En ambos casos, con base positiva, nunca llega a 0 ni se vuelve negativo.
En matemáticas, a veces necesitamos cambiar el signo del exponente para poder operar. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo, invirtiendo…
En matemáticas, a veces necesitamos cambiar el signo del exponente para poder operar. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo, invirtiendo la base cuando sea necesario. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia transformada.
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$\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$
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$\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$
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$5^{-3}$
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$\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$
Encuentra el número que falta en cada hueco para que las igualdades sean ciertas. Escribe en tu cuaderno la igualdad completa. 1.…
Encuentra el número que falta en cada hueco para que las igualdades sean ciertas. Escribe en tu cuaderno la igualdad completa.
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$\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$
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$\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$
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$\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$
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$\left( \frac{3}{7} \right)^3 \times \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$
Calcula el valor de las siguientes potencias transformándolas primero en potencias de exponente positivo. Recuerda que el resultado debe ser una fracción irreducible. a)…
Calcula el valor de las siguientes potencias transformándolas primero en potencias de exponente positivo. Recuerda que el resultado debe ser una fracción irreducible.
- a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
- b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
- c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
- d) $(\frac{10}{3})^{-1}$
El signo del resultado
Solo hay que mirar la base y si el exponente es par o impar:
| Base | Exponente par | Exponente impar |
|---|---|---|
| Positiva | $+$ $\quad (2^4 = 16)$ | $+$ $\quad (2^3 = 8)$ |
| Negativa | $+$ $\quad ((-2)^4 = 16)$ | $-$ $\quad ((-2)^3 = -8)$ |
Con exponente negativo se aplica lo mismo, después de invertir: $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} = (-2)^3 = -8$.
Potencias de $-1$ y exponente par
Como $(-1)\cdot(-1) = 1$, podemos escribir $(-1)^{2n} = \left[(-1)^2\right]^n = 1^n = 1$ para cualquier $n$ entero, y también para $n = 0$ (porque $(-1)^0 = 1$). En cambio, $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}\cdot(-1) = -1$.
Con $n$ fraccionario hay que fijarse en el exponente que resulta: si $n = \frac{3}{2}$, entonces $2n = 3$ y $(-1)^3 = -1$. Es decir, $(-1)^{2n} = 1$ solo cuando $2n$ es un número par.
Relación entre $a$ y $a^2$
Un cuadrado nunca es negativo: $a^2 = a \cdot a$ tiene exponente par, así que $a^2 \geq 0$ para cualquier $a$ (y es $0$ solo si $a = 0$).
¿Quién es mayor, $a$ o $a^2$? Miramos el signo de la diferencia: $a^2 - a = a\,(a - 1)$.
| Valor de $a$ | Qué pasa | Ejemplo |
|---|---|---|
| $a < 0$ | $a^2 > 0 > a$ | $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} > -\frac{1}{2}$ |
| $a = 0$ o $a = 1$ | $a^2 = a$ | $0^2 = 0$ y $1^2 = 1$ |
| $0 < a < 1$ | $a^2 < a$ | $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} < \frac{2}{3}$ |
| $a > 1$ | $a^2 > a$ | $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} > \frac{3}{2}$ |
¿Por qué? En $a(a-1)$, si $0 < a < 1$ el primer factor es positivo y el segundo negativo, así que $a^2 - a < 0$. Si $a > 1$ los dos son positivos y $a^2 - a > 0$. Si $a < 0$ los dos son negativos y el producto es positivo. Solo vale $0$ cuando $a = 0$ o $a = 1$.
Determina el signo (positivo o negativo) del resultado de las siguientes potencias sin necesidad de realizar el cálculo completo. Razona tu respuesta basándote en si la…
Determina el signo (positivo o negativo) del resultado de las siguientes potencias sin necesidad de realizar el cálculo completo. Razona tu respuesta basándote en si la base es negativa y si el exponente es par o impar.
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$\left( -\frac{1}{2} \right)^4$
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$\left( -\frac{3}{4} \right)^3$
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$\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$
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$\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$
Operar con potencias de fracciones
Las propiedades que ya conoces (producto y cociente de igual base, potencia de una potencia, mismo exponente) siguen valiendo con bases fraccionarias y exponentes negativos:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \qquad a^n : b^n = (a : b)^n$$La clave es llevar todo a la misma base y después sumar o restar exponentes.
Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia (no hace falta calcular…
Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia (no hace falta calcular el valor final).
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$\left( \frac{3}{4} \right)^5 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2$
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$\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$
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$\left( \frac{1}{2} \right)^3 \times \left( \frac{1}{2} \right)$
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$\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$
Calcula las siguientes potencias que tienen el mismo exponente pero distinta base. Recuerda que puedes multiplicar las bases primero y elevar el resultado al exponente…
Calcula las siguientes potencias que tienen el mismo exponente pero distinta base. Recuerda que puedes multiplicar las bases primero y elevar el resultado al exponente común. Expresa el resultado como una fracción simplificada.
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$\left( \frac{2}{5} \right)^3 \times \left( \frac{5}{4} \right)^3$
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$\left( \frac{1}{3} \right)^2 \times 6^2$
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$\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$
Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y escribe el resultado como una única potencia de base racional. No hace falta que…
Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y escribe el resultado como una única potencia de base racional. No hace falta que calcules el valor final, solo la potencia simplificada.
- a) $(\frac{2}{7})^3 \times (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
- b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \times (\frac{1}{5})^4$
- c) $(\frac{2}{3})^4 \times (\frac{6}{5})^4$
Tenemos una pelota de goma especial. Cada vez que rebota contra el suelo, alcanza una altura que es $\frac{2}{3}$ de la altura anterior. Si dejamos caer la pelota desde…
Tenemos una pelota de goma especial. Cada vez que rebota contra el suelo, alcanza una altura que es $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.
Si dejamos caer la pelota desde una altura de 2 metros:
- a) Expresa mediante una potencia la altura que alcanza tras el cuarto rebote.
- b) ¿Es esa altura mayor o menor que 0.3 metros? Justifica tu respuesta usando el cálculo de la potencia.
Calcula el valor de $x$ en cada una de las siguientes igualdades para que sean ciertas. Piensa en las propiedades de las potencias de igual base. a)…
Calcula el valor de $x$ en cada una de las siguientes igualdades para que sean ciertas. Piensa en las propiedades de las potencias de igual base.
- a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
- b) $(\frac{3}{5})^4 \times (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
- c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias de base racional: a)…
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias de base racional:
- a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
- b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
- c) $ \frac{2^x \times 2^3}{2^{-1}} = 32 $
Problemas y expresiones más complejas
Cuando aparecen bases como 4, 9, 12 o 25, conviene descomponerlas en factores primos para que todas las bases sean iguales. Por ejemplo, $\left(\frac{4}{9}\right)^{-2} = \left(\frac{2^2}{3^2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$.
Las potencias también aparecen al reducir figuras: si la arista de un cubo se reduce a la mitad, el volumen queda multiplicado por $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. Y con letras valen las mismas reglas: $\left(x^2 y^{-3}\right)^{-2} = x^{-4} y^{6}$.
Simplifica las siguientes expresiones. Para ello, primero deberás descomponer las bases en factores primos para que todas las bases sean iguales, y después aplicar las…
Simplifica las siguientes expresiones. Para ello, primero deberás descomponer las bases en factores primos para que todas las bases sean iguales, y después aplicar las propiedades de las potencias.
- a) $(\frac{4}{9})^{-2} \times (\frac{2}{3})^5$
- b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$
Observa la figura de un cubo mágico. Supongamos que la arista de un cubo grande mide $L$. Si reducimos la longitud de la arista a la mitad ($\frac{1}{2}L$), ¿cómo cambia…
Observa la figura de un cubo mágico. Supongamos que la arista de un cubo grande mide $L$.
Si reducimos la longitud de la arista a la mitad ($\frac{1}{2}L$), ¿cómo cambia su volumen?
- a) Calcula el volumen del cubo original ($V_{grande}$) y del cubo reducido ($V_{pequeño}$) en función de $L$.
- b) Expresa la relación $\frac{V_{pequeño}}{V_{grande}}$ como una potencia de base $\frac{1}{2}$.
- c) Si el cubo grande tiene un volumen de $512 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen del cubo reducido?
Realiza las siguientes operaciones combinadas paso a paso, respetando la jerarquía de operaciones. Expresa el resultado final como una fracción irreducible. $$ \left(…
Realiza las siguientes operaciones combinadas paso a paso, respetando la jerarquía de operaciones. Expresa el resultado final como una fracción irreducible.
$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \times 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Si alguna es falsa, escribe la igualdad correcta. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$ b)…
Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Si alguna es falsa, escribe la igualdad correcta.
- a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
- b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
- c) $(\frac{x}{y})^{-1} \times (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
- d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$
Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos y debe estar simplificado…
Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos y debe estar simplificado al máximo. Ten mucho cuidado con los signos de las bases y los paréntesis.
$$ \left[ \frac{(x^2 \times y^{-3})^{-2} \times (x^{-1} \times y^2)^3}{(x^3 \times y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$Calcula el valor exacto de la siguiente operación combinada con fracciones y exponentes enteros. Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con…
Calcula el valor exacto de la siguiente operación combinada con fracciones y exponentes enteros. Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con fracciones irreducibles.
$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \times \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \times \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$En arquitectura, a menudo se utilizan diseños fractales donde una figura se repite a diferentes escalas. Imagina que diseñamos una vidriera triangular siguiendo este…
En arquitectura, a menudo se utilizan diseños fractales donde una figura se repite a diferentes escalas. Imagina que diseñamos una vidriera triangular siguiendo este patrón:
Partimos de un triángulo equilátero de área $A$. En el paso 1, dividimos el triángulo en 4 triángulos iguales y quitamos el central (el triángulo invertido). En el paso 2, repetimos el proceso con los 3 triángulos que quedan, y así sucesivamente.
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Escribe la potencia de base racional que representa la fracción de área que queda coloreada después del paso $n$.
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Si el área inicial es de $256 \text{ cm}^2$, calcula el área restante después de 4 iteraciones.
Simplifica la siguiente expresión descomponiendo las bases en factores primos. El resultado debe expresarse como una única potencia o un producto de potencias de bases…
Simplifica la siguiente expresión descomponiendo las bases en factores primos. El resultado debe expresarse como una única potencia o un producto de potencias de bases primas.
$$ \frac{27^{-2} \times (-12)^4 \times 9^{-1}}{18^3 \times (-3)^{-5}} $$Un cubo de Rubik estándar de $3 \times 3 \times 3$ está formado por pequeños cubos unitarios. Imagina que construimos cubos gigantes formados por cubitos de 1 cm de…
Un cubo de Rubik estándar de $3 \times 3 \times 3$ está formado por pequeños cubos unitarios. Imagina que construimos cubos gigantes formados por cubitos de 1 cm de lado.
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Si tenemos un cubo gigante cuyo volumen es $8^{4} \text{ cm}^3$, expresa la longitud de su arista como una potencia de base 2.
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Si pintamos el exterior de ese cubo gigante, ¿cuántos cubitos unitarios tendrán al menos una cara pintada? Expresa el cálculo utilizando potencias y la resta de volúmenes.
Ordena los siguientes números de menor a mayor sin calcular su valor decimal, utilizando las propiedades de las potencias para compararlos (pista: intenta igualar las…
Ordena los siguientes números de menor a mayor sin calcular su valor decimal, utilizando las propiedades de las potencias para compararlos (pista: intenta igualar las bases o los exponentes). Justifica tu respuesta paso a paso.
$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$La capacidad de almacenamiento de las computadoras ha crecido exponencialmente. Sabiendo que: 1 Kilobyte (KB) = $2^{10}$ bytes 1 Megabyte (MB) = $2^{10}$ KB 1 Gigabyte…
La capacidad de almacenamiento de las computadoras ha crecido exponencialmente.
Sabiendo que:
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1 Kilobyte (KB) = $2^{10}$ bytes
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1 Megabyte (MB) = $2^{10}$ KB
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1 Gigabyte (GB) = $2^{10}$ MB
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1 Terabyte (TB) = $2^{10}$ GB
Calcula cuántos archivos de música, que ocupan un promedio de $4 \times 10^6$ bytes cada uno, caben aproximadamente en un disco duro de 2 TB. Expresa el resultado en notación científica y como una potencia de base 2 aproximada (considerando $10^3 \approx 2^{10}$).
Vuelta al principio: tras 4 botes, la pelota llega a $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$ de la altura inicial (menos del $20\,\%$). Y en la calculadora, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1{,}000} = 0.001$.