Exercicis: Notació científica

Expressa els següents nombres enters i decimals exactes en notació científica:

1. a) $450\,000\,000$
2. b) $32\,500$
3. c) $8\,400\,000\,000\,000$

Expressa els següents nombres decimals petits en notació científica:

1. a) $0,0000045$
2. b) $0,00000000128$
3. c) $0,003$

Escriu amb totes les seves xifres els següents nombres donats en notació científica:

1. a) $3,14 \cdot 10^6$
2. b) $8,05 \cdot 10^9$
3. c) $1,002 \cdot 10^4$

Escriu en forma decimal els següents nombres donats en notació científica:

1. a) $5,2 \cdot 10^{-5}$
2. b) $1,07 \cdot 10^{-8}$
3. c) $9,9 \cdot 10^{-3}$

Realitza les següents multiplicacions i expressa el resultat en notació científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^8)$

Efectua les següents divisions i dona el resultat en notació científica:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-6})$

Calcula les següents sumes i restes que tenen el mateix exponent, donant el resultat en notació científica:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 5,1 \cdot 10^{-4}$

Realitza les següents operacions ajustant primer els exponents perquè siguin iguals, i expressa el resultat final en notació científica:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $9,1 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-4}$

En Marcos ha de calcular la massa conjunta de dos satèl·lits de telecomunicacions posats en òrbita. El satèl·lit A té una massa de $4,5 \cdot 10^3\text{ kg}$ i el satèl·lit B té una massa de $8 \cdot 10^2\text{ kg}$. En el seu examen escriu el procediment següent:

1. a) Localitza i explica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en operar amb potències i notació científica.
2. b) Argumenta per què no té sentit físic que la massa total de dos satèl·lits (un de $4500\text{ kg}$ i un altre de $800\text{ kg}$) doni com a resultat més d'un milió de quilograms.
3. c) Fes la suma de manera correcta pas a pas i expressa el resultat final en notació científica.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la població resident a Espanya és d'aproximadament $4,8 \cdot 10^7$ persones. S'estima que el consum mitjà diari d'aigua a les llars espanyoles és d'uns $130\text{ litres}$ per habitant.

1. a) Expressa el consum diari d'aigua per persona en metres cúbics utilitzant notació científica (recorda que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litres}$).
2. b) Modela el consum total d'aigua de totes les llars d'Espanya durant un any complet ($365\text{ dies}$). Expressa el resultat en metres cúbics en notació científica.
3. c) La capacitat de l'embassament de La Serena (Badajoz), el més gran d'Espanya, és d'uns $3,2 \cdot 10^9\text{ m}^3$. Si estigués ple al $100\,\%$, seria suficient per abastir el consum domèstic anual de tot el país? Justifica la teva resposta comparant els ordres de magnitud i els coeficients.

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'uns $149\,600\,000$ km i la velocitat de la llum al buit és d'aproximadament $300\,000$ km/s. Expressa totes dues quantitats en notació científica i calcula quants segons triga la llum del Sol a arribar a la Terra.

La mida d'un glòbul vermell és d'aproximadament $7,5 \cdot 10^{-6}$ m, mentre que la d'un virus de la grip és d'uns $1,2 \cdot 10^{-7}$ m. Quants virus de la grip alineats l'un darrere de l'altre es necessitarien per igualar el diàmetre d'un glòbul vermell?

Una unitat d'emmagatzematge d'un servidor de dades té una capacitat de $4$ terabytes ($4 \cdot 10^{12}$ bytes). Si un document de text ocupa una mitjana de $2,5 \cdot 10^4$ bytes, quants documents es poden emmagatzemar al servidor? Expressa el resultat en notació científica.

Efectua la següent operació combinada i expressa el resultat final en notació científica, ajustant el coeficient si és necessari:

$\frac{(4,5 \cdot 10^{-5}) \cdot (6 \cdot 10^{12})}{3 \cdot 10^4}$

Ordena de menor a major els següents nombres, expressant-los prèviament en notació científica estàndard (amb un únic dígit diferent de zero davant de la coma):

$A = 0,0034 \cdot 10^8$

$B = 450 \cdot 10^3$

$C = 3,2 \cdot 10^5$

$D = 0,05 \cdot 10^7$

La massa d'un àtom d'oxigen és d'aproximadament $2,66 \cdot 10^{-23}$ g. Sabent que una gota d'aigua conté uns $1,67 \cdot 10^{21}$ àtoms d'oxigen, calcula la massa total d'oxigen present en la gota, expressant el resultat en notació científica.

L'any 2023, el Producte Interior Brut (PIB) d'un país va ser de $1,45 \cdot 10^{12}$ euros i la seva població era de $4,7 \cdot 10^7$ habitants. Calcula el PIB per càpita (euros per habitant) expressant el resultat en notació científica amb dues xifres decimals.

Calcula la següent potència aplicant les propietats corresponents i expressa el resultat final rigorosament en notació científica:

$(5 \cdot 10^{-4})^3$

Per calcular quantes vegades és més ràpida la velocitat de la llum en el buit ($c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$) que la velocitat del so en l'aire ($v \approx 3,4 \cdot 10^2\text{ m/s}$), dos estudiants de 4t d'ESO debaten sobre quin camí seguir:

• Estratègia de la Carla: Convertir primer tots dos nombres a notació decimal ordinària ($300\,000\,000$ i $340$) i després efectuar la divisió a mà o amb calculadora.

• Estratègia d'en David: Mantenir la notació científica, dividir directament les mantisses ($3 : 3,4$) i restar les potències de deu ($10^{8-2}$), ajustant la mantissa al final.

1. a) Explica els avantatges de l'estratègia d'en David respecte a la de la Carla si haguessis de realitzar el càlcul a llapis i paper sense cometre errors de recompte de zeros.
2. b) Si haguessis de calcular la relació entre la massa d'un protó ($1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$) i la d'un electró ($9,11 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$), continuaria sent viable l'estratègia de la Carla? Justifica per què la notació científica és el mètode estàndard en ciències aplicades.
3. c) Aplica l'estratègia d'en David per calcular quantes vegades és més ràpid el so que una tortuga que camina a $1,7 \cdot 10^{-1}\text{ m/s}$. Expressa el resultat final en notació científica i en notació decimal ordinària.

Segons l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), la superfície peninsular d'Espanya és d'uns $4,9 \cdot 10^5\text{ km}^2$. Durant el pas d'un gran temporal de tardor, es va registrar una precipitació mitjana de $20\text{ mm}$ de pluja a tot el territori peninsular (recorda que $1\text{ mm} = 1\text{ litre/m}^2$, i que $1\text{ litre} = 10^{-3}\text{ m}^3$).

1. a) Estima abans de calcular: Sabent que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$, fes una estimació mental ràpida de l'ordre de magnitud (la potència de deu) del volum total d'aigua caiguda en metres cúbics ($10^9$, $10^{10}$, $10^{11}\dots$) i anota la teva predicció raonada.
2. b) Calcula: Converteix la superfície peninsular a metres quadrats en notació científica i calcula amb exactitud el volum total d'aigua precipitada en metres cúbics. Expressa el resultat en notació científica.
3. c) Comprova: Compara el resultat exacte amb la teva estimació inicial. Sabent que el consum d'aigua per a tots els usos a Espanya (agrícola, industrial i urbà) ronda els $3 \cdot 10^{10}\text{ m}^3$ a l'any, valora si és raonable que un únic temporal abundant aporti una quantitat de l'ordre del $30\,\%$ de tot el consum anual del país.

La llei de gravitació universal estableix que la força d'atracció entre dues masses $m_1$ i $m_2$ separades per una distància $d$ és $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$, on $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Calcula la força d'atracció entre la Terra ($m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg) i la Lluna ($m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg) sabent que la distància mitjana entre els seus centres és de $3,84 \cdot 10^8$ m. Dona el resultat en notació científica amb tres xifres significatives.

Efectua la següent operació combinada, prestant atenció a la jerarquia de les operacions i ajustant els exponents adequadament abans de sumar. Expressa el resultat final en notació científica:

$\frac{3,2 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^7}{(2 \cdot 10^{-3})^2}$

L'edat estimada de l'univers és d'uns $13\,800$ milions d'anys. Si un any té aproximadament $3,15 \cdot 10^7$ segons, calcula l'edat de l'univers en segons expressada en notació científica. Si la vida mitjana d'una partícula subatòmica inestable és de $2,5 \cdot 10^{-20}$ segons, quantes vides d'aquesta partícula caben seqüencialment en l'edat de l'univers?

Un raig làser emet polsos de llum amb una energia total de $3,5 \cdot 10^{-3}$ joules per pols. Si l'energia d'un únic fotó d'aquesta llum és de $3,14 \cdot 10^{-19}$ joules, quants fotons hi ha en cada pols? Si el làser emet $50$ polsos per segon, quants fotons emet en una hora de funcionament continu? Expressa tots dos resultats en notació científica.

En mesurar la distància entre dues galàxies llunyanes s'obté un valor de $24\,560\,000\,000\,000\,000\,000$ km. Expressa aquesta quantitat en notació científica arrodonint a tres xifres significatives (és a dir, dues xifres decimals). A continuació, calcula l'error absolut i l'error relatiu comesos en realitzar aquesta aproximació.

Troba el valor de l'exponent $x$ (enter) i del coeficient $y$ (amb $1 \le y < 10$) perquè es compleixi la següent igualtat:

$(y \cdot 10^x)^3 = 1,25 \cdot 10^{17}$

Es vol recobrir una esfera de radi $R = 2 \cdot 10^{-2}$ m amb una capa d'un sol àtom de gruix d'or. El radi d'un àtom d'or és d'aproximadament $1,44 \cdot 10^{-10}$ m. Suposant que cada àtom ocupa a la superfície una àrea equivalent a un quadrat de costat igual al seu diàmetre, estima quants àtoms d'or es necessitaran per recobrir completament l'esfera. (Recorda que l'àrea d'una esfera és $A = 4\pi R^2$).

Sigui un nombre en notació científica $N = a \cdot 10^n$, on $1 \le a < 10$ i $n$ és un nombre enter senar. En calcular l'arrel quadrada de $N$, s'obté l'expressió $\sqrt{a \cdot 10^n}$. Descriu el procediment matemàtic perquè el resultat final quedi correctament expressat en notació científica $b \cdot 10^m$, especificant els valors de $b$ i $m$ en funció de $a$ i $n$. Aplica el teu raonament per calcular el valor exacte de $\sqrt{4,9 \cdot 10^{15}}$ en notació científica.

En un sistema de seguretat digital es generen dues claus numèriques expressades en notació científica, $X = a \cdot 10^p$ i $Y = b \cdot 10^q$, amb $1 \le a, b < 10$ i $p, q$ enters. Per recuperar l'accés al sistema, es coneixen les condicions següents:

1. Les mantisses $a$ i $b$ són nombres enters més grans que 1.

2. El producte de les dues claus és exactament $X \cdot Y = 1,4 \cdot 10^7$.

3. El quocient $\frac{Y}{X}$, expressat en notació científica, té com a ordre de magnitud $10^{13}$ (és a dir, el seu exponent és $13$).

4. L'exponent $p$ és estrictament negatiu i l'exponent $q$ és estrictament positiu.

1. a) Raona per què el producte de les mantisses $a \cdot b$ ha de ser obligatòriament igual a $14$ i dedueix quins han de ser els valors dels nombres enters $a$ i $b$.
2. b) A partir de l'ordre de magnitud del quocient i del producte, planteja un sistema amb els exponents $p$ i $q$, resol-lo i escriu de manera unívoca els nombres $X$ i $Y$.
3. c) Comprova que la teva solució compleix totes les condicions de l'enunciat realitzant explícitament tant el producte $X \cdot Y$ com la divisió $\frac{Y}{X}$.

Red Eléctrica de España (REE) registra una demanda elèctrica peninsular anual d'aproximadament $2,4 \cdot 10^{11}\text{ kWh}$. Dins dels plans de transició ecològica, es planteja cobrir el $15\,\%$ d'aquesta demanda nacional exclusivament mitjançant instal·lacions solars en teulades d'habitatges unifamiliars. Es compta amb les dades tècniques següents:

• Cada instal·lació domèstica genera una mitjana de $5 \cdot 10^3\text{ kWh}$ a l'any.

• Cada instal·lació requereix una superfície de captació de $25\text{ m}^2$ de panells.

• Cada quilowatt-hora ($1\text{ kWh}$) generat amb energia solar estalvia l'emissió de $2,6 \cdot 10^{-1}\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ respecte a la generació amb centrals tèrmiques.

1. a) Modela la quantitat d'energia en $\text{kWh}$ corresponent a aquest $15\,\%$ de la demanda i calcula quants habitatges amb plaques solars es necessitarien en total (expressa tots dos resultats en notació científica).
2. b) Calcula quantes tones de $\text{CO}_2$ s'evitaria emetre a l'atmosfera cada any amb aquest pla ($1\text{ tona} = 10^3\text{ kg}$).
3. c) Calcula la superfície total de panells solars necessària en quilòmetres quadrats ($1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$). Sabent que el terme municipal de Madrid té una superfície d'uns $6 \cdot 10^2\text{ km}^2$, compara totes dues superfícies i reflexiona raonadament sobre si aquest desplegament és factible repartit per les teulades dels milions d'edificis del país.