División de polinomios
El área de un estudio de grabación de Valparaíso es $3x^2 + 15x$ metros cuadrados y su ancho es $3x$ metros. ¿Cuánto mide de largo? Para averiguarlo hay que dividir polinomios. Funciona igual que la división de números que aprendiste en básica, y además tiene un atajo muy rápido: la regla de Ruffini.
Dividir polinomios
Entre un monomio: se divide cada término. $\dfrac{3x^2 + 15x}{3x} = \dfrac{3x^2}{3x} + \dfrac{15x}{3x} = x + 5$.
Entre un polinomio: se hace como la división de números, término a término:
Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes: $$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$
Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes:
$$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la…
El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el largo del estudio?
Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los…
Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los términos del dividendo antes de comenzar:
$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$
La regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma $x - a$, hay un atajo que usa solo los coeficientes. Dividimos $x^3 - 5x^2 + 3x - 4$ entre $x - 2$ (así que $a = 2$):
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Escribe los coeficientes (con $0$ en los huecos) y el número $a$ a la izquierda.
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Baja el primer coeficiente.
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Multiplícalo por $a$, ponlo debajo del siguiente y suma.
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Repite hasta el final. El último número es el resto; los demás son los coeficientes del cociente (de un grado menos que el dividendo).
Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división: $$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$
Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división:
$$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente…
Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente cuál es el valor del resto obtenido.
Calcula el cociente y el resto de la siguiente división utilizando la regla de Ruffini. Presta atención, ya que el divisor no tiene coeficiente principal igual a 1:…
Calcula el cociente y el resto de la siguiente división utilizando la regla de Ruffini. Presta atención, ya que el divisor no tiene coeficiente principal igual a 1:
$$(4x^3 - 6x^2 + 8x - 5) : (2x - 1)$$Recuerda que para usar Ruffini el divisor debe ser del tipo $(x - a)$. ¿Cómo podrías transformar $2x - 1$ para que tenga esa forma?
El teorema del resto
En el ejemplo anterior el resto de dividir entre $x - 2$ era $-10$. Calcula $P(2) = 8 - 20 + 6 - 4 = -10$. ¡Coincide! No es casualidad:
Así puedes conocer el resto sin dividir, solo reemplazando. En particular, si $P(a) = 0$, la división entre $(x - a)$ es exacta: $a$ es una raíz de $P$ y $(x - a)$ es un factor de $P(x)$ (es el llamado teorema del factor).
Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto: $$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$
Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto:
$$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$Halla el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomio $(x - 2)$ tenga un resto igual a $10$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomio $(x - 2)$ tenga un resto igual a $10$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sea igual al resto de la división $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sea igual al resto de la división $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.
Raíces, factores y problemas
Factorizar es escribir un polinomio como producto de polinomios más sencillos, igual que $12 = 2^2 \cdot 3$. Herramientas, en este orden:
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Factor común: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$.
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Diferencia de cuadrados y otros casos de factorización: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$.
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Ruffini probando raíces enteras: si los coeficientes son enteros, las raíces enteras están entre los divisores del término independiente.
Divisor que no es mónico
Para dividir por $2x - 1$ con Ruffini, sacas factor común: $2x - 1 = 2\left(x - \tfrac12\right)$. Divides por $x - \tfrac12$ y después divides el cociente por $2$. El resto no cambia.
Problemas de áreas y volúmenes
Si el área de un rectángulo es $A(x)$ y un lado es $L(x)$, el otro lado es $A(x) : L(x)$. Con un volumen $V = \text{área de la base} \cdot \text{altura}$, la altura es $V : \text{base}$. Al final reemplaza $x$ si te piden un valor, y contesta con una oración y la unidad.
Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu…
Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu respuesta basándote en el resultado de la operación.
El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la…
El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la expresión algebraica que representa el largo de la misma.
Una empresa de logística utiliza cajas de cartón cuyo volumen en centímetros cúbicos viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabemos que el área de…
Una empresa de logística utiliza cajas de cartón cuyo volumen en centímetros cúbicos viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabemos que el área de la base de la caja es $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcula el polinomio que representa la altura $H(x)$ de la caja.
Vuelta al principio: el largo del estudio mide $x + 5$ metros, porque $\dfrac{3x^2 + 15x}{3x} = x + 5$.