Binärcodes für Zahlen und Zeichen

Das Dualsystem

Ein Bit hat zwei Zustände: Strom fließt oder fließt nicht, 0 oder 1. Mit mehreren Bits lassen sich mehr Werte darstellen: Mit $n$ Bit gibt es $2^n$ verschiedene Muster. Acht Bit (ein Byte) ergeben $2^8 = 256$ Muster.

Im Dezimalsystem hat jede Stelle den Wert einer Zehnerpotenz. Im Dualsystem (Binärsystem) hat jede Stelle den Wert einer Zweierpotenz.

Dual → Dezimal: Addiere die Stellenwerte aller Stellen, an denen eine 1 steht. Im Bild: $00100101_2 = 32 + 4 + 1 = 37$.

Dezimal → Dual: Teile die Zahl immer wieder durch 2 und notiere den Rest. Die Reste, von unten nach oben gelesen, ergeben die Dualzahl.

Probiere es selbst aus: Klicke auf die Bits und beobachte den Dezimalwert.

Rechnen im Dualsystem und Überlauf

Die Addition funktioniert wie das schriftliche Addieren im Dezimalsystem, nur dass der Übertrag schon bei 2 entsteht. Es gelten vier Regeln:

Ein Rechner hat aber nur eine feste Anzahl Stellen. Passt das Ergebnis nicht mehr hinein, tritt ein Überlauf (Overflow) auf. Beispiel mit 8 Bit: $200 + 100 = 300$. Es ist $11001000_2 + 01100100_2 = 100101100_2$. Das Ergebnis hat 9 Stellen, das neunte Bit geht verloren. Übrig bleibt $00101100_2 = 44$, also $300 - 256$. Die größte darstellbare Zahl ohne Vorzeichen ist bei 8 Bit eben $255$.

Negative Zahlen: das Zweierkomplement

Wie speichert man −18? Ein Minuszeichen gibt es im Speicher nicht. Heute nutzen Rechner das Zweierkomplement. Bei 8 Bit gilt:

So ist $11101110_2 = -128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2 = -18$.

Vorzeichenwechsel: Um aus $x$ die Zahl $-x$ zu machen, 1. alle Bits invertieren (0 ↔ 1), 2. dann 1 addieren.

Zahlenbereich: Mit 8 Bit gibt es 256 Muster. Davon beginnen 128 mit 1 (negativ: $-128$ bis $-1$) und 128 mit 0 (von $0$ bis $127$). Allgemein reicht der Bereich mit $n$ Bit von $-2^{n-1}$ bis $2^{n-1} - 1$.

Der Vorteil: Subtrahieren ist Addieren des Zweierkomplements, der Rechner braucht kein eigenes Subtrahierwerk. Beispiel $9 - 5 = 9 + (-5)$:

$00001001 + 11111011 = 1\,00000100$

Das neunte Bit wird abgeschnitten, übrig bleibt $00000100 = 4$ ✓.

Zeichen: ASCII und Unicode

Auch Buchstaben müssen als Zahlen gespeichert werden. Man legt dazu eine Tabelle fest, die jedem Zeichen eine Zahl zuordnet, einen Zeichencode. Der älteste weit verbreitete ist der ASCII-Code (7 Bit, also 128 Zeichen). Er enthält Groß- und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, Ziffern, Satzzeichen und Steuerzeichen.

Wichtig: Das Zeichen „5“ (Wert 53) ist nicht die Zahl 5. Ein Text wie „Hi“ wird Zeichen für Zeichen gespeichert, jedes Zeichen in einem Byte. Die Buchstaben stehen in alphabetischer Reihenfolge hintereinander: Wenn „C“ den Wert 67 hat, dann hat „D“ den Wert 68.

Das Problem: ASCII kennt kein „ä“, „ö“, „ü“, „ß“ und kein „€“, ganz zu schweigen von griechischen, arabischen oder chinesischen Schriftzeichen. Früher gab es dafür viele verschiedene 8-Bit-Erweiterungen, die untereinander nicht kompatibel waren. Texte wurden dann auf einem fremden Rechner mit falschen Zeichen angezeigt.

Die Lösung: Unicode. Der Unicode-Standard ordnet weltweit über 140.000 Zeichen jeweils einer eindeutigen Nummer zu. Die gebräuchlichste Speicherform ist UTF-8: Sie benutzt für jedes Zeichen 1 bis 4 Byte. Die ersten 128 Zeichen sind identisch mit ASCII und brauchen 1 Byte. Ein „ä“ benötigt dagegen 2 Byte: 11000011 10100100. So bleiben alte ASCII-Texte gültig, und trotzdem lassen sich alle Schriften mischen.

Dasselbe Bitmuster, verschiedene Bedeutung: Hexadezimalzahlen und Bilder

Lange Bitfolgen sind für Menschen schwer lesbar. Deshalb schreibt man sie oft hexadezimal (Sechzehnersystem). Es hat 16 Ziffern: $0$ bis $9$ und $A = 10$, $B = 11$, $C = 12$, $D = 13$, $E = 14$, $F = 15$. Vier Bit (ein Halbbyte) ergeben genau eine Hexziffer:

Ein Byte besteht also aus zwei Hexziffern: $1011\,0100_2 = \text{B4}_{16}$, denn $1011 = 11 = \text{B}$ und $0100 = 4$.

Bilder bestehen aus Pixeln. Bei einem Schwarz-Weiß-Bild genügt 1 Bit je Pixel (z. B. 1 = schwarz). Bei Farbbildern speichert man oft 24 Bit je Pixel (je 8 Bit für Rot, Grün und Blau). Die Speichergröße ergibt sich so:

Hier zeigt sich ein Grundprinzip der Informatik: Ein Bitmuster hat keine Bedeutung an sich. Erst die Vereinbarung, wie man es interpretiert, macht daraus etwas. Das Byte 01000001 ist

• als Dualzahl ohne Vorzeichen die Zahl 65,

• als ASCII-Zeichen der Buchstabe „A“,

• als Pixelfolge acht Bildpunkte (hell, dunkel, hell, hell, hell, hell, hell, dunkel).

Welche Interpretation gilt, legt das Programm oder das Dateiformat fest. Wird ein Bitmuster falsch gedeutet, entsteht Unsinn, etwa wenn du ein Bild in einem Texteditor öffnest.

Zurück zum Anfang: Smartphone-Daten sind nur Bitfolgen. Zahlen werden im Dual- bzw. Zweierkomplementsystem gespeichert, Text über einen Zeichencode, Bilder über Pixelwerte. Welche Bedeutung ein Bitmuster hat, bestimmt die Interpretation.

Auf einen Blick

• Dualsystem: Stellenwerte sind Zweierpotenzen. Mit $n$ Bit gibt es $2^n$ Muster, ohne Vorzeichen von $0$ bis $2^n - 1$.

• Umwandlung: Dual → Dezimal durch Addieren der Stellenwerte der Einsen. Dezimal → Dual durch fortgesetztes Teilen durch 2 (Reste von unten nach oben lesen).

• Addition: wie schriftlich, Übertrag ab 2. Passt das Ergebnis nicht in die Stellenzahl, entsteht ein Überlauf.

• Zweierkomplement: Das höchste Bit hat den Wert $-2^{n-1}$. Negation: invertieren und 1 addieren. Bereich: $-2^{n-1}$ bis $2^{n-1}-1$, bei 8 Bit also $-128$ bis $127$. Subtraktion ist Addition des Zweierkomplements.

• Zeichen: ASCII (7 Bit) ordnet Zeichen Zahlen zu. Unicode/UTF-8 deckt alle Schriften ab und ist zu ASCII kompatibel.

• Hexadezimal: 4 Bit = 1 Hexziffer. Bilder: Größe = Breite · Höhe · Bit je Pixel.

• Ein Bitmuster bedeutet erst durch seine Interpretation etwas (Zahl, Zeichen, Pixel).