Ejercicios: Operaciones con monomios

Calcula el resultado de la siguiente suma y resta de monomios semejantes:

$3x^2y - 5x^2y + \frac{1}{2}x^2y$

Multiplica los siguientes monomios y simplifica el resultado:

$(2ab^2) \cdot (-3a^2b) \cdot (4a)$

Realiza la división de los siguientes monomios:

$\frac{-15x^4y^3z}{5x^2y}$

Calcula la potencia del siguiente monomio:

$(-2x^3y^2)^4$

Identifica cuáles de los siguientes monomios son semejantes y reduce la expresión a un solo monomio:

$4m^3n - 2mn^3 + 5m^3n + mn^3$

Calcula el valor numérico del monomio $-3x^2y^3$ para los valores $x = 2$ e $y = -1$.

Encuentra el monomio que falta en la siguiente operación para que la igualdad sea cierta:

$7x^3 + (\dots) = -2x^3$

Determina por qué monomio hay que multiplicar $4x^2$ para obtener como resultado $-20x^5$.

Efectúa las siguientes operaciones combinadas con monomios, respetando la jerarquía de las operaciones:

$2x \cdot (3x^2)^2 - 5x^2 \cdot (x^3)$

Un terreno de forma rectangular tiene unas dimensiones dadas por monomios. Su base mide $4xy^2$ y su altura $3x^2y$. Expresa el área y el perímetro del terreno mediante expresiones algebraicas reducidas.

En física, la energía cinética de un cuerpo se calcula mediante la fórmula $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo se puede expresar como $m = 4x$ y su velocidad como $v = 3xy$, expresa su energía cinética como un monomio simplificado.

Realiza la siguiente operación combinada con monomios que incluyen coeficientes fraccionarios y simplifica el resultado:

$\left( \frac{2}{3} a^2b \right)^3 : \left( \frac{4}{9} a^4b^2 \right)$

Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El radio de su base es $r = 2x^2$ y su altura es $h = 5xy$. Sabiendo que el volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$, expresa el volumen del depósito como un monomio.

Una empresa de tecnología vende componentes electrónicos. El precio de venta de cada componente está dado por el monomio $P = 15x^2y$ euros. Si en un mes logran vender una cantidad de componentes equivalente a $Q = 4xy^3$, expresa los ingresos totales de la empresa como un monomio.

La base de un triángulo mide exactamente el triple que su altura $h$. Expresa el área de dicho triángulo como un monomio en función de la variable $h$.

Resta el monomio $5a^3b^4$ del resultado de multiplicar los monomios $-2ab^2$ y $3a^2b^2$. Expresa el resultado final simplificado.

Encuentra el monomio $M(x,y)$ que satisface la siguiente ecuación algebraica:

$\frac{(3x^2y)^2 \cdot M(x,y)}{-2xy^3} = 18x^5y^2$

El diseño de un logotipo está formado por un cuadrado exterior de lado $4x^2y$ que contiene en su interior otro cuadrado de lado $3x^2y$. Expresa el área de la región comprendida entre ambos cuadrados (la zona sombreada) como un monomio simplificado.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una plancha de cartón rectangular de dimensiones $10x$ por $8x$. Para ello, se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Demuestra que el volumen de la caja resultante es un monomio y calcúlalo.

La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos masas es $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si la masa del primer cuerpo es $m_1 = 2x^2$, la del segundo es $m_2 = 8x^3$, y la distancia que los separa es $d = 4x$, expresa la fuerza $F$ como un monomio en función de la constante $G$ y la variable $x$.

Demuestra algebraicamente que si tomas un cubo de arista $2a^2$, elevas su volumen al cuadrado y divides el resultado por el área de una de sus caras, obtienes siempre un monomio. Calcula cuál es ese monomio.

Simplifica al máximo la siguiente expresión anidada con monomios, aplicando las propiedades de las potencias y las operaciones con monomios:

$\left[ \frac{(-2x^3y^2)^3 \cdot (x^2y)^2}{(4x^5y^3)^2} \right]^2$

Una fábrica textil produce lotes de camisetas. El coste de fabricar un lote de $N = 5x^2$ camisetas es de $C = 20x^3$ euros por cada camiseta. Posteriormente, se venden todas las camisetas fabricadas a un precio de $V = 35x^3$ euros la unidad. Expresa el beneficio total obtenido por la fábrica (Ingresos menos Costes) como un monomio simplificado.

El volumen de un cono viene dado por $V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ y el de una esfera por $V_e = \frac{4}{3}\pi R^3$. Se tiene un cono cuyo radio de la base es $r = 2x$ y su altura es $h = 4x$. Por otro lado, se tiene una esfera de radio $R = x$. Calcula la razón (el cociente) entre el volumen del cono y el volumen de la esfera, demostrando que el resultado es un número entero independiente de $x$.