Exercicis: Sistemes d'equacions no lineals

Resol el següent sistema d'equacions no lineals:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Troba la solució del sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

Resol el sistema format per una equació lineal i una de quadràtica:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

El producte de dos nombres enters positius és $156$ i un d'ells és el consecutiu de l'altre. Planteja un sistema d'equacions i troba aquests nombres.

L'àrea d'una catifa rectangular és de $6 \text{ m}^2$ i el seu perímetre mesura $10 \text{ m}$. Planteja un sistema d'equacions no lineals i calcula les dimensions de la catifa.

Resol el següent sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

La suma dels quadrats de dos nombres és $25$, i un d'ells és $1$ unitat menor que l'altre. Planteja un sistema d'equacions i troba els nombres.

Troba la solució del sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

La Sara intenta resoldre el següent sistema d'equacions no lineals, que descriu dos nombres la diferència dels quals és $3$ i la suma dels seus quadrats és $29$:

Per a fer-ho, aïlla $x = y + 3$ a la primera equació i substitueix a la segona, escrivint a la seva llibreta:

I conclou que l'única solució és $y = \sqrt{10}$, $x = 3 + \sqrt{10}$.

1. a) Identifica els dos errors conceptuals greus que ha comès la Sara en el seu desenvolupament i explica detalladament per què són incorrectes.
2. b) Resol el sistema de manera correcta, mostrant tots els passos algebraics, i indica totes les parelles de solucions $(x, y)$ vàlides.

Volem dissenyar un sistema d'equacions no lineals format per una paràbola vertical de la forma $y = x^2 + b$ i una recta de la forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Troba els valors dels paràmetres $b$, $m$ i $n$ perquè les úniques solucions del sistema siguin exactament els punts $(0, 2)$ i $(3, 11)$. Justifica com dedueixes cada valor a partir de les coordenades donades.
2. b) Escriu el sistema complet resultant i comprova algebraicament, resolent-lo per igualació, que no existeix cap altre punt de tall entre totes dues figures.

La hipotenusa d'un triangle rectangle mesura $13 \text{ cm}$. Es sap que un dels catets mesura $7 \text{ cm}$ més que l'altre. Planteja un sistema d'equacions no lineals per calcular la longitud dels dos catets.

La suma de dos nombres és $15$ i la suma dels seus inversos és $\frac{5}{18}$. Planteja un sistema d'equacions i troba els nombres.

Resol el següent sistema d'equacions:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$x \cdot y = 18$

Un grup d'estudiants compra un regal per a un company per $120$ euros, a pagar a parts iguals. A última hora s'uneixen $2$ estudiants més, la qual cosa fa que cadascun dels inicials posi $3$ euros menys. Quants estudiants hi havia al principi i quant pagava cadascun?

Una parcel·la rectangular té una àrea de $600 \text{ m}^2$. Si es redueix la seva llargada en $5 \text{ m}$ i s'augmenta la seva amplada en $5 \text{ m}$, l'àrea continua sent la mateixa. Calcula les dimensions originals de la parcel·la.

Resol el següent sistema que conté una equació irracional:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

El producte de les edats de dos germans és $96$. D'aquí a $4$ anys, el producte de les seves edats serà $192$. Quines són les seves edats actuals?

L'àrea d'un rombe és de $24 \text{ cm}^2$ i la suma de les longituds de les seves diagonals és $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de totes dues diagonals plantejant un sistema d'equacions.

En un institut d'Educació Secundària de la Comunitat Valenciana es vol tancar un hort escolar rectangular aprofitant un mur ja existent de $20\text{ m}$ de longitud, de manera que aquest mur serveix com un dels costats i no necessita tanca. Amb una partida pressupostària s'han comprat exactament $28\text{ m}$ de tela metàl·lica per tancar els altres tres costats (dos costats perpendiculars al mur, de longitud $x$, i un costat paral·lel al mur, de longitud $y$). El departament de Biologia i Geologia requereix que la superfície total de conreu sigui de $96\text{ m}^2$.

1. a) Abans de plantejar el sistema, fes una estimació raonada: sabent que el costat $y$ no pot mesurar més dels $20\text{ m}$ del mur disponible, és possible que el costat $x$ mesuri menys de $4\text{ m}$ o més d'$11\text{ m}$? Argumenta la teva resposta analitzant conjuntament la tanca disponible i l'àrea requerida.
2. b) Planteja el sistema d'equacions no lineals (perímetre i àrea) i resol-lo per substitució.
3. c) Comprova si les solucions matemàtiques obtingudes són coherents amb la teva estimació inicial i determina les dimensions reals que pot tenir l'hort tenint en compte la limitació física del mur.

Per a resoldre el següent sistema simètric d'equacions no lineals:

dos estudiants de 4t d'ESO proposen camins diferents:

• Mètode de la Laura (Substitució): Aïllar $y = 15 - x$ a la primera equació, substituir a la segona, desenvolupar el quadrat del binomi i resoldre l'equació de segon grau en $x$.

• Mètode d'en Marcos (Identitats notables): Elevar al quadrat tots dos membres de la primera equació per obtenir $(x + y)^2 = 225$, aplicar el desenvolupament $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2\cdot x\cdot y$, substituir $x^2 + y^2 = 117$ per calcular directament el producte $x\cdot y$, i plantejar a partir de la suma $S$ i el producte $P$ l'equació $t^2 - S\cdot t + P = 0$.

1. a) Resol el sistema seguint detalladament el mètode de la Laura.
2. b) Resol el sistema seguint detalladament el mètode d'en Marcos.
3. c) Compara tots dos procediments: quin dels dos camins requereix càlculs aritmètics més simples i presenta menys risc de cometre errors amb els signes? Justifica quin triaries si els nombres de l'enunciat fossin molt més grans.

Un filferro de $40 \text{ cm}$ de longitud es talla en dos trossos. Amb un dels trossos es forma un quadrat i amb l'altre es forma un rectangle la base del qual és el doble que la seva alçada. Si la suma de les àrees de totes dues figures és de $48 \text{ cm}^2$, quant mesura cada tros de filferro?

Un nombre està format per dues xifres. El producte d'aquestes xifres és $18$. Si a aquest nombre se li resten $27$ unitats, s'obté un altre nombre amb les mateixes xifres però en ordre invers. Quin és el nombre original? (Recorda que un nombre de dues xifres $xy$ s'expressa algebraicament com a $10x + y$).

Resol el següent sistema d'equacions simètric:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

Una agència de viatges organitza una excursió per un cost total de $600$ euros. Poc abans de sortir, $5$ persones cancel·len el seu viatge, la qual cosa obliga als altres a pagar $4$ euros més cadascun per cobrir el cost total. Quantes persones van anar finalment a l'excursió i quant va pagar cadascuna?

En un parc es construirà una zona de jocs rectangular envoltada per un camí de gespa artificial de $1 \text{ m}$ d'amplada en tot el seu perímetre. L'àrea de la zona de jocs ha de ser de $48 \text{ m}^2$ i l'àrea total (zona de jocs més camí) ha de ser de $96 \text{ m}^2$. Planteja un sistema d'equacions per trobar les dimensions de la zona de jocs.

Resol el següent sistema d'equacions no lineals:

$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$

$x + y = 5$

Un ciclista recorre una distància de $120 \text{ km}$ a velocitat constant. Si hagués viatjat $5 \text{ km/h}$ més ràpid, hauria trigat $2$ hores menys a completar el mateix recorregut. Planteja un sistema d'equacions per calcular la velocitat del ciclista i el temps que va trigar.

Un envàs cilíndric tancat té una àrea total (àrea lateral més les dues bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Es sap a més que la suma del radi de la base i l'altura del cilindre és de $15 \text{ cm}$. Calcula el radi i l'altura de l'envàs. (Recorda que l'àrea total d'un cilindre és $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).

Una cooperativa agrària a Castella-la Manxa projecta la instal·lació d'una estructura rectangular per a plaques solars destinades a l'autoconsum de les seves bombes de pou. La memòria tècnica imposa tres condicions de disseny:

1. Per motius de resistència estructural i ancoratge de cablesROW diagonals, la diagonal del rectangle ha de mesurar exactament $17\text{ m}$.

2. Per garantir la potència pic requerida pels motors, la superfície de captació solar ha de ser exactament de $120\text{ m}^2$.

3. Per evitar ombres projectades entre files contigües de panells segons les taules de radiació solar a la zona, la longitud (costat major, $x$) ha de superar l'amplada (costat menor, $y$) en almenys $6\text{ m}$.

1. a) Planteja un sistema d'equacions no lineals que relacioni les dimensions $x$ i $y$ a partir de la diagonal i de l'àrea.
2. b) Resol el sistema aplicant identitats notables per calcular $(x+y)^2$ i $(x-y)^2$, deduint totes les possibles solucions matemàtiques de les dimensions.
3. c) Interpreta els resultats obtinguts en el context del projecte i determina si les dimensions de l'estructura són viables sota la restricció tècnica de la separació mínima enfront d'ombres. Justifica la teva conclusió.

En un sistema de posicionament i guiatge de drons, un dron de vigilància descriu una trajectòria parabòlica donada per l'equació $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, mentre que un feix de llum d'abalisament s'emet en línia recta seguint l'equació $y = 2\cdot x + k$, on $k$ és un paràmetre real que es pot regular variant la inclinació de l'emissor.

1. a) Planteja el sistema d'equacions format per totes dues trajectòries i iguala les expressions per obtenir una equació de segon grau de la forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dependent de $k$.
2. b) Sense donar valors a l'atzar a $k$, utilitza el discriminant ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) per determinar analíticament quina condició ha de complir $k$ perquè:

• El feix de llum talli la trajectòria del dron en dos punts diferents.

• El feix de llum no arribi en cap moment a la trajectòria del dron.

• El feix de llum sigui tangent a la trajectòria del dron (un únic punt de contacte).

1. c) Per al valor de $k$ que produeix tangència, calcula les coordenades exactes del punt de contacte $(x, y)$ i explica quin significat geomètric té que l'equació quadràtica associada tingui una arrel doble.