Ejercicios: Independencia

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

En un experimento aleatorio, los sucesos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calcula la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez, es decir, halla $P(C \cap D)$.

Los sucesos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, halla la probabilidad del suceso $F$.

Se sabe que la probabilidad de que ocurra el suceso $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $H$ sabiendo que ha ocurrido $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si $G$ y $H$ son independientes, ¿cuál es el valor de $P(H)$?

Se lanza una moneda equilibrada dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de obtener "cara" en el primer lanzamiento y "cruz" en el segundo, asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.

De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta, se anota su palo, se devuelve al mazo, se baraja y se extrae una segunda carta. Calcula la probabilidad de que ambas cartas extraídas sean del palo de "oros".

Observa el siguiente diagrama de árbol que modeliza dos experimentos independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso $\overline{A}$ en la primera etapa y el suceso $B$ en la segunda etapa.

Dos sucesos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades estrictamente mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justifica tu respuesta utilizando la definición matemática de independencia.

En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una probabilidad de $0,7$. Si ambos disparan una flecha de forma completamente independiente, calcula la probabilidad de que ambos acierten en el centro de la diana.

Dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, envasan productos lácteos en una fábrica y funcionan de manera independiente. La probabilidad de que la máquina $M_1$ sufra una avería en un día de producción es $0,05$, y la de la máquina $M_2$ es $0,08$. Calcula la probabilidad de que, en un día determinado, al menos una de las dos máquinas sufra una avería.

En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del domingo es independiente del tiempo del sábado, halla la probabilidad de que llueva durante el fin de semana (es decir, que llueva el sábado, el domingo o ambos días).

En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$ de los encuestados tienen estudios universitarios, de los cuales $54$ leen habitualmente. Comprueba matemáticamente si los sucesos "leer habitualmente" y "tener estudios universitarios" son independientes en esta muestra.

Se tienen dos urnas con la composición que se muestra en la figura. Se extrae al azar una bola de la urna $A$ y, de forma independiente, otra bola de la urna $B$. Calcula la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean del mismo color.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,6$. Calcula la probabilidad del suceso $B$.

En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la alergia cuando el paciente sí la padece) con una probabilidad de $0,15$. La prueba $Y$ da un falso negativo con una probabilidad de $0,10$. Si el paciente analizado es realmente alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos pruebas detecte su alergia?

Un estudiante tiene que realizar un examen de tipo test. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de que sepa la respuesta a una de Geografía es $0,8$. Si le hacen una pregunta de cada materia y sus conocimientos sobre ellas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sepa responder exactamente a una de las dos preguntas?

Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada sensor detecte a un intruso que entra en la bóveda son $0,90$, $0,85$ y $0,95$, respectivamente. Calcula la probabilidad de que el sistema detecte a un intruso (es decir, que al menos un sensor se active).

Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demuestra analíticamente que los sucesos $A$ y $B$ no son independientes y, a continuación, calcula la probabilidad condicionada $P(A|B)$.

Un circuito electrónico para un satélite de comunicaciones está formado por tres componentes $A$, $B$ y $C$ dispuestos como muestra el diagrama. El circuito funciona correctamente si el componente $A$ funciona Y, además, funciona al menos uno de los componentes $B$ o $C$. Los tres componentes fallan de forma independiente con probabilidades $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ y $P(F_C) = 0,1$. Calcula la probabilidad de que el circuito en su conjunto funcione correctamente.

En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los sucesos "estudiar Francés" y "estudiar Alemán" son totalmente independientes. Si la probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie ninguno de los dos idiomas es del $12\%$, determina qué porcentaje de los alumnos de la academia estudia Alemán.

Una caja contiene $3$ fichas verdes (V) y $2$ fichas naranjas (N). Se van a realizar dos extracciones consecutivas. Analiza los diagramas de árbol correspondientes a realizar el experimento con reemplazamiento (Panel A) y sin reemplazamiento (Panel B). Calcula la probabilidad de extraer una ficha verde en la segunda extracción en ambos casos y explica matemáticamente en cuál de los dos escenarios el resultado de la segunda extracción es independiente del resultado de la primera.

Demuestra analíticamente que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus sucesos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes. Utiliza para ello las propiedades algebraicas de la probabilidad y la definición fundamental de independencia.

En un cruce genético mendeliano, el color de la semilla (Amarillo dominante, verde recesivo) y la textura de la misma (Lisa dominante, rugosa recesiva) se heredan de forma absolutamente independiente. Si se cruzan dos plantas heterocigotas para ambos caracteres, la probabilidad de heredar el alelo recesivo de cada progenitor para un único gen es de $0,5$. Calcula la probabilidad de que una planta descendiente elegida al azar tenga semillas verdes y rugosas simultáneamente.

Dos amigas, Carmen y Daniela, lanzan alternativamente un dado equilibrado de seis caras en un juego. Gana la partida la primera jugadora que obtenga un $6$. Si Carmen tiene el primer turno y lanzan de forma independiente, calcula la probabilidad exacta de que Carmen gane el juego en su primer o en su segundo lanzamiento.