Exercicis: Sistemes d'equacions lineals

Comprova si el parell de valors $(x, y) = (2, -1)$ és solució del següent sistema d'equacions lineals:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Resol el següent sistema d'equacions utilitzant el mètode de substitució:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Resol el següent sistema d'equacions utilitzant el mètode d'igualació:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Resol el següent sistema d'equacions utilitzant el mètode de reducció:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Observa la representació gràfica de dues rectes que formen un sistema d'equacions lineals. Indica quina és la solució del sistema i classifica'l segons el seu nombre de solucions (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible).

La suma de dos nombres és $54$ i la seva diferència és $12$. Planteja un sistema d'equacions lineals i calcula el valor de tots dos nombres.

En una cafeteria, per $3$ cafès i $2$ croissants ens han cobrat $7,50$ €. Si comprem $1$ cafè i $4$ croissants del mateix tipus, el preu és de $6,50$ €. Quant costa cada cafè i cada croissant?

Resol el següent sistema d'equacions pel mètode analític que consideris més adequat:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

En Marcos intenta resoldre pel mètode de reducció el sistema d'equacions lineals següent:

$\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 5x + 4y = 6 \end{cases}$

Per eliminar la incògnita $y$, decideix multiplicar la primera equació per $2$ i escriu a la seva llibreta:

$6x - 4y = 8$

Tot seguit, suma membre a membre amb la segona equació, i obté $11x = 14$, d'on conclou que $x = \frac{14}{11}$.

1. a) Identifica amb precisió quin error ha comès en Marcos i explica per què el seu pas invalida l'equivalència del sistema basant-te en les propietats algebraiques de les igualtats.
2. b) Corregeix el seu desenvolupament i troba la solució exacta $(x, y)$ del sistema original.

Analitza detingudament els dos sistemes d'equacions lineals següents:

Sistema 1: $\begin{cases} x = 2y - 5 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Sense resoldre'ls encara, justifica de manera raonada quin dels tres mètodes algebraics habituals (substitució, igualació o reducció) resulta més ràpid i eficient per al Sistema 1, i quin per al Sistema 2, atenent als coeficients de les incògnites.
2. b) Resol el Sistema 2 utilitzant el mètode que has seleccionat en l'apartat anterior i comprova que la solució obtinguda compleix totes dues igualtats.

Resol el següent sistema d'equacions lineals, operant prèviament per eliminar els parèntesis:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Resol el següent sistema eliminant primer els denominadors:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

Fa $5$ anys, l'edat d'una mare era el triple que la del seu fill. D'aquí a $10$ anys, l'edat de la mare serà el doble que la del fill. Planteja un sistema d'equacions lineals per calcular les edats actuals de tots dos.

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $120$ metres. Si la llargada de la parcel·la mesura $10$ metres més que l'amplada, quines són les dimensions de la parcel·la?

Un comerciant barreja oli d'oliva de $4$ €/litre amb oli de gira-sol de $2$ €/litre per obtenir $60$ litres d'una barreja que vendrà a $3,50$ €/litre. Planteja un sistema d'equacions per esbrinar quants litres de cada tipus d'oli ha utilitzat.

En una guardiola hi ha $40$ monedes, algunes de $0,20$ € i d'altres de $0,50$ €. Si en total hi ha $12,50$ €, quantes monedes de cada tipus conté la guardiola?

Representa gràficament el següent sistema d'equacions lineals i indica la seva solució a partir de la gràfica:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un taller de reparació de vehicles hi ha entre cotxes i motos un total de $35$ vehicles. Si comptem les rodes de tots ells (sense tenir en compte les de recanvi), hi ha un total de $110$ rodes. Quants cotxes i quantes motos hi ha al taller?

En un auditori de Zaragoza s'han venut les 150 entrades disponibles per a una obra benèfica. Hi havia dos tipus de localitats: tarifa general a $18\text{ €}$ i tarifa reduïda per a estudiants a $10\text{ €}$. La recaptació final a taquilla va ser de $2220\text{ €}$.

1. a) Abans de plantejar cap equació, fes una estimació raonada: es van vendre més entrades generals o reduïdes? Per justificar-ho, calcula què hauria passat amb la recaptació si les 150 entrades haguessin estat totes de $10\text{ €}$ o totes de $18\text{ €}$.
2. b) Planteja un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que representi la situació i resol-lo pel mètode que consideris més convenient.
3. c) Comprova si el nombre d'entrades trobat per a cada tipus coincideix amb la teva deducció qualitativa prèvia i argumenta per què la solució és coherent en el context real.

Considera el sistema següent amb coeficients desconeguts:

$\begin{cases} 2x + ky = 6 \\ 4x - 6y = c \end{cases}$

1. a) Determina quins valors numèrics han de prendre els paràmetres $k$ i $c$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat (infinites solucions). Explica quina relació geomètrica tenen les dues rectes en aquest cas.
2. b) Mantenint el valor de $k$ obtingut en l'apartat anterior, indica quina condició ha de complir $c$ perquè el sistema resulti incompatible. Quina posició relativa tenen les rectes sobre el pla cartesià?
3. c) Construeix una segona equació lineal diferent perquè, combinada amb $2x - 3y = 6$, formi un nou sistema compatible determinat la solució única del qual sigui la parella $(x, y) = (3, 0)$.

Resol el següent sistema d'equacions lineals, simplificant prèviament les expressions amb fraccions i parèntesis:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè el següent sistema d'equacions sigui incompatible (és a dir, que les rectes que el representen siguin paral·leles):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

En una botiga d'electrònica, un ordinador portàtil i una tauleta costen junts $1500$ €. Durant la setmana de rebaixes, apliquen un descompte del $15\,\%$ al portàtil i un $10\,\%$ a la tauleta, per la qual cosa el preu conjunt passa a ser de $1305$ €. Planteja un sistema d'equacions per esbrinar el preu original de cada article.

Determina el valor del paràmetre $m$ perquè el següent sistema tingui infinites solucions (sigui un sistema compatible indeterminat):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Dos ciclistes surten al mateix temps de dues ciutats, A i B, separades per $78$ km, i es dirigeixen l'un cap a l'altre en línia recta. Triguen exactament $3$ hores a trobar-se. Si la velocitat del primer ciclista és $4$ km/h més gran que la del segon, a quina velocitat circula cadascun?

En un laboratori es disposa de dues dissolucions d'un mateix àcid, una al $10\,\%$ de concentració i una altra al $25\,\%$. Es vol obtenir $45$ litres d'una nova dissolució al $16\,\%$ de concentració. Quants litres de cada dissolució original s'han de barrejar?

Observa la següent representació gràfica d'un sistema format per dues rectes, $r_1$ i $r_2$, les equacions de les quals són de la forma $ax+by=c$ i $a'x+b'y=c'$. A partir del gràfic, classifica el sistema segons el seu nombre de solucions i explica quina relació algebraica ha d'existir entre els coeficients de totes dues equacions perquè es doni aquesta situació.

Una persona inverteix un total de $25000$ € en dos fons d'inversió diferents. El primer fons li ofereix un interès anual del $4\,\%$, mentre que el segon li n'ofereix un $6\,\%$. Si al cap d'un any els beneficis totals obtinguts per tots dos fons ascendeixen a $1320$ €, quina quantitat de diners va invertir en cadascun d'ells?

Un servei municipal de préstec de bicicletes elèctriques a Sevilla ofereix un pla de subscripció que inclou una quota fixa mensual de manteniment ($x$) i un cost fix per cada trajecte de més de 30 minuts ($y$).

Durant el mes d'abril, en Pablo va fer 16 trajectes facturables i el seu rebut total va ser de $23,20\text{ €}$. Per la seva banda, la Carmen va fer 28 trajectes facturables amb el mateix pla i va pagar $34,00\text{ €}$.

1. a) Modela la situació mitjançant un sistema d'equacions lineals i calcula el valor de la quota fixa mensual ($x$) i el preu de cada trajecte ($y$).
2. b) Un nou usuari disposa d'un pressupost màxim mensual de $20\text{ €}$. Quin és el nombre màxim de trajectes de més de 30 minuts que pot permetre's fer al mes amb aquest pla?
3. c) Obtén l'expressió del cost mitjà per trajecte en funció del nombre total de trajectes $n$ fets en el mes. Raona a partir de quants trajectes mensuals el cost mitjà per trajecte resulta inferior a $1,30\text{ €}$ i interpreta què passa amb el pes de la quota fixa a mesura que augmenta l'ús del servei.

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent dels paràmetres $a$ i $b$:

$\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x - y = b \end{cases}$

1. a) Sense resoldre'l per mètodes algebraics tradicionals, classifica el tipus de sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) segons els possibles valors de $a$ i $b$, utilitzant les raons entre els coeficients i els termes independents.
2. b) Si fixem $a = -6$ i $b = -2$, demostra algebraicament que el sistema admet infinites solucions, expressa la solució general en funció d'una de les incògnites i proporciona tres solucions numèriques particulars diferents.
3. c) Des del punt de vista geomètric, descriu la posició relativa de totes dues rectes en cadascun dels casos analitzats en l'apartat a) i justifica de manera rigorosa per què és impossible que un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites tingui exactament dues solucions diferents.