Funciones lineales y afines

Para cada una de las siguientes funciones, indica el valor de la pendiente y del coeficiente de posición, y señala si su gráfico es creciente o decreciente:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

De las siguientes ecuaciones, indica cuáles corresponden a una función lineal, cuáles a una función afín y cuáles no son ni lineales ni afines. Justifica tu respuesta.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

En la figura aparecen tres rectas, $a$, $b$ y $c$, como se muestra a continuación.

1. a) Asocia cada recta con su ecuación entre estas tres: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Explica cómo usaste el signo de la pendiente y el coeficiente de posición para decidir.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:

1. a) $A(2, 5)$ y $B(6, 13)$

1. b) $P(-1, 4)$ y $Q(3, -8)$

1. c) $M(0, -2)$ y $N(5, -2)$

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 8)$ siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula la pendiente $m$.

1. b) Sustituye las coordenadas de uno de los puntos en $y = mx + n$ para hallar $n$.

1. c) Escribe la ecuación final y comprueba que el otro punto también la verifica.

La recta de la figura representa una función lineal, como se muestra a continuación.

1. a) Busca dos puntos de coordenadas enteras por los que pase la recta.

1. b) Calcula su pendiente a partir de esos puntos.

1. c) Escribe la ecuación de la función.

Un alumno ha resuelto así el ejercicio «halla la pendiente de la recta que pasa por $A(2, 5)$ y $B(6, 13)$ y di si es creciente»:

«La pendiente es $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0,5$. Como $0,5 < 1$, la recta es poco inclinada, así que es casi horizontal y decreciente.»

1. a) Encuentra los dos errores que ha cometido.

1. b) Calcula la pendiente correcta y clasifica la recta.

1. c) Explica con tus palabras qué relación hay entre el signo de la pendiente y el crecimiento de la función.

La normativa de accesibilidad limita la pendiente de las rampas: una rampa accesible no debe superar el $10\ \,\%$ de desnivel. La pendiente, expresada en porcentaje, es el cociente entre la altura que se sube y la distancia horizontal recorrida, multiplicado por $100$, como se muestra en la figura.

1. a) Una rampa salva un desnivel de $0,54\ \text{m}$ en un recorrido horizontal de $6\ \text{m}$. Calcula su pendiente en porcentaje. ¿Cumple la normativa?

1. b) Si se quiere salvar el mismo desnivel con una pendiente del $8\ \,\%$, ¿qué longitud horizontal mínima debe tener la rampa?

1. c) Expresa la rampa del apartado a) como una función $y = mx$ tomando el inicio de la rampa como origen. ¿Qué significa $m$?

Comprueba, sustituyendo las coordenadas en la ecuación, si los puntos $A(3, 4)$ y $B(-2, 11)$ pertenecen a la recta $y = -3x + 5$.

Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores de la función $y = -2x + 6$ para $x = -1$, $0$, $1$, $2$ y $3$, y representa la recta en unos ejes cartesianos. ¿En qué punto corta al eje $X$?

El gráfico muestra una función afín, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Cuál es su coeficiente de posición?

1. b) ¿Cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta una unidad? ¿Cuánto vale la pendiente?

1. c) Escribe su ecuación.

Halla el valor de $k$ en cada caso:

1. a) Para que la recta $y = kx + 3$ pase por el punto $(2, 11)$.

1. b) Para que la recta $y = 5x + k$ pase por el punto $(-1, 2)$.

1. c) Para que la recta $y = kx - 4$ tenga la misma pendiente que la que pasa por $(0, 1)$ y $(4, 9)$.

1. a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 7)$ y $B(2, -5)$.

1. b) Comprueba si el punto $C(5, -17)$ está alineado con $A$ y $B$.

1. c) ¿Y el punto $D(0, 5)$? Justifica tu respuesta sin representar.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un ejemplo:

1. a) «Toda función lineal es también una función afín.»

1. b) «Si una recta tiene pendiente negativa, entonces pasa por el origen.»

1. c) «Las rectas $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 5$ son paralelas.»

1. d) «La función $y = 4$ no tiene pendiente.»

Una frutería vende las naranjas a $\$1\,800$ el kilogramo.

1. a) Completa en tu cuaderno una tabla con el precio de $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$ kg de naranjas.

1. b) Escribe la ecuación de la función que relaciona el peso $x$ en kilogramos con el precio $y$ en pesos.

1. c) ¿Es una función de proporcionalidad directa? ¿Cuánto vale su pendiente y qué significa?

Un gimnasio cobra una cuota de inscripción de $\$20\,000$ y $\$15\,000$ por cada mes.

1. a) Escribe la ecuación que da el costo total $y$ en pesos en función del número de meses $x$.

1. b) ¿Cuál es la ordenada al origen y qué representa en este contexto?

1. c) ¿Y la pendiente? ¿Qué significa?

Un ciclista se desplaza a velocidad constante de $24\ \text{km/h}$. Llamamos $x$ al tiempo en horas e $y$ a la distancia recorrida en kilómetros.

1. a) Completa en tu cuaderno la tabla de valores para $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ y $2$.

1. b) Escribe la ecuación de la función.

1. c) Si el ciclista parte de su casa, que está a $6\ \text{km}$ del punto donde empieza a contar el recorrido, ¿cuál sería ahora la ecuación de la distancia a su casa? ¿Qué tipo de función es?

Durante una ola de calor, la estación meteorológica de un pueblo registró una temperatura constante de $24\ \text{°C}$ durante toda la madrugada.

1. a) Escribe la ecuación de la función que da la temperatura $y$ en función de la hora $x$ durante ese periodo.

1. b) ¿Cuánto vale su pendiente? ¿Cómo es su gráfico?

1. c) ¿Es una función lineal, afín o ninguna de las dos? Justifica tu respuesta.

El gráfico representa el saldo de la alcancía digital de Adrián durante las últimas semanas, como se muestra en la figura.

¿Cuál de estas tres fórmulas corresponde al gráfico? Justifica tu elección descartando las otras dos.

• $y = 5\,000x + 10\,000$

• $y = -5\,000x + 40\,000$

• $y = 10\,000x - 5\,000$

Un taxi cobra $\$3\,500$ por la bajada de bandera y $\$1\,200$ por cada kilómetro recorrido.

1. a) Escribe la función que da el precio $y$ de un trayecto de $x$ kilómetros.

1. b) ¿Cuánto costará un trayecto de $12\ \text{km}$?

1. c) Si un trayecto ha costado $\$16\,700$, ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Dos senderistas salen al mismo tiempo desde dos refugios de montaña separados por $18\ \text{km}$ y caminan uno al encuentro del otro por el mismo sendero. El primero avanza a $5\ \text{km/h}$ y el segundo a $4\ \text{km/h}$, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la ecuación que da la distancia al primer refugio de cada senderista en función del tiempo $x$ en horas.

1. b) Representa ambas rectas en tu cuaderno.

1. c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se cruzan? ¿A qué distancia del primer refugio?

El gráfico muestra el precio de estacionar en un estacionamiento en función del tiempo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Cuánto cuesta estacionar $4$ horas?

1. b) ¿Cuál es el precio fijo de entrada y cuánto cuesta cada hora?

1. c) Escribe la ecuación de la función para $x \ge 0$.

Para convertir grados Celsius en grados Fahrenheit se usa la función $F = 1,8C + 32$.

1. a) ¿Cuántos grados Fahrenheit son $25\ \text{°C}$?

1. b) ¿Qué significa el coeficiente $1,8$? ¿Y el término $32$?

1. c) La previsión anuncia $86\ \text{°F}$ en una ciudad de Estados Unidos. ¿Cuántos grados Celsius son?

Halla el punto de corte de las rectas $y = 2x + 1$ e $y = -x + 7$:

1. a) Plantea la ecuación que resulta de igualar las dos expresiones y resuélvela.

1. b) Calcula la ordenada del punto de corte.

1. c) Comprueba el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.

El depósito de agua de una comunidad de regantes contiene $1.200\ \text{m}^3$ y se va consumiendo a razón de $75\ \text{m}^3$ al día, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función que da el volumen de agua $y$ en función del día $x$.

1. b) ¿Cuál es la pendiente? ¿Por qué es negativa?

1. c) ¿Qué volumen quedará al cabo de $9$ días?

1. d) ¿En qué día se agotará el depósito si no llueve?

La tabla muestra el costo de imprimir fotografías en un centro de copiado según el número de copias:

1. a) Comprueba que el costo crece siempre en la misma cantidad por cada $10$ copias.

1. b) ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Y el coeficiente de posición?

1. c) Escribe la ecuación que relaciona $x$ e $y$.

1. d) ¿Qué representa el coeficiente de posición en este contexto?

En la carrera solidaria del colegio, Nora le da una ventaja a su hermano menor: él sale $40\ \text{m}$ por delante y corre a $3\ \text{m/s}$, mientras que Nora corre a $4,5\ \text{m/s}$, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función distancia a la salida en función del tiempo para cada corredor.

1. b) ¿Al cabo de cuántos segundos alcanza Nora a su hermano?

1. c) ¿A qué distancia de la salida ocurre?

1. d) Si la carrera termina a los $150\ \text{m}$, ¿gana Nora o llega antes su hermano a la meta? Justifícalo con cálculos.

Una compañía de telefonía ofrece dos tarifas, como se muestra en la figura:

• Tarifa A: cuota fija de $\$12\,000$ al mes y $\$40$ por minuto de llamadas.

• Tarifa B: sin cuota fija, a $\$80$ por minuto.

1. a) Escribe la función del costo mensual en función de los minutos consumidos para cada tarifa.

1. b) ¿A partir de cuántos minutos al mes resulta más barata la tarifa A?

1. c) Marta habla un promedio de $250$ minutos al mes. ¿Qué tarifa le conviene y cuánto se ahorra al año?

La función $F = 1,8C + 32$ convierte grados Celsius en grados Fahrenheit.

1. a) Existe una única temperatura en la que los termómetros Celsius y Fahrenheit marcan el mismo valor numérico. Plantea la ecuación $C = F$ y calcúlala.

1. b) ¿Tiene sentido físico el resultado? Explica qué ocurre con esa temperatura.

1. c) Representa la función en tu cuaderno e interpreta el punto de corte de la gráfica con la recta $F = C$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una tienda online de poleras personalizadas cobra $\$18\,000$ por el diseño del logotipo y $\$7\,500$ por cada polera. Otra tienda no cobra por el diseño, pero cada polera cuesta $\$10\,200$.

1. a) Escribe la función del costo total en función del número de poleras para cada tienda.

1. b) El equipo de básquetbol del barrio necesita $14$ poleras. ¿Qué tienda le sale más barata y por cuánto?

1. c) ¿Para qué número de poleras cuestan lo mismo las dos tiendas? ¿Qué ocurre para pedidos más grandes?

Tarea de decisión. Tres amigos quieren ahorrar para el viaje de fin de curso, que cuesta $\$420$ por persona. Ya tienen algo ahorrado y cada semana añaden una cantidad fija, como se muestra en la figura:

• Lucía: tiene $\$120$ y ahorra $\$15$ a la semana.

• Pablo: tiene $\$40$ y ahorra $\$25$ a la semana.

1. a) Escribe la función del dinero ahorrado en función de las semanas para cada uno.

1. b) ¿Quién tarda menos semanas en llegar a los $\$420$?

1. c) ¿En qué semana alcanza Pablo a Lucía en dinero ahorrado?

1. d) Si el viaje es dentro de $16$ semanas, ¿llegarán los dos a tiempo? ¿Cuánto dinero tendrá cada uno?

En un laboratorio de física se cuelgan masas de un resorte y se mide su longitud:

1. a) Comprueba que la longitud crece de forma constante por cada $50\ \text{g}$ y escribe la función que da la longitud $y$ en función de la masa $x$.

1. b) ¿Qué longitud tendrá el resorte con una masa de $320\ \text{g}$?

1. c) ¿Qué masa hay que colgar para que el resorte mida $30,5\ \text{cm}$?

1. d) ¿Qué significado físico tiene el coeficiente de posición (ordenada al origen)?