Figuras semejantes

¿Son semejantes dos cuadrados si uno tiene un lado de $5 \text{ cm}$ y otro un lado de $12 \text{ cm}$? Justifica tu respuesta basándote en las dos condiciones que deben cumplir los polígonos para ser semejantes: ángulos correspondientes y lados homólogos.

Tenemos tres triángulos rectángulos, de los que conocemos las medidas de sus catetos:

• Triángulo A: catetos de $3\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$.

• Triángulo B: catetos de $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$.

• Triángulo C: catetos de $5\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$.

Identifica cuáles de ellos son semejantes comprobando si sus lados homólogos son proporcionales. Calcula la razón de semejanza entre los dos que elijas.

Un diseñador gráfico está creando dos carteles rectangulares que deben ser semejantes. El cartel original mide $60 \text{ cm}$ de ancho y $40 \text{ cm}$ de alto. Si el segundo cartel tiene un ancho de $120 \text{ cm}$, ¿cuál debe ser su altura para que mantenga la misma forma? Calcula también la razón de semejanza $k$ de la ampliación.

Tenemos dos fotografías de un mismo monumento, una pequeña y otra ampliada. Sabemos que son figuras semejantes. En la foto pequeña, la altura del monumento es de $5 \text{ cm}$ y su anchura es de $3 \text{ cm}$. En la foto ampliada, la altura es de $15 \text{ cm}$.

1. a) ¿Cuál será la anchura del monumento en la foto ampliada?

1. b) Indica la razón de semejanza (de la foto pequeña a la ampliada) en forma de número decimal.

Una pantalla de tablet de forma rectangular tiene unas dimensiones de $24 \text{ cm} \times 18 \text{ cm}$. Queremos fabricar una funda para un modelo de smartphone más pequeño que sea semejante a la tablet. Si el lado mayor del smartphone mide $12 \text{ cm}$, ¿cuánto debe medir el lado menor? ¿Cuál es el porcentaje de reducción aplicado?

Para un proyecto de plástica, Lucía ha dibujado un rayo en una cuadrícula. Ahora necesita dibujar otro rayo que sea una reducción del primero con una razón de semejanza $k = 0,5$. Si el rayo original mide $8 \text{ cm}$ de largo, ¿cuánto medirá el largo del nuevo rayo? ¿Qué significa que la razón de semejanza sea menor que $1$?

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original cabe en un cuadrado de lado $4\text{ cm}$. Para la cabecera de la página web, necesita ampliarlo de modo que el nuevo lado sea de $10\text{ cm}$.

1. a) Calcula la razón de semejanza $k$ de la ampliación.
2. b) Si el logotipo original tiene una línea decorativa interna que mide $2,5\text{ cm}$, ¿cuánto medirá esa misma línea en el logotipo ampliado?

Un estudiante de diseño gráfico está trabajando con un logotipo rectangular que mide $12\text{ cm}$ de ancho y $8\text{ cm}$ de alto. Primero, decide aplicar una ampliación del 150% para un cartel publicitario. Después, sobre ese cartel, realiza una reducción al 40% para adaptarlo a una tarjeta de visita.

• a) ¿Cuál es la razón de semejanza total entre el logotipo original y el de la tarjeta de visita?

• b) ¿Es el logotipo de la tarjeta de visita más grande o más pequeño que el original? Razona la respuesta calculando las dimensiones finales.

• c) Si el área del logotipo original era de $96\text{ cm}^2$, ¿cuál será el área del logotipo en la tarjeta de visita?

Un mapa de una reserva natural está dibujado a una escala tal que $2 \text{ cm}$ en el papel representan $500 \text{ m}$ en la realidad. Si el sendero principal mide $6 \text{ cm}$ en el mapa, ¿cuál es su longitud real en metros? Expresa también la escala del mapa en el formato habitual $1:n$.

En un mapa de una isla de un videojuego, la distancia entre el "Puerto Pirata" y la "Montaña del Destino" es de $4,5\text{ cm}$. Si sabemos que la escala del mapa es $1:20.000$:

1. a) ¿Cuál es la distancia real, expresada en metros, entre estos dos puntos?
2. b) Si un bosque ocupa en el mapa una superficie de $3\text{ cm}^2$, ¿cuál es su superficie real en metros cuadrados?

Un arquitecto presenta el plano de un apartamento a escala $1:50$. En el salón, que es perfectamente rectangular, ha dibujado una alfombra que mide $6\text{ cm}$ de largo y $4\text{ cm}$ de ancho. El cliente le pide que la alfombra real sea un 20% más larga y un 20% más ancha.

• a) ¿Cuáles son las dimensiones reales de la alfombra solicitada por el cliente?

• b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre la alfombra del dibujo y la alfombra real final?

• c) ¿Qué porcentaje ha aumentado el área de la alfombra real respecto a la que originalmente estaba prevista en el plano?

Dos pentágonos son semejantes y la razón de semejanza entre ellos es $k = 3$. Si el perímetro del pentágono más pequeño es de $25 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor? Razona tu respuesta explicando la relación entre la razón de semejanza y los perímetros de figuras semejantes.

Dos marcos de fotos rectangulares son semejantes. El marco pequeño tiene unas dimensiones de $10\text{ cm} \times 15\text{ cm}$. El marco grande tiene un perímetro de $150\text{ cm}$.

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el marco grande y el pequeño?
2. b) ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) del marco grande?

Un centro comercial tiene una planta en forma de trapecio. En el plano arquitectónico, hecho a escala $1:500$, la base mayor mide $16\text{ cm}$, la base menor mide $12\text{ cm}$ y la altura es de $8\text{ cm}$.

1. a) Calcula las dimensiones reales de la planta del centro comercial en metros.
2. b) Calcula la razón entre el área del plano y el área real.

En clase de Plástica, Lucía ha hecho un dibujo de un faro sobre una cuadrícula. Ahora quiere reproducirlo al triple de su tamaño original para decorar un mural.

1. a) Si en el dibujo original el faro tiene una base de $2\text{ cm}$, ¿qué ancho deberá tener la base en la reproducción?
2. b) Lucía calculó que el área que ocupa el faro en su cuaderno es de $12\text{ cm}^2$. ¿Qué superficie ocupará el faro en el mural? Recuerda la relación entre las áreas de figuras semejantes.

Se han fabricado dos señales de tráfico de "STOP" que son semejantes (octógonos regulares). La señal pequeña tiene un lado de $20\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $1931\text{ cm}^2$. Si la señal grande tiene un lado de $30\text{ cm}$:

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
2. b) ¿Cuál es el perímetro de la señal grande?
3. c) ¿Cuál será el área de la señal grande? (Expresa el resultado en $\text{cm}^2$).

Un equipo de cine utiliza una maqueta de un rascacielos para una escena de acción. La maqueta mide $1,2\text{ m}$ de altura y su base tiene una superficie de $0,15\text{ m}^2$. Si el rascacielos real tiene una altura de $180\text{ m}$:

1. a) Calcula la escala a la que se ha construido la maqueta.
2. b) ¿Cuál es la superficie real de la base del edificio?

En una maqueta de un centro deportivo realizada a escala $1:250$, la piscina olímpica ocupa una superficie de $20\text{ cm}^2$ y tiene una capacidad (volumen) de $160\text{ cm}^3$.

• a) Calcula la superficie real de la piscina en metros cuadrados ($m^2$).

• b) Calcula la capacidad real de la piscina en litros ($L$). (Recuerda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).

• c) Si queremos hacer otra maqueta más pequeña donde la superficie de la piscina sea de solo $5\text{ cm}^2$, ¿qué escala deberíamos utilizar?

Tenemos dos recipientes semejantes para guardar canguil. El recipiente pequeño tiene una altura de $15\text{ cm}$ y el grande una altura de $25\text{ cm}$. Si el costo del cartón para fabricar el recipiente pequeño es de $\$0,18$, y el precio del cartón es proporcional a su superficie:

• a) ¿Cuál será el costo del cartón necesario para fabricar el recipiente grande?

• b) Si el recipiente pequeño tiene capacidad para $1,2\text{ kg}$ de canguil, ¿cuántos kilos de canguil cabrán en el recipiente grande? (Supón que ambos se llenan hasta el borde).

Dos piezas de un motor son semejantes. La pieza $A$ pesa $2,4\text{ kg}$ y está hecha de un material que cuesta $15\text{ \$/kg}$. La pieza $B$ es una reducción de la pieza $A$ con una razón de semejanza $k = 0,5$.

• a) Si ambas piezas están hechas del mismo material denso, ¿cuánto pesará la pieza $B$?

• b) ¿Cuál será el costo del material de la pieza $B$?

• c) Si la superficie de la pieza $A$ debe cubrirse con un antioxidante que cuesta $\$2$ por cada $10\text{ cm}^2$ y el tratamiento de la pieza $A$ cuesta $\$48$, ¿cuánto costará el tratamiento de la pieza $B$?

Un dron toma una fotografía vertical de un auto de $4,5\text{ metros}$ de longitud. En la pantalla del celular, que muestra la foto a tamaño real, el auto mide $1,8\text{ cm}$.

• a) ¿A qué escala está la imagen de la pantalla?

• b) En la misma foto, aparece un jardín rectangular que en la pantalla mide $5\text{ cm}$ de largo y $3\text{ cm}$ de ancho. ¿Cuál es el área real del jardín en metros cuadrados?

• c) Si el dron sube al doble de altura, ¿cuánto medirá el auto en la pantalla del celular si la cámara no cambia su zoom?

Un mapa tiene una escala gráfica donde un segmento de $4\text{ cm}$ representa $2\text{ km}$ reales. En este mapa, una reserva natural tiene forma de triángulo equilátero de lado $6\text{ cm}$.

• a) Calcula la escala numérica del mapa.

• b) Calcula el perímetro real de la reserva en kilómetros.

• c) Si en un nuevo mapa la misma reserva tiene un área 4 veces mayor que en el primer mapa, ¿cuál es la escala del nuevo mapa?

Una empresa de mensajería utiliza cajas cúbicas semejantes. La caja "Estándar" tiene una arista de $20\text{ cm}$. La caja "Maxi" tiene un área total que es exactamente el doble de la caja "Estándar".

• a) Calcula la razón de semejanza entre la caja "Maxi" y la caja "Estándar" (expresa el resultado con dos decimales).

• b) ¿Cuál es la longitud de la arista de la caja "Maxi"?

• c) Si la caja "Estándar" puede contener $8\text{ litros}$ de arena, ¿cuántos litros puede contener la caja "Maxi"?