Ejercicios: Sistemas de ecuaciones lineales

Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).

La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.

En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $7,50$ €. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $6,50$ €. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método analítico que consideres más adecuado:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.

El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

Un comerciante mezcla aceite de oliva de $4$ €/litro con aceite de girasol de $2$ €/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $3,50$ €/litro. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos litros de cada tipo de aceite ha utilizado.

En una hucha hay $40$ monedas, algunas de $0,20$ € y otras de $0,50$ €. Si en total hay $12,50$ €, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la hucha?

Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

En un taller de reparación de vehículos hay entre coches y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay en el taller?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

En una tienda de electrónica, un ordenador portátil y una tableta cuestan juntos $1500$ €. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ al portátil y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $1305$ €. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.

Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ km/h mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?

En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos litros de cada disolución original se deben mezclar?

Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.

Una persona invierte un total de $25000$ € en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $1320$ €, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?