La función cuadrática

Para cada una de estas funciones cuadráticas, indica los valores de los coeficientes $a$, $b$ y $c$, y razona, sin representarla, si la parábola tiene las ramas hacia arriba o hacia abajo:

1. a) $y = 2x^2 - 3x + 5$

1. b) $y = -x^2 + 4x$

1. c) $y = 6 - x^2$

1. d) $y = \frac{1}{2}x^2$

En la figura aparecen las parábolas $y = x^2$, $y = 2x^2$ e $y = \frac{1}{2}x^2$, como se muestra a continuación.

1. a) Asocia cada parábola con su ecuación.

1. b) ¿Qué efecto tiene en la forma de la parábola el valor del coeficiente $a$ en $y = ax^2$?

Indica, sin representarlas, si el vértice de cada parábola es un máximo o un mínimo de la función:

1. a) $y = -5x^2 + 3x - 1$

1. b) $y = 0.2x^2 - 4x + 6$

1. c) $y = 7x - x^2$

Explica de qué coeficiente depende y por qué.

En la figura aparecen tres parábolas, $a$, $b$ y $c$, obtenidas trasladando la parábola $y = x^2$.

1. a) Asocia cada una con su ecuación: $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$, $y = x^2$.

1. b) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de cada una?

1. c) ¿Qué coordenadas tendría el vértice de $y = (x + 1)^2 - 5$? Justifícalo sin representarla.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un ejemplo o un contraejemplo:

1. a) «Toda parábola corta al eje $X$ en dos puntos.»

1. b) «La parábola $y = x^2 + c$ nunca tiene el vértice por debajo del punto $(0, c)$.»

1. c) «Si dos parábolas tienen el mismo vértice, entonces son la misma parábola.»

1. d) «La gráfica de $y = -x^2$ se obtiene reflejando $y = x^2$ respecto al eje $X$.»

La figura muestra la gráfica de una parábola. Cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 unidad en cada eje.

1. a) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? ¿Es un máximo o un mínimo?

1. b) ¿En qué puntos corta la parábola al eje $X$?

1. c) ¿Cuál es su eje de simetría?

Considera la parábola $y = x^2 - 4x + 3$.

1. a) Calcula la abscisa del vértice con la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ y halla después su ordenada.

1. b) Haz una tabla de valores tomando valores de $x$ alrededor del vértice.

1. c) Represéntala e indica su eje de simetría.

Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, -4)$ y pasa por el punto $P(3, 0)$.

1. a) ¿Cuál es su eje de simetría?

1. b) Usando la simetría de la parábola, halla otro punto por el que también pase.

1. c) ¿En qué puntos corta al eje $X$?

Un alumno calcula el vértice de la parábola $y = 2x^2 - 8x + 1$ así:

«$x = \frac{b}{2a} = \frac{-8}{2 \times 2} = -2$. Para $x = -2$, $y = 2 \times (-2)^2 - 8 \times (-2) + 1 = 25$. El vértice es $V(-2, 25)$ y es un mínimo porque $a = 2 > 0$.»

1. a) Encuentra los errores que ha cometido en la fórmula y en los cálculos.

1. b) Halla el vértice correcto y razona si es un máximo o un mínimo.

1. c) Comprueba que el valor de $y$ en el vértice es coherente con la orientación de las ramas.

Considera la función $y = x^2 - 2$.

1. a) Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores para $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ y $3$.

1. b) Representa la parábola en unos ejes cartesianos.

1. c) ¿Cuál es su vértice? ¿Y su eje de simetría?

Sin representarlas, calcula el punto de corte con el eje $Y$ de cada una de estas parábolas:

1. a) $y = x^2 - 6x + 8$

1. b) $y = -3x^2 + 2x - 7$

1. c) $y = 4x^2$

¿Qué coeficiente de la ecuación determina siempre este punto de corte?

Halla los puntos de corte de la parábola $y = x^2 - 5x + 6$ con los ejes de coordenadas:

1. a) Con el eje $Y$.

1. b) Con el eje $X$, resolviendo la ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. c) Calcula el vértice y comprueba que su abscisa está justo en medio de los dos cortes con el eje $X$.

La gráfica de la figura corresponde a una de estas tres funciones, como se muestra a continuación:

• $y = x^2 - 4x + 5$

• $y = -x^2 + 4x - 1$

• $y = x^2 + 4x + 5$

1. a) ¿Cuál de las tres es? Razona la respuesta usando el sentido de las ramas, el punto de corte con el eje $Y$ y el eje de simetría.

1. b) Confirma tu elección calculando el vértice de la función elegida y comparándolo con el de la gráfica.

Considera la familia de parábolas $y = x^2 - 6x + k$, donde $k$ es un número cualquiera.

1. a) Calcula el vértice de la parábola en función de $k$. ¿Qué tienen en común todas las parábolas de la familia?

1. b) ¿Para qué valores de $k$ la parábola corta al eje $X$ en dos puntos? ¿Y en uno solo? ¿Y en ninguno?

1. c) Representa en tu cuaderno las parábolas para $k = 5$, $k = 9$ y $k = 13$ y comprueba lo anterior.

La tabla corresponde a una función cuadrática:

1. a) Calcula las diferencias entre valores consecutivos de $y$ (primeras diferencias).

1. b) Calcula las diferencias de esas diferencias (segundas diferencias). ¿Qué observas?

1. c) ¿Cuál es el vértice de la parábola? ¿Hacia dónde abren sus ramas?

Halla la ecuación de la parábola $y = ax^2 + bx + c$ que pasa por los puntos $A(0, 3)$, $B(1, 0)$ y $C(3, 0)$:

1. a) Sustituye las coordenadas de $A$ para obtener el valor de $c$.

1. b) Sustituye las de $B$ y $C$ y plantea un sistema de dos ecuaciones con incógnitas $a$ y $b$.

1. c) Resuelve el sistema y escribe la ecuación de la parábola. ¿Cuál es su vértice?

En una parábola, los puntos $A(-1, 5)$ y $B(5, 5)$ están a la misma altura.

1. a) Sin conocer la ecuación, calcula la abscisa del vértice usando la simetría.

1. b) Si además la parábola pasa por el origen, razona cuál es el otro punto de corte con el eje $X$.

1. c) Halla la ecuación de la parábola sabiendo que su vértice tiene ordenada $-4$.

Investiga si la recta $y = 2x + 1$ corta a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$:

1. a) Plantea el sistema formado por ambas ecuaciones y reduce a una única ecuación de segundo grado.

1. b) Resuélvela e interpreta el resultado: ¿se cortan? ¿En cuántos puntos?

1. c) Repite el estudio con la recta $y = 2x - 4$. ¿Qué diferencia hay?

En la caída libre, la distancia recorrida por un objeto que se deja caer es, aproximadamente, $d = 5t^2$, donde $t$ es el tiempo en segundos y $d$ la distancia en metros.

1. a) Completa en tu cuaderno una tabla de valores para $t = 0$, $1$, $2$, $3$ y $4$.

1. b) ¿Qué distancia ha caído a los $3\ \text{s}$?

1. c) Si un cascote tarda $2.5\ \text{s}$ en llegar al suelo, ¿desde qué altura cayó?

La gráfica muestra la altura de una pelota lanzada hacia arriba en función del tiempo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué instante?

1. b) ¿Desde qué altura se lanzó?

1. c) ¿En qué instante vuelve la pelota a la altura de lanzamiento?

Un balón de voleibol se golpea desde el suelo y su altura, en metros, viene dada por $h = -5t^2 + 20t$, donde $t$ es el tiempo en segundos, como se muestra en la figura.

1. a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuánto vale esa altura?

1. b) ¿Cuánto tiempo tarda en volver al suelo?

1. c) ¿Qué altura tiene a los $3\ \text{s}$? ¿Está subiendo o bajando?

Un hortelano quiere vallar un huerto rectangular pegado a la pared de su casa, de modo que solo necesita valla para tres lados. Dispone de $40\ \text{m}$ de valla.

1. a) Si el lado perpendicular a la pared mide $x$ metros, expresa la longitud del lado paralelo en función de $x$.

1. b) Escribe la función que da el área del huerto en función de $x$. ¿De qué tipo es?

1. c) Calcula el vértice de la parábola y deduce las dimensiones que hacen máxima el área. ¿Cuánto vale esa área máxima?

En un tiro libre de baloncesto, el balón sigue una trayectoria dada por $h = -0.08x^2 + 0.64x + 1.9$, donde $x$ es la distancia horizontal al jugador en metros y $h$ la altura del balón en metros. La canasta está a $4.6\ \text{m}$ del jugador y el aro a $3.05\ \text{m}$ de altura.

1. a) ¿Qué altura tiene el balón cuando llega a la vertical de la canasta? ¿Encesta el tiro?

1. b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón durante el tiro?

Una asociación vecinal quiere cercar un jardín rectangular usando los $120\ \text{m}$ de malla metálica de que dispone, como se muestra en la figura.

1. a) Si uno de los lados mide $x$ metros, expresa el otro lado en función de $x$.

1. b) Escribe la función que da el área del jardín en función de $x$.

1. c) Halla las dimensiones que hacen máxima el área y calcula dicha área.

1. d) Comprueba que el rectángulo de área máxima es un cuadrado. ¿Crees que ocurrirá siempre al cercar con un perímetro fijo? Investígalo con un perímetro de $80\ \text{m}$.

Un cohete de feria alcanza una altura, en metros, dada por $h = -5t^2 + 25t$ en los $t$ segundos tras el lanzamiento.

1. a) Plantea y resuelve la ecuación que permite saber en qué instantes el cohete está a $30\ \text{m}$ de altura.

1. b) Explica por qué hay dos soluciones y qué significa cada una.

1. c) ¿Qué altura máxima alcanza el cohete?

Tarea de decisión. El teatro del instituto vende las entradas de la obra de fin de curso. Por experiencia de otros años, si la entrada cuesta $\text{Q}\ 48$ asisten $300$ espectadores, y por cada $\text{Q}\ 4$ que sube el precio asisten $20$ espectadores menos, como se muestra en la figura.

1. a) Si el precio sube $x$ veces $\text{Q}\ 4$, expresa el precio de la entrada y el número de espectadores en función de $x$.

1. b) Escribe la función que da los ingresos en función de $x$. ¿De qué tipo es?

1. c) ¿Qué precio de entrada maximiza los ingresos? ¿Cuánto se recaudaría?

1. d) La asociación de padres de familia propone bajar la entrada a $\text{Q}\ 40$ para llenar la sala. Compara los ingresos con los del caso óptimo y decide cuál de las dos opciones recomendarías, argumentando con tus cálculos.

Una saltadora se impulsa desde un trampolín y su altura sobre el agua, en metros, viene dada por $h = -5t^2 + 6t + 1.8$, con $t$ en segundos.

1. a) ¿Qué altura tiene el trampolín? Justifica de dónde sale ese dato en la fórmula.

1. b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la saltadora?

1. c) Plantea la ecuación para saber cuánto tiempo tarda en llegar al agua y resuélvela. ¿Por qué descartas una de las soluciones?

Un túnel de montaña tiene sección parabólica: su anchura en la base es de $12\ \text{m}$ y su altura máxima en el centro es de $6\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Colocando el origen de coordenadas en el centro de la calzada, justifica que la bóveda del túnel tiene por ecuación $y = ax^2 + 6$ y halla el valor de $a$.

1. b) Un camión de $4\ \text{m}$ de anchura y $3.8\ \text{m}$ de altura circula centrado. ¿Pasa por el túnel? Calcula la altura de la bóveda en los laterales del camión.

1. c) Si el camión se desplaza $1\ \text{m}$ hacia un lado, ¿sigue pasando? Justifícalo con cálculos.