Porcentajes
Feria de descuentos en la Sexta Avenida: un cartel de «30 % de descuento», la barra de descarga de tu juego en el 75 % y, en la factura, «IVA 12 %». Los porcentajes aparecen por todos lados. ¿Un 20 % de descuento seguido de otro 10 % es lo mismo que un 30 % de una sola vez? Al final de la sección de encadenados lo vas a poder justificar.
Qué es un porcentaje
La barra de abajo está dividida en cuartos. Marcar el 75 % es pintar $\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ del total.
Prueba con el interactivo: cambia el numerador y mira qué parte del total queda pintada.
Pasar de un porcentaje a fracción es escribirlo sobre $100$ y simplificar: $25\,\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. Pasar a decimal es dividir por $100$, o sea, correr el punto decimal dos lugares a la izquierda: $25\,\% = 0.25$.
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área…
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área sombreada con color naranja está reservada para máquinas recreativas, ¿qué porcentaje del total ocupa dicha zona? Expresa el resultado también en forma de fracción irreducible.
Calcular el porcentaje de una cantidad
Para calcular el $n\,\%$ de una cantidad, la multiplicas por $\dfrac{n}{100}$.
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de…
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de jugadores que utilizan tableta para competir.
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y…
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y entre $10$ para el $10\%$):
- a) El $50\%$ de $84$ espectadores en una transmisión en vivo.
- b) El $25\%$ de una pizza de $400$ gramos.
- c) El $10\%$ de un pase de transporte que cuesta $280$ quetzales.
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos…
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos gigabytes se han descargado ya?
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía…
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía le quedan todavía? ¿Qué porcentaje de la batería ha consumido ya?
En la votación para elegir las actividades del festival del instituto participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller…
En la votación para elegir las actividades del festival del instituto participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller de robótica. ¿Cuántos alumnos votaron por el taller de robótica?
Porcentajes menores que 1 % y mayores que 100 %
Un porcentaje no tiene que estar entre $0$ y $100$.
-
Menor que 1 %: es menos que «uno de cada cien». Por ejemplo, $0.5\,\% = \dfrac{0.5}{100} = 0.005$.
-
Mayor que 100 %: es más que el total. Por ejemplo, $200\,\%$ es el doble y $300\,\%$ es el triple, porque $200\,\% = \dfrac{200}{100} = 2$.
Calcula, razonando cada paso: a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.) b) El $150\%$ de $60$. c) El $0.5\%$ de $800$. d) El $300\%$ de…
Calcula, razonando cada paso:
- a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.)
- b) El $150\%$ de $60$.
- c) El $0.5\%$ de $800$.
- d) El $300\%$ de $12$.
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$: a) Un suero fisiológico contiene un $0.9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?…
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$:
- a) Un suero fisiológico contiene un $0.9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?
- b) Un lote de $2,000$ kg de harina tiene un $0.05\%$ de impurezas. ¿Cuántos kilogramos de impurezas contiene?
¿Qué porcentaje es una parte del total?
Ahora lo que quieres saber es el porcentaje. Armas la razón $\dfrac{\text{parte}}{\text{total}}$ y la escribes como fracción de denominador $100$ (o la divides con la calculadora y multiplicas por $100$).
El mismo método sirve para saber cuánto aumentó o disminuyó algo: dividís la variación por el valor inicial.
En una encuesta realizada en tu clase de 1.° básico, $18$ de los $30$ alumnos han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el porcentaje…
En una encuesta realizada en tu clase de 1.° básico, $18$ de los $30$ alumnos han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el porcentaje de alumnos que prefieren el cine de terror.
Pista: Puedes escribir primero la razón en forma de fracción $\frac{18}{30}$ y luego buscar una fracción equivalente con denominador $100$.
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el…
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el porcentaje de respuestas correctas, el de fallos y el de preguntas no contestadas sobre el total. Comprueba que la suma de los tres porcentajes es el $100\%$.
Un barrio tenía $1,200$ vecinos hace diez años y hoy tiene $3,000$. a) ¿En cuántos vecinos ha aumentado la población? b) ¿Qué porcentaje de aumento representa respecto a…
Un barrio tenía $1,200$ vecinos hace diez años y hoy tiene $3,000$.
- a) ¿En cuántos vecinos ha aumentado la población?
- b) ¿Qué porcentaje de aumento representa respecto a los vecinos que había hace diez años? ¿Es un porcentaje mayor o menor que el $100\%$? Interpreta el resultado.
Hallar el total conociendo una parte
A veces conoces cuánto vale un cierto porcentaje y quieres el total. Es el camino inverso: divides la parte entre el porcentaje (escrito como decimal), o buscas cuánto vale el $1\,\%$ o el $10\,\%$.
Cuando el enunciado habla de un «resto», piensa en que todo suma $100\,\%$. Si dos grupos suman $80\,\%$, el resto es el $20\,\%$, y lo que te dan como dato corresponde a ese porcentaje.
Para organizar el viaje de fin de curso, los estudiantes de 1.° básico han vendido boletos de una rifa. Si ya han vendido $360$ boletos, lo que representa el $75\%$ del…
Para organizar el viaje de fin de curso, los estudiantes de 1.° básico han vendido boletos de una rifa. Si ya han vendido $360$ boletos, lo que representa el $75\%$ del total que tenían, ¿cuántos boletos tenían en total para vender? ¿Cuántos les quedan todavía por vender?
Un videojuego de aventuras ocupa $12$ GB en la memoria de una consola. Si el sistema indica que ese juego ocupa el $15\%$ de la memoria total disponible, ¿cuántos GB de…
Un videojuego de aventuras ocupa $12$ GB en la memoria de una consola. Si el sistema indica que ese juego ocupa el $15\%$ de la memoria total disponible, ¿cuántos GB de capacidad tiene la memoria de la consola en total?
Marta ha subido un video a "TikTok". En las primeras dos horas, ha conseguido $180$ "likes". Si sabe que el $12\%$ de las personas que ven el video le dan a "like",…
Marta ha subido un video a "TikTok". En las primeras dos horas, ha conseguido $180$ "likes". Si sabe que el $12\%$ de las personas que ven el video le dan a "like", ¿cuántas visualizaciones ha tenido el video en total durante esas dos horas?
En una encuesta realizada en tu instituto sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los alumnos prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 alumnos…
En una encuesta realizada en tu instituto sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los alumnos prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 alumnos restantes eligen otras plataformas. ¿Cuántos alumnos hay en total en el instituto? ¿Cuántos de ellos prefieren Instagram?
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el…
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el candidato C ganó con 28 votos más que el candidato B, ¿cuántos alumnos votaron en total? ¿Cuántos votos recibió cada candidato?
Aumentos y descuentos
Si algo cuesta $100\,\%$ y le descuentas un $20\,\%$, queda el $80\,\%$. Si le aumentas un $20\,\%$, pasa a ser el $120\,\%$. Por eso conviene usar un factor.
Unos tenis que costaban $480$ quetzales tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos quetzales te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás por…
Unos tenis que costaban $480$ quetzales tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos quetzales te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás por ellos?
El precio de una computadora portátil en una tienda es de $3\,600$ quetzales sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de IVA (Impuesto al Valor Agregado),…
El precio de una computadora portátil en una tienda es de $3\,600$ quetzales sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de IVA (Impuesto al Valor Agregado), ¿cuál será el precio final que tendremos que pagar por la computadora portátil?
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios. a) Un alumno dice: «aumentar un…
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios.
- a) Un alumno dice: «aumentar un $150\%$ significa que ahora hay $150$ socios». Explica su error.
- b) Calcula cuántos socios hay ahora. Recuerda: aumentar un $150\%$ significa sumar al número inicial su $150\%$.
- c) Si el año que viene el club quiere llegar a triplicar los socios del año pasado, ¿qué porcentaje de aumento necesita respecto al año pasado?
Interés simple
Si guardas dinero en una cooperativa o un banco, te pagan un interés: un porcentaje del dinero por cada año. Si pides un préstamo, tú lo pagas. En el interés simple, el porcentaje se calcula siempre sobre el capital inicial.
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de…
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde una computadora. Calcula el número exacto de jugadores que utilizan tableta para competir.
En la votación para elegir las actividades del festival del instituto participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller…
En la votación para elegir las actividades del festival del instituto participaron $1200$ alumnos. El $65\%$ eligió el torneo de deportes y el resto prefirió el taller de robótica. ¿Cuántos alumnos votaron por el taller de robótica?
Porcentajes encadenados
Cuando se aplican dos o más porcentajes seguidos, cada uno actúa sobre el resultado anterior. Entonces se multiplican los factores.
También puede haber un descuento en quetzales fijos junto a uno porcentual. En ese caso no se multiplican factores: primero aplicas el porcentaje y después restas los quetzales.
El almacenamiento de un teléfono celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12.5\%$ del total. Si Álex ya ocupó el $60\%$ del espacio libre que…
El almacenamiento de un teléfono celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12.5\%$ del total. Si Álex ya ocupó el $60\%$ del espacio libre que quedaba, ¿cuántos Gigabytes tiene todavía disponibles para instalar nuevas aplicaciones?
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\text{Q}\ 680$ tiene una rebaja del $20\%$. Sin embargo, por ser el último día de las rebajas, aplican un descuento…
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\text{Q}\ 680$ tiene una rebaja del $20\%$. Sin embargo, por ser el último día de las rebajas, aplican un descuento adicional del $10\%$ sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál es el precio final de los tenis? ¿Es lo mismo que aplicar un único descuento del $30\%$? Justifica tu respuesta calculando ambos casos.
En un teatro con capacidad para $750$ personas, hoy se han quedado sin vender el $12\%$ de las entradas. De las entradas vendidas, el $65\%$ han sido para adultos y el…
En un teatro con capacidad para $750$ personas, hoy se han quedado sin vender el $12\%$ de las entradas. De las entradas vendidas, el $65\%$ han sido para adultos y el resto para menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años han asistido hoy al teatro?
Una marca de refrescos ha decidido reducir el contenido de azúcar de su bebida estrella. Antes, una lata de $330 \text{ ml}$ contenía $35 \text{ g}$ de azúcar. Ahora han…
Una marca de refrescos ha decidido reducir el contenido de azúcar de su bebida estrella. Antes, una lata de $330 \text{ ml}$ contenía $35 \text{ g}$ de azúcar. Ahora han lanzado una versión con un descuento del azúcar del $40\%$ y, además, han aumentado el tamaño de la lata un $10\%$.
-
¿Cuántos gramos de azúcar tiene la nueva lata?
-
¿Qué porcentaje de azúcar representa el peso del azúcar sobre el volumen total en la nueva lata? (Considera $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ para el refresco).
Un servicio de streaming de películas cuesta $\text{Q}\ 9.99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%$. Sin embargo, este…
Un servicio de streaming de películas cuesta $\text{Q}\ 9.99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%$. Sin embargo, este mes hay una promoción especial y, sobre ese precio anual ya rebajado, te descuentan otros $\text{Q}\ 10$ fijos. ¿Cuánto ahorrarás en total al año si aprovechas ambas ofertas comparado con pagar mes a mes?
Vuelve al principio: un $20\,\%$ de descuento seguido de un $10\,\%$ multiplica por $0.80 \cdot 0.90 = 0.72$, o sea que equivale a un descuento del $28\,\%$, no del $30\,\%$.
El IVA: hallar el precio sin impuesto
En Guatemala, el IVA es del $12\,\%$ y aparece en la factura. El precio final es el precio sin IVA multiplicado por $1.12$. Si conoces el precio final y quieres el precio base, haces el camino inverso: divides entre $1.12$. Algunos ejercicios usan otra tasa de IVA; el método es el mismo: divide entre $1$ más la tasa en decimal.
Álex ha comprado una computadora para jugar a sus videojuegos favoritos. El precio final que ha pagado, incluyendo el $21\%$ de IVA, ha sido de $\text{Q}\ 11\,616$. Su…
Álex ha comprado una computadora para jugar a sus videojuegos favoritos. El precio final que ha pagado, incluyendo el $21\%$ de IVA, ha sido de $\text{Q}\ 11\,616$. Su amigo le dice que la computadora costaba $\text{Q}\ 9\,600$ antes de impuestos. ¿Tiene razón su amigo? Realiza los cálculos necesarios para encontrar el precio base (sin IVA) de la computadora.