Volumen
¿Cuánta agua entra en la piscina de un club de Guayaquil? ¿Cuánto helado cabe en un cono? Las dos preguntas son de volumen: la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. En esta página vas a ver cómo calcularlo, y sobre todo por qué funcionan las fórmulas.
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro se pueden pensar como una "pila" de capas iguales a la base, una encima de otra. Si la base tiene área $A_{base}$ y apilas capas hasta la altura $h$, el volumen es el área de la base por la altura:
$$V = A_{base} \cdot h$$Para cada cuerpo, el área de la base cambia: en el ortoedro es $a \cdot b$ (entonces $V = a \cdot b \cdot c$), en el prisma triangular es $\dfrac{b \cdot h_{tri}}{2}$ y en el cilindro es $\pi r^2$ (entonces $V = \pi r^2 h$).
Has comprado un nuevo celular y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu repisa. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con…
Has comprado un nuevo celular y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu repisa. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $16 \text{ cm}$ de largo, $9 \text{ cm}$ de ancho y $5 \text{ cm}$ de alto. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$.
Estás de campamento con tus amigos y tienen una carpa con forma de prisma triangular recto. La base de la carpa (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y…
Estás de campamento con tus amigos y tienen una carpa con forma de prisma triangular recto. La base de la carpa (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y $1,5 \text{ m}$ de altura. Si la carpa tiene una longitud (profundidad) de $3 \text{ m}$, ¿cuál es el volumen de aire que hay dentro de la carpa?
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$,…
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$, calcula el volumen de refresco que puede contener la lata. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Área y volumen son independientes
Dos cuerpos pueden tener la misma superficie y distinto volumen, o el mismo volumen y distinta superficie. Lo que se mide con una cosa no dice nada sobre la otra.
Volumen, capacidad y unidades
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. La capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente, y se mide en litros. Son dos formas de hablar de lo mismo, y se relacionan así:
| Volumen | Capacidad |
|---|---|
| $1\ \text{cm}^3$ | $1\ \text{mL}$ |
| $1\ \text{dm}^3$ | $1\ \text{L}$ |
| $1\ \text{m}^3$ | $1.000\ \text{L}$ |
Además, $1$ hectolitro ($\text{hl}$) son $100$ L. Fíjate que pasar de $\text{cm}^3$ a $\text{dm}^3$ divide por $1.000$ (y no por $10$), porque hay tres dimensiones.
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos…
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos litros de agua podría contener si fuera totalmente impermeable?
Recuerda que $1 \text{ dm}^3$ es equivalente a $1 \text{ litro}$.
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de…
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de alto. Si lo llenamos de agua hasta una altura de $20 \text{ cm}$, ¿cuántos litros de agua pusimos?
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de…
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricante indica que el batido ocupa el $90\%$ de la capacidad total del envase para dejar espacio al aire, calcula cuántos mililitros ($ml$) de producto contiene cada bote.
Ir hacia atrás: hallar una medida
A veces conoces el volumen o la capacidad y te falta una medida. Se usa la misma fórmula, pero con la operación inversa: si $V = a \cdot b \cdot c$ y conoces $V$, $a$ y $b$, entonces $c = \dfrac{V}{a \cdot b}$.
Has decidido construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de…
Has decidido construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de $25\text{ cm}$ de largo, $10\text{ cm}$ de ancho y $18\text{ cm}$ de alto. Si el gel se vende en frascos de $0,5\text{ litros}$, ¿cuántos frascos completos necesitarás comprar para llenar el hormiguero hasta una altura de $15\text{ cm}$?
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho…
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho de $12\text{ metros}$, calcula la profundidad (altura) de la piscina. Si el municipio decide llenarla solo hasta los $4/5$ de su capacidad por seguridad, ¿cuántos litros de agua habrá en la piscina?
Cavalieri: la forma de la base no importa
Arma una pila de monedas bien ordenada y después empújala de costado, de modo que quede inclinada. El volumen no cambió: son las mismas monedas. Esta idea se llama principio de Cavalieri: dos cuerpos con la misma altura, y cuyas secciones a igual distancia de la base tienen siempre la misma área, tienen el mismo volumen.
Por eso un prisma y un cilindro con la misma área de base y la misma altura tienen el mismo volumen, aunque sus bases tengan formas muy distintas. Y por eso la fórmula $V = A_{base} \cdot h$ sirve para cualquier base: un trapecio, un hexágono, un círculo.
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen.…
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura y $30\text{ cm}^2$ de área de la base con un cilindro de la misma altura y el mismo área de la base. Si vertemos $0,5\text{ litros}$ de agua en cada uno, ¿cuál se llenará primero? Justifica tu respuesta calculando el volumen de ambos.
Se desea construir una rampa de hormigón para un parque de skate*. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden…
Se desea construir una rampa de hormigón para un parque de skate. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden $3\text{ m}$ y $1\text{ m}$, y su altura (longitud de la base de la rampa en el suelo) es de $5\text{ m}$. Si el ancho de la rampa es de $4\text{ m}$, calcula cuántos metros cúbicos de hormigón se necesitan y el costo total si el precio es de $95\text{ \$/m}^3$.
Pirámides y conos: un tercio
Si llenas de agua una pirámide y la vacías en un prisma con la misma base y la misma altura, necesitas exactamente tres pirámides para llenarlo. Con el cono y el cilindro pasa lo mismo.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de…
Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de $9 \text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricar este pisapapeles.
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$,…
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$, ¿qué volumen de aire queda "atrapado" dentro del gorro cuando alguien lo lleva puesto? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
La altura escondida
En muchos problemas no te dan la altura de la pirámide o del cono, sino otra medida: la generatriz del cono (de la punta a un punto del borde de la base) o la arista lateral de la pirámide (de la punta a una esquina de la base). La altura, el radio (o la distancia del centro de la base a la esquina) y esa medida forman un triángulo rectángulo, así que se usa el teorema de Pitágoras:
$$h^2 + r^2 = g^2 \qquad\Rightarrow\qquad h = \sqrt{g^2 - r^2}$$Para una pirámide hexagonal regular de lado $\ell$, la distancia del centro a una esquina es justo $\ell$ (el hexágono está formado por $6$ triángulos equiláteros). El área de la base es $\dfrac{\text{perímetro} \cdot \text{apotema}}{2}$, donde la apotema del hexágono es la altura de uno de esos triángulos: $\sqrt{\ell^2 - (\ell/2)^2}$.
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el volumen de perfume que cabe en el frasco expresado en centímetros cúbicos. Ayuda: primero deberás hallar la altura del cono usando el teorema de Pitágoras.
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la…
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de bronce necesario para fabricar un trofeo.
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono…
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Expresa el resultado en $cm^3$ aproximando a las unidades.
Troncos de pirámide
Si a una pirámide le cortas la punta con un plano paralelo a la base, lo que queda es un tronco. Su volumen se calcula por resta: la pirámide completa menos la pirámide pequeña que cortaste.
El dato clave lo da la semejanza: la pirámide chica y la grande tienen la misma forma, así que sus medidas son proporcionales. Si el lado del corte es la mitad del lado de la base, la pirámide chica tiene la mitad de altura que la grande.
Si el tronco está lleno hasta una cierta altura, la capa de líquido es a su vez un tronco más bajo. Su base superior (la superficie del agua) se calcula con la misma semejanza.
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del…
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del depósito es de $3\text{ m}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su altura (es decir, el agua alcanza los $2,25\text{ m}$ desde la base), ¿cuántos litros de agua contiene? (Nota: Tendrás que usar la semejanza para hallar el lado de la superficie del agua).
La esfera
El volumen de una esfera de radio $r$ es
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$Es una fórmula que se usa: no la vamos a demostrar aquí. Fíjate que depende del cubo del radio, igual que cualquier volumen depende de tres medidas lineales.
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera…
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ y toma $\pi \approx 3,14$).
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el…
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el volumen de gas en su interior? Expresa el resultado en metros cúbicos ($m^3$).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales combinan varios cuerpos: un silo (cilindro y semiesfera), un frasco (cilindro y cono), un trofeo (prisma y pirámide). El método es siempre el mismo: descomponer el cuerpo en partes que conoces, calcular el volumen de cada una y sumarlas. Una semiesfera vale la mitad del volumen de la esfera.
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio…
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio de la base es de $4\text{ m}$, calcula la capacidad total del silo en hectolitros ($hl$).
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado…
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado por un tapón en forma de cono de la misma base y $3\text{ cm}$ de altura. Si el frasco se llena solo hasta el $85\%$ de su capacidad total para dejar espacio al aire, ¿cuántos mililitros ($ml$) de perfume contiene cada frasco? (Toma $\pi \approx 3,1416$).
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro…
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro con el mismo radio y la misma altura, pero dentro contiene una semiesfera de chocolate que ocupa la parte inferior. Si el radio de la semiesfera es también de $6\text{ cm}$, ¿cuál de los dos recipientes tiene mayor volumen disponible para el helado de vainilla? Razona la respuesta realizando los cálculos.
Restar un hueco y sumergir objetos
Cuando una pieza tiene un hueco (un agujero, un vaciado), el volumen de material es el volumen del cuerpo entero menos el volumen del hueco. Y si quieres saber la masa, usas la densidad: $\text{masa} = \text{densidad} \cdot \text{volumen}$.
Otra situación: un cuerpo sumergido desplaza un volumen de líquido igual al suyo. Si el recipiente es un cilindro de radio $R$ y el nivel sube $\Delta h$, el volumen del cuerpo es $\pi R^2 \cdot \Delta h$.
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le ha hecho un…
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le ha hecho un orificio cilíndrico que atraviesa la pieza de arriba a abajo por su cara más grande. El radio del cilindro es de $2\text{ cm}$. Sabiendo que la densidad del acero es de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcula la masa total de la pieza en kilogramos. (Toma $\pi \approx 3,14$).
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es…
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es de $10\text{ cm}$. Al introducir la esfera, el nivel del agua sube exactamente $4,5\text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el radio de la esfera de plomo? Expresa el resultado en centímetros con dos decimales.
Vuelve al principio: para la piscina del club multiplicas largo, ancho y profundidad (un ortoedro) y pasas de m³ a litros; para el cono de helado, cabe un tercio del cilindro equivalente (unos $94$ mL en el ejemplo de arriba).