Ejercicios: Identidades notables

Desarrolla el cuadrado de la siguiente suma utilizando la identidad notable correspondiente: $(4x + 7)^2$.

Desarrolla el cuadrado de la siguiente diferencia aplicando la identidad notable adecuada: $(5a^2 - 2b)^2$.

Calcula el producto de la suma por la diferencia para la siguiente expresión: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.

Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto expresándolo como el cuadrado de un binomio: $x^2 + 14x + 49$.

Expresa el siguiente polinomio como el cuadrado de una diferencia: $25y^2 - 60y + 36$.

Factoriza la siguiente diferencia de cuadrados: $81z^2 - 100w^6$.

Determina el término que falta para que el siguiente polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto: $9x^2 - \dots + 64y^2$.

Aplica las identidades notables para calcular mentalmente el valor exacto de $53^2$ utilizando la expresión $(50 + 3)^2$.

Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de lado $3x + 5$ metros. En su interior, coloca una fuente también cuadrada de lado $x - 2$ metros. Obtén el polinomio ordenado y reducido que representa el área de la zona transitable de la plaza.

Desarrolla la siguiente expresión algebraica con coeficientes fraccionarios y reduce los términos: $\left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{4}y\right)^2$.

Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador mediante identidades notables: $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$.

Una empresa estima que si fija el precio de un producto en $150 + 3x$ euros, logrará vender $150 - 3x$ unidades. Determina el polinomio que modeliza los ingresos totales y calcula a cuánto ascenderán los ingresos si $x = 10$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión combinada reduciendo los términos semejantes: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.

Un terreno de cultivo tiene forma circular con un radio de $R$ metros. Se decide construir un camino perimetral exterior de anchura $x$ metros. Expresa el área del camino en función de $R$ y $x$ desarrollando la expresión mediante identidades notables.

Desarrolla el cubo de la siguiente diferencia aplicando la fórmula correspondiente: $(2x - 3)^3$.

Sabiendo que la suma de dos números es $S = x+y = 12$ y su producto es $P = xy = 35$, calcula el valor de $x^2 + y^2$ sin averiguar el valor individual de $x$ e $y$. (Pista: utiliza el desarrollo de $(x+y)^2$).

Calcula el valor o valores del parámetro $k$ para que el polinomio $49x^4 + kx^2y^3 + 144y^6$ sea un trinomio cuadrado perfecto.

Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de lado $L$ centímetros. Para construir una caja sin tapa, se recortan cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en cada esquina y se pliegan las solapas. Obtén el polinomio que expresa el área de la base de la caja y el polinomio que expresa su volumen.

Demuestra algebraicamente que la suma del cuadrado de la diferencia de dos números y cuatro veces su producto es igual al cuadrado de la suma de dichos números. Es decir, desarrolla y simplifica para probar que $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.

Factoriza completamente el polinomio $16x^4 - 81y^4$, aplicando la identidad de la suma por la diferencia tantas veces como sea posible en el conjunto de los números reales.

Simplifica la siguiente expresión algebraica, desarrollando primero los numeradores y factorizando los denominadores: $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a-b}{4}$.

Demuestra que la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$. Utiliza las expresiones $2n+1$ y $2n-1$ para representar dichos números.

Desarrolla y simplifica al máximo la siguiente expresión anidada: $\left( (x+2)^2 - (x-2)^2 \right)^2$.

Una arandela mecánica tiene forma de corona circular. Su radio exterior está dado por la expresión $R = 5x + 3$ milímetros, y su radio interior por $r = 5x - 3$ milímetros. Determina el polinomio reducido que expresa el área de la cara plana de la arandela.