Exercicis: Conceptes bàsics

Donada la funció polinòmica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcula les imatges per als valors $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.

Un servei de lloguer de bicicletes cobra una tarifa fixa de $3$ euros per l'alta del servei, més $1,50$ euros per cada hora d'ús. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el cost total amb el temps d'ús, i identifica quina és la variable independent i quina la variable dependent.

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4$ en els intervals $[-1, 2]$ i $[2, 5]$.

Determina el domini de definició de les funcions següents:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$ i determina els seus intervals de creixement i decreixement, així com les coordenades exactes dels seus màxims i mínims relatius.

Determina algebraicament si les funcions següents són parells, senars o no tenen cap tipus de simetria:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partir de la gràfica de la funció $h(x)$, sabent que l'ordenada del punt obert a $x = -2$ és $1,25$, indica en forma d'interval el seu domini i el seu recorregut.

Calcula analíticament els punts de tall amb l'eix d'abscisses (eix X) i amb l'eix d'ordenades (eix Y) de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

En estudiar la funció $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, l'Hugo comet un error conceptual molt habitual en trobar els talls amb els eixos. A la seva llibreta escriu:\n«Per trobar el tall amb l'eix $Y$, resolc l'equació $2x - 6 = 0$, d'on obtinc $x = 3$, de manera que la gràfica talla l'eix $Y$ en el punt $(3, 0)$. Per trobar el tall amb l'eix $X$, substitueixo $x = 0$ i calculo $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, així que talla l'eix $X$ en el punt $(0, -6)$».\na) Explica detalladament quina confusió ha tingut l'Hugo sobre el paper de les variables independent i dependent en buscar els talls amb els eixos.\nb) Raona, a partir de la definició de funció, per què és matemàticament impossible que la gràfica d'una funció talli l'eix $Y$ en dos o més punts diferents.\nc) Corregeix el procediment de l'Hugo i determina les coordenades correctes dels punts de tall de $f(x)$ amb tots dos eixos cartesians.

Dissenya l'expressió algebraica d'una funció racional de la forma $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ que compleixi simultàniament les tres condicions següents:\n1) El seu domini de definició és $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) La seva gràfica talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) en el punt $(0, -3)$.\n3) La seva gràfica talla l'eix d'abscisses (eix $X$) en el punt $(3, 0)$.\nExplica pas a pas com dedueixes el valor numèric de cadascun dels paràmetres $a$, $b$ i $c$, i escriu la fórmula definitiva de la funció comprovant que el numerador no s'anul·la en el valor exclòs del domini.

La distància $d$ (en metres) que recorre un objecte en caiguda lliure en funció del temps $t$ (en segons) s'aproxima mitjançant la funció $d(t) = 5t^2$. Calcula la velocitat mitjana de l'objecte (que es correspon amb la Taxa de Variació Mitjana) entre el primer i el tercer segon ($t \in [1, 3]$), i entre el tercer i el cinquè segon ($t \in [3, 5]$).

Troba el domini de definició de la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Donada la gràfica següent d'una funció definida a trossos, troba els valors de $f(-2)$, $f(1)$ i $f(4)$. A continuació, indica en quins punts la funció és discontínua i de quin tipus és cada discontinuïtat.

Determina analíticament l'equació de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Una empresa de taxis cobra $3$ euros per la baixada de bandera i $1,20$ euros per cada quilòmetre recorregut.

1. a) Escriu la funció que relaciona el preu total del trajecte amb els quilòmetres recorreguts.
2. b) Quin és el domini d'aquesta funció tenint en compte el context del problema?
3. c) Quant costarà un trajecte de $15$ km?
4. d) Si un client ha pagat $21$ euros, quants quilòmetres ha recorregut?

La gràfica adjunta representa l'altura en metres a la qual es troba una cabina d'una sínia en funció del temps en minuts. Observa la gràfica i respon:

1. a) És una funció periòdica? En cas afirmatiu, indica el seu període.
2. b) Quina és l'altura màxima i mínima que aconsegueix la cabina?
3. c) A quina altura es troba la cabina als $10$ minuts exactes de començar a girar?

Calcula la Taxa de Variació Mitjana de la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ en els intervals $[1, 2]$ i $[2, 4]$. Què indica el signe dels resultats sobre la monotonia de la funció en aquests intervals?

La temperatura $T$ (en graus Celsius) a l'interior d'un forn industrial des que s'encén fins que s'apaga ve donada per la funció $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, on $t$ és el temps transcorregut en hores. En quin instant s'assoleix la temperatura màxima? Quin és el valor d'aquesta temperatura màxima?

La temperatura $T$ (en graus Celsius) registrada per una estació meteorològica de l'AEMET en una zona de muntanya durant una tarda d'hivern ve donada per la funció $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, on $t$ és el temps transcorregut en hores des de les 12:00 del migdia ($t = 0$), per a $t \in [0, 6]$.\na) Sense fer càlculs numèrics exactes, estima de manera qualitativa si la Taxa de Variació Mitjana a l'interval $[1, 5]$ (és a dir, $\text{TVM}[1, 5]$) serà positiva o negativa. Justifica la teva estimació basant-te en la forma de la paràbola i el signe del seu coeficient principal.\nb) Calcula algebraicament el valor exacte de la $\text{TVM}[1, 5]$ aplicant la seva fórmula i indica les unitats físiques que corresponen al resultat.\nc) Comprova si el valor obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia i explica quin significat físic té aquest resultat en relació amb el refredament o escalfament mitjà de l'ambient durant aquestes hores.

El servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola factura el cost $C(t)$ (en euros) en funció del temps d'ús $t$ (en minuts, amb $0 \le t \le 90$) mitjançant una funció a trossos. Els primers 20 minuts combinen una quota de desenganxament amb una tarifa reduïda, i a partir del minut 20 el cost per minut augmenta per evitar que es monopolitzin les bicis:\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{si } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{si } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Calcula el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè la funció sigui contínua en $t = 20$. Raona quina conseqüència econòmica o injustícia per a l'usuari passaria si hi hagués una discontinuïtat de salt en aquest instant.\nb) Sabent que la tarifa és contínua, si una persona usuària rep un cobrament exacte de $4,60$ € a la seva aplicació mòbil, planteja i resol l'equació corresponent per esbrinar quants minuts va durar el seu trajecte.\nc) Calcula la Taxa de Variació Mitjana del cost a l'interval $[5, 15]$ i a l'interval $[30, 50]$. Explica què representen aquests dos valors numèrics respecte al preu per minut de cada tram tarifari.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent definida a trossos sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Un agricultor disposa de $100$ metres de tanca per tancar un hort rectangular aprofitant el mur rectilini d'una nau ja construïda, de manera que només necessita tancar tres dels quatre costats del rectangle.

1. a) Troba l'expressió de la funció que dóna l'àrea de l'hort en funció de la longitud $x$ d'un dels costats perpendiculars al mur.
2. b) Determina el domini de definició vàlid per a $x$ en el context d'aquest problema.
3. c) Quines dimensions ha de tenir l'hort perquè la seva àrea sigui màxima?

Determina analíticament el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expressa el resultat com a unió d'intervals.

Donada la funció quadràtica $f(x) = x^2 + kx$, determina el valor del paràmetre $k$ sabent que la Taxa de Variació Mitjana de la funció en l'interval $[1, 3]$ és igual a $8$.

Analitza la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina:

1. a) El seu domini i recorregut.
2. b) Les equacions de les seves asímptotes.
3. c) Els intervals de creixement i decreixement.
4. d) Les coordenades dels seus extrems relatius (màxims i mínims).

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Demostra analíticament si és una funció parell, senar o si no presenta simetria.
2. b) Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades.
3. c) Troba les equacions de totes les seves asímptotes (verticals i horitzontals).

Un aparcament públic té la tarifa següent: cobra $2$ euros per la primera hora (o fracció d'hora), i $1,50$ euros per cada hora addicional (o fracció). El cost màxim per dia és de $12$ euros. Escriu l'expressió analítica de la funció definida a trossos que relaciona el preu a pagar amb el temps d'estacionament $t$ (en hores) per a les primeres $5$ hores, indicant clarament els intervals de definició per a cada tram.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del paràmetre $a$ perquè la funció tingui una asímptota horitzontal a la recta $y = 4$. Amb aquest valor de $a$ ja calculat, troba també les equacions de les asímptotes verticals de la funció.

Per determinar si la funció racional $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ presenta algun tipus de simetria (parella, senar o cap), dos estudiants de 4t d'ESO defensen mètodes diferents:\n- Estratègia de l'Álvaro: Avalua la funció en un valor concret del seu domini, per exemple $x = 1$, i obté $f(1) = -0,5$ i $f(-1) = 0,5$. En observar que $f(-1) = -f(1)$, afirma que això demostra amb certesa que la funció és senar en tot el seu domini.\n- Estratègia de la Marta: Sosté que comprovar un cas particular no demostra una propietat general. Proposa substituir la variable $x$ per $-x$ de forma genèrica, simplificar l'expressió algebraica de $f(-x)$ i comparar-la formalment amb $-f(x)$ i amb $f(x)$.\na) Analitza l'estratègia de l'Álvaro: raona per què un exemple numèric no constitueix una demostració matemàtica vàlida i proporciona la fórmula d'una funció $g(x)$ que compleixi $g(-1) = -g(1)$ però que no sigui senar a la resta del seu domini.\nb) Aplica l'estratègia de la Marta desenvolupant algebraicament $f(-x)$ i conclou amb rigor quin tipus de simetria té $f(x)$.\nc) Justifica en quina situació d'un examen pot ser útil el mètode de l'Álvaro (a manera de descart o conjectura) i per què el mètode de la Marta és l'únic matemàticament concloent.

Un equip d'enginyeria electrònica dissenya la resposta d'un filtre de senyal el guany de voltatge del qual $f(x)$ (en volts) depèn de la freqüència d'entrada $x$ (en kHz). La resposta respon al model de funció racional:\n$f(x) = \dfrac{a \cdot x^2 + b}{c \cdot x^2 - 18}$\nPerquè el circuit funcioni de manera òptima, ha de complir rigorosament quatre especificacions tècniques:\n1) La gràfica és simètrica respecte a l'eix $Y$ (funció parella).\n2) El circuit entra en ressonància crítica (presenta asímptotes verticals) exactament a les freqüències $x = 3$ kHz i $x = -3$ kHz.\n3) A freqüències extremadament altes ($x \to \infty$), el guany s'estabilitza en una asímptota horitzontal de valor $y = 2$ V.\n4) Quan no hi ha senyal d'entrada ($x = 0$ kHz), el guany inicial és de $-1$ V.\na) Dedueix de manera raonada el valor dels coeficients $a$, $b$ i $c$. Justifica cada deducció a partir de les condicions donades.\nb) Demostra formalment que la funció obtinguda amb aquests coeficients compleix la condició algebraica de funció parella per a tot $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.\nc) Determina si el senyal de sortida es pot anul·lar en algun moment (és a dir, si la gràfica talla l'eix $X$). Justifica la teva resposta resolent l'equació $f(x) = 0$ i explica per què tenir una asímptota horitzontal a $y = 2$ no impedeix, en principi, que una funció pugui tallar o no l'eix horitzontal.