Exercicis: Tipus de funcions lineals. Polinomi de primer grau.

Identifica el pendent $m$ i l'ordenada a l'origen $n$ de les funcions lineals següents:

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Escriu l'equació de la recta que té un pendent de $5$ i l'ordenada a l'origen de la qual és $-2$.

Classifica les funcions següents en funció de proporcionalitat directa (lineal estricta), funció afí o funció constant:

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Troba l'equació de la recta que té pendent $m = -2$ i que passa pel punt $(1, 4)$.

La tarifa d'un taxi ve donada per la funció $C(x) = 1,50x + 3$, on $C(x)$ és el cost en euros i $x$ és la distància recorreguda en quilòmetres. Quant costarà un viatge de $8$ quilòmetres?

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades (eix X i eix Y) de la recta $y = 3x - 12$.

Comprova analíticament si els punts $A(2, 5)$ i $B(-1, -3)$ pertanyen a la gràfica de la funció $y = 2x + 1$.

A partir de la representació gràfica següent, determina el pendent, l'ordenada a l'origen i l'equació de la recta.

En Marcos té la funció afí $f(x) = 3x + 4$ i necessita calcular la imatge de $x = 10$. Com que sap que $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, raona de la manera següent: «Atès que $10$ és el doble de $5$, el valor de $f(10)$ ha de ser exactament el doble de $19$, és a dir, $f(10) = 38$».\na) Identifica l'error conceptual d'en Marcos i explica per què no és vàlid aplicar una regla de tres directa en aquest tipus de funcions.\nb) Quin valor hauria de tenir l'ordenada a l'origen $n$ perquè el raonament d'en Marcos hagués estat totalment correcte?\nc) Calcula el valor real de $f(10)$ mitjançant la seva fórmula i comprova algebraïcament quantes unitats augmenta en realitat el valor de $y$ quan $x$ s'incrementa en $5$ unitats.

Es busca una funció polinòmica de primer grau $f(x) = mx + n$ que compleixi simultàniament tres condicions:\n1. És una funció afí decreixent.\n2. Talla l'eix d'ordenades $Y$ en un punt situat a $4$ unitats per sota de l'origen de coordenades.\n3. L'antiimatge de $2$ és igual a $-3$.\na) Determina de manera raonada els valors exactes del pendent $m$ i de l'ordenada a l'origen $n$, i escriu l'expressió algebraica de $f(x)$.\nb) Justifica a partir del signe del pendent per què la funció és decreixent.\nc) Comprova algebraïcament si el punt $Q(-6, 8)$ pertany a la gràfica d'aquesta funció.

Troba l'equació de la recta que passa pels punts $A(-2, 5)$ i $B(4, -7)$.

Troba l'equació de la recta que és paral·lela a $y = 3x - 2$ i que passa pel punt $(-1, 4)$.

Un lampista cobra $30$ € pel desplaçament a domicili, més $15$ € per cada hora de treball. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el cost amb el temps treballat i calcula quant cobrarà per una reparació que li porta $3,5$ hores.

Un dipòsit d'aigua conté inicialment $800$ litres i s'està buidant a un ritme constant de $20$ litres per minut. Escriu la funció que relaciona el volum d'aigua al dipòsit amb el temps transcorregut i calcula en quin minut el dipòsit es buidarà per complet.

Troba analíticament el punt d'intersecció de les rectes $y = 4x - 5$ i $y = -2x + 7$. Comprova que el teu resultat coincideix amb el punt assenyalat en la gràfica següent.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y = kx + 5$ passi pel punt $(3, -4)$.

La relació entre la temperatura en graus Celsius ($^\circ C$) i graus Fahrenheit ($^\circ F$) és lineal. Sabem que l'aigua es congela a $0^\circ C$, que equival a $32^\circ F$, i bull a $100^\circ C$, que equival a $212^\circ F$. Troba la funció lineal que permet convertir graus Celsius ($x$) a graus Fahrenheit ($y$).

Calcula l'àrea del triangle que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ en tallar-se amb els eixos de coordenades en el primer quadrant.

La tarifa d'un servei de taxi urbà en una capital espanyola es compon d'una «baixada de bandera» fixa d'$1,80$ € tot just començar el recorregut i un cost d'$1,15$ € per cada quilòmetre completat.\na) Escriu l'expressió analítica de la funció $C(x)$ que proporciona el cost total del viatge en euros en funció dels quilòmetres $x$ recorreguts. Justifica si és una funció lineal, afí o constant, i interpreta què representen el pendent i l'ordenada a l'origen en el context del problema.\nb) Un client afirma: «Si faig un trajecte d'$18$ km, pagaré exactament el triple que si en faig un de $6$ km». Justifica matemàticament si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa calculant ambdós imports.\nc) Si una persona disposa d'un pressupost màxim de $20$ €, planteja i resol una equació o inequació per determinar quants quilòmetres complets (nombre enter) pot viatjar com a màxim.

Segons mesuraments meteorològics de l'AEMET a la troposfera, la temperatura disminueix de manera uniforme aproximadament $0,65$ °C per cada $100$ m d'increment en l'altitud. A Cercedilla, poble situat a $1200$ m sobre el nivell del mar, el termòmetre marca $17$ °C al migdia.\na) Abans de formular cap equació, estima mentalment quina temperatura aproximada hi haurà al port de Navacerrada ($1860$ m d'altitud): estarà més a prop de $12$ °C o de $15$ °C? Explica el teu raonament aproximant la diferència d'altitud a centenes senceres.\nb) Modela la temperatura mitjançant una funció de primer grau $T(h) = mh + n$, on $h$ és l'altitud en metres. Determina raonadament el valor del pendent $m$ (en °C/m) i el valor de l'ordenada a l'origen $n$.\nc) Calcula amb la funció matemàtica el valor exacte de la temperatura al port de Navacerrada i compara'l amb la teva estimació inicial per valorar si ha estat encertada.

Troba l'equació de la recta que passa pel punt $(0, 5)$ i que forma amb els eixos de coordenades un triangle rectangle d'àrea $10$ unitats quadrades en el primer quadrant.

Una fàbrica de sabatilles té uns costos fixos mensuals de $5000$ €. A més, produir cada parell de sabatilles costa $15$ €. Si l'empresa ven cada parell a $40$ €, escriu les funcions de cost $C(x)$ i ingressos $R(x)$. Quants parells de sabatilles han de vendre al mes per obtenir un benefici d'almenys $2000$ €?

La recta $r$ passa pels punts $(1, 2)$ i $(3, 8)$. La recta $s$ és paral·lela a $r$ i la seva ordenada a l'origen és la meitat de l'ordenada a l'origen de $r$. Determina l'equació de la recta $s$.

Un aparcament cobra $2,50$ € per la primera hora (o fracció d'hora). A partir de la primera hora, cobra $0,05$ € per cada minut addicional. Escriu la funció definida a trossos $C(t)$ que representa el cost total en euros en funció del temps $t$ en minuts que un vehicle està aparcat.

La longitud $L$ d'una molla elàstica, mesurada en centímetres, ve donada per la funció $L(p) = 15 + 0,2p$, on $p$ és el pes penjat en grams. Troba l'expressió de la funció inversa $p(L)$ i utilitza-la per calcular quin pes s'ha penjat si la molla mesura exactament $22$ cm.

La gràfica següent mostra la distància a la qual es troba un ciclista de casa seva en funció del temps. Determina l'expressió analítica definida a trossos de la funció $d(t)$ i calcula quina va ser la velocitat constant del ciclista durant el viatge de tornada.

Donades les rectes $y = (2m - 1)x + 5$ i $y = 3x - n$, determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè totes dues equacions representin exactament la mateixa recta (rectes coincidents).

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la recta $y = ax + b$ compleixi simultàniament dues condicions: ser paral·lela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ i passar pel punt d'intersecció de les rectes $y = 2x - 4$ i $y = -x + 5$.

Es té la taula següent de valors experimentals corresponents a una funció desconeguda $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPer esbrinar si la taula es pot descriure amb una funció de primer grau i trobar la seva fórmula, dos alumnes proposen estratègies diferents:\n- Mètode de la Lucía: Planteja un sistema de dues equacions amb incògnites $m$ i $n$ fent servir les dues primeres files. Després substitueix els valors de $x$ de les altres dues files per verificar si coincideixen els valors de $y$.\n- Mètode del David: Calcula el quocient $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre cada fila i la següent; si tots donen el mateix resultat, assegura que la funció és polinòmica de primer grau, pren aquest valor com a pendent $m$ i aïlla $n$ amb un punt qualsevol.\n\na) Compara ambdós mètodes i justifica quin d'ells permet descartar abans que la funció sigui de primer grau en cas que una de les files contingui un error de mesura.\nb) Utilitza el mètode que consideris més eficient per demostrar si les dades corresponen a una recta. En cas afirmatiu, classifica-la raonadament (lineal o afí) i troba la seva fórmula $f(x) = mx + n$.\nc) Sense calcular explícitament el valor de $x$, raona a priori si l'antiimatge de $-100$ serà un nombre positiu o negatiu basant-te en les propietats de la funció obtinguda. A continuació, calcula-la exactament.

Considera la família de funcions $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, on $k$ és un paràmetre real fix en cada cas.\na) Determina el valor de $k$ per al qual la funció és constant. Escriu la seva equació i descriu la posició geomètrica de la seva gràfica respecte als eixos de coordenades.\nb) Troba el valor de $k$ que converteix $f_k$ en una funció lineal (de proporcionalitat directa). Quin és el valor del seu pendent en aquest cas?\nc) Esbrina analíticament si existeix algun valor de $k$ tal que la recta passi pel punt $A(2, 4)$ i, al mateix temps, la funció resultant sigui estrictament creixent. Justifica amb rigor la teva conclusió.\nd) Per a $k = 1$, troba els punts de tall de la recta amb els eixos de coordenades i calcula l'àrea del triangle que aquesta recta determina juntament amb els eixos cartesians.