Exercicis: Operacions amb monomis

Calcula el resultat de la suma i resta de monomis semblants següent:

$3x^2y - 5x^2y + \frac{1}{2}x^2y$

Multiplica els monomis següents i simplifica el resultat:

$(2ab^2) \cdot (-3a^2b) \cdot (4a)$

Realitza la divisió dels monomis següents:

$\frac{-15x^4y^3z}{5x^2y}$

Calcula la potència del monomi següent:

$(-2x^3y^2)^4$

Identifica quins dels següents monomis són semblants i redueix l'expressió:

$4m^3n - 2mn^3 + 5m^3n + mn^3$

Calcula el valor numèric del monomi $-3x^2y^3$ per als valors $x = 2$ i $y = -1$.

Troba el monomi que falta en l'operació següent perquè la igualtat sigui certa:

$7x^3 + (\dots) = -2x^3$

Determina per quin monomi s'ha de multiplicar $4x^2$ per obtenir com a resultat $-20x^5$.

En una classe de 4t d'ESO, en Marcos ha de simplificar la següent operació combinada amb monomis: $5x^3 + 3x^3 - (2x^2)^3$. Al seu examen escriu el següent desenvolupament pas a pas:

• Pas 1: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$

• Pas 2: $(2x^2)^3 = 6x^5$

• Pas 3: $8x^6 - 6x^5 = 2x$

Fes les tasques següents:

1. a) Identifica els tres errors comesos per en Marcos i explica per a cadascun quina propietat de les operacions amb monomis (suma, potència o resta) ha aplicat de manera incorrecta.
2. b) Corregeix l'exercici al teu quadern resolent-lo pas a pas de manera adequada, indicant la jerarquia d'operacions que has seguit.

Una empresa d'energies renovables dissenya una nova instal·lació fotovoltaica sobre terra a Extremadura. Cada panell solar estàndard té una amplada de $x$ metres i una longitud d'$1,8x$ metres.

1. a) Calcula el monomi que expressa l'àrea d'un únic panell solar en funció de la variable $x$.
2. b) El projecte inclou la col·locació d'una filera contínua de $250$ panells iguals. Obtén el monomi simplificat que representa la superfície total de captació d'aquesta filera multiplicant el nombre de panells pel monomi de l'àrea unitària.
3. c) El plec tècnic exigeix deixar una franja de manteniment i refrigeració perimetral la superfície de la qual ve donada pel monomi $110x^2$. Raona per què és possible sumar la superfície de captació i la de manteniment en un únic monomi utilitzant el concepte de monomis semblants, i troba el monomi que representa la superfície total ocupada per la instal·lació.

Efectua les operacions combinades següents amb monomis, respectant la jerarquia de les operacions:

$2x \cdot (3x^2)^2 - 5x^2 \cdot (x^3)$

Un terreny de forma rectangular té unes dimensions donades per monomis. La seva base mesura $4xy^2$ i la seva altura $3x^2y$. Expressa l'àrea i el perímetre del terreny mitjançant expressions algebraiques reduïdes.

En física, l'energia cinètica d'un cos es calcula mitjançant la fórmula $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Si la massa d'un vehicle es pot expressar com a $m = 4x$ i la seva velocitat com a $v = 3xy$, expressa la seva energia cinètica com un monomi simplificat.

Realitza l'operació combinada següent amb monomis que inclouen coeficients fraccionaris i simplifica el resultat:

$\left( \frac{2}{3} a^2b \right)^3 : \left( \frac{4}{9} a^4b^2 \right)$

Un dipòsit d'aigua té forma cilíndrica. El radi de la seva base és $r = 2x^2$ i la seva altura és $h = 5xy$. Sabent que el volum d'un cilindre és $V = \pi r^2 h$, expressa el volum del dipòsit com un monomi.

Una empresa de tecnologia ven components electrònics. El preu de venda de cada component ve donat pel monomi $P = 15x^2y$ euros. Si en un mes aconsegueixen vendre una quantitat de components equivalent a $Q = 4xy^3$, expressa els ingressos totals de l'empresa com un monomi.

La base d'un triangle mesura exactament el triple que la seva altura $h$. Expressa l'àrea d'aquest triangle com un monomi en funció de la variable $h$.

Resta el monomi $5a^3b^4$ del resultat de multiplicar els monomis $-2ab^2$ i $3a^2b^2$. Expressa el resultat final simplificat.

Per simplificar l'expressió amb monomis $\left(\frac{6x^4y^3}{2x^2y}\right)^3$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode de l'Alba: Fa primer el quocient de monomis que hi ha dins del parèntesi i, a continuació, eleva el monomi resultant al cub.

• Mètode d'en Bruno: Aplica primer la propietat de la potència d'una fracció elevant numerador i denominador al cub (desenvolupant les potències de monomis) i, finalment, fa la divisió dels monomis obtinguts.

1. a) Resol l'expressió seguint pas a pas el mètode proposat per l'Alba.
2. b) Resol l'expressió seguint pas a pas el mètode proposat per en Bruno i comprova que tots dos resultats coincideixen.
3. c) Compara tots dos camins valorant la mida dels coeficients numèrics i la dificultat dels exponents intermedis. Justifica quin dels dos mètodes consideres més convenient per minimitzar el risc de cometre errors de càlcul.

Una cooperativa oliera de Jaén emmagatzema l'oli verge extra en dipòsits cilíndrics d'acer. El volum d'un dipòsit cilíndric es calcula mitjançant la fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, on $r$ és el radi de la base i $h$ és l'altura. En els seus models habituals, els enginyers fixen un radi de $r = x$ metres i una altura de $h = 2,5x$ metres (prenent l'aproximació $\pi \approx 3,14$).

1. a) Multiplica els coeficients i les potències de la variable per obtenir el monomi simplificat que representa el volum $V_1(x)$ d'un dipòsit estàndard.
2. b) Si la trull disposa d'una filera de $8$ dipòsits estàndard, escriu el monomi simplificat que expressa la capacitat total d'emmagatzematge d'aquesta filera.
3. c) Per ampliar la capacitat, la cooperativa encarrega un prototip gegant en què es duplica el radi de la base ($r = 2x$) i es triplica l'altura ($h = 7,5x$). Desenvolupa el monomi que descriu el volum $V_2(x)$ del nou prototip i calcula el quocient de monomis $\frac{V_2(x)}{V_1(x)}$ per determinar raonadament a quants dipòsits estàndard equival exactament un sol dipòsit gegant.

Troba el monomi $M(x,y)$ que satisfà l'equació algebraica següent:

$\frac{(3x^2y)^2 \cdot M(x,y)}{-2xy^3} = 18x^5y^2$

El disseny d'un logotip està format per un quadrat exterior de costat $4x^2y$ que conté a l'interior un altre quadrat de costat $3x^2y$. Expressa l'àrea de la regió compresa entre tots dos quadrats (la zona ombrada) com un monomi simplificat.

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una planxa de cartró rectangular de dimensions $10x$ per $8x$. Per a fer-ho, es retalla un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les quatre cantonades i es dobleguen les solapes cap amunt. Demostra que el volum de la caixa resultant és un monomi i calcula'l.

La llei de gravitació universal de Newton estableix que la força d'atracció entre dues masses és $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si la massa del primer cos és $m_1 = 2x^2$, la del segon és $m_2 = 8x^3$, i la distància que els separa és $d = 4x$, expressa la força $F$ com un monomi en funció de la constant $G$ i la variable $x$.

Demostra algebraicament que si prens un cub d'aresta $2a^2$, eleves el seu volum al quadrat i divideixes el resultat per l'àrea d'una de les seves cares, obtens sempre un monomi. Calcula quin és aquest monomi.

Simplifica al màxim la següent expressió niada amb monomis, aplicant les propietats de les potències i les operacions amb monomis:

$\left[ \frac{(-2x^3y^2)^3 \cdot (x^2y)^2}{(4x^5y^3)^2} \right]^2$

Una fàbrica tèxtil produeix lots de samarretes. El cost de fabricar un lot de $N = 5x^2$ samarretes és de $C = 20x^3$ euros per cada samarreta. Posteriorment, es venen totes les samarretes fabricades a un preu de $V = 35x^3$ euros la unitat. Expressa el benefici total obtingut per la fàbrica (Ingressos menys Costs) com un monomi simplificat.

El volum d'un cone ve donat per $V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ i el d'una esfera per $V_e = \frac{4}{3}\pi R^3$. Es té un cone el radi de la base del qual és $r = 2x$ i la seva altura és $h = 4x$. D'altra banda, es té una esfera de radi $R = x$. Calcula la raó (el quocient) entre el volum del cone i el volum de l'esfera, demostrant que el resultat és un nombre enter independent de $x$.

Una estació depuradora comarcal gestiona el tractament d'aigües residuals mitjançant un sistema d'impulsió i filtratge. Els tècnics modelitzen el cabal tractat (en metres cúbics per hora) a través de la següent operació combinada amb monomis:

on $x$ és la pressió d'entrada en bars, $y$ és el diàmetre dels conductes en decímetres i $M(x)$ és un monomi desconegut que representa el rendiment del motor principal (que depèn únicament de la pressió $x$).

1. a) Perquè l'aigua circuli a velocitat segura sense desgastar les membranes, els enginyers estableixen que el cabal resultant ha de ser exactament igual al monomi $\frac{12x^5}{y}$ (o expressat amb exponent: $12x^5y^{-1}$). Aplica les regles del producte, la potència i el quocient de monomis per aïllar i deduir l'expressió algebraica del monomi $M(x)$.
2. b) Indica quin és el coeficient, la part literal i el grau del monomi $M(x)$ obtingut, i comprova que en substituir-lo en l'expressió original es verifica la igualtat.
3. c) Si per una avaria se substitueix temporalment el motor per un altre el rendiment del qual ve donat pel monomi $M'(x) = 4x^2$, calcula el quocient entre el cabal original calibrat i el nou cabal per justificar en quin factor es redueix el ritme de depuració de l'aigua.

Segons dades tècniques de Red Eléctrica de España sobre energia eòlica, la potència teòrica en watts ($W$) generada per un aerogenerador s'aproxima amb el monomi $P = 0,6 \cdot S \cdot v^3$, on $S$ és l'àrea circular d'escombratge de les pales ($S \approx 3,14 \cdot R^2$, sent $R$ la longitud de cada pala) i $v$ és la velocitat del vent incident. En un parc eòlic, el disseny dels molins estableix pales de longitud $R = 2x$ metres i una velocitat mitjana de vent modelitzada com $v = 1,5x$ metres per segon.

1. a) Estima abans d'operar: Si per condicions atmosfèriques o de disseny la variable d'escala $x$ es multiplica per $2$ (es duplica), per quin factor aproximat creus intuïtivament que es multiplicarà la potència $P$: per 2, per 4, per 8 o per més de 20? Raona la teva estimació prèvia fixant-te en els exponents que afectaran la variable $x$ en cada factor de la fórmula.
2. b) Efectua algebraicament totes les operacions de potències i productes amb monomis que componen la potència:

Escriu el monomi resultant arrodonint el seu coeficient a dues xifres decimals i especifica el seu grau total.

1. c) Comprova i reflexiona: Fent servir el monomi obtingut, calcula el quocient $\frac{P(2x)}{P(x)}$ substituint algebraicament $x$ per $2x$. Compara el factor exacte resultant amb l'estimació que has fet a l'apartat a) i explica quines implicacions pràctiques té aquest resultat sobre la importància d'instal·lar els aerogeneradors en zones amb vents lleugerament més intensos.