Exercicis: Equació d'una recta

Donada l'equació general de la recta $r: 3x - 5y + 7 = 0$, un estudiant afirma ràpidament que el seu vector director és $\vec{v} = (3, -5)$. Identifica l'error que ha comès en extreure la informació de l'equació general i determina un vector director i un vector normal correctes per a aquesta recta.

Escriu les equacions vectorial i paramètriques de la recta que passa pel punt $A(2, -5)$ i té com a vector director $\vec{v} = (3, 4)$.

Obtén l'equació contínua de la recta que passa pel punt $P(-1, 6)$ i té la mateixa direcció que el vector $\vec{u} = (-3, 2)$.

Escriu l'equació explícita de la recta que passa pel punt $B(4, 1)$ i té pendent $m = -\frac{1}{2}$.

Expressa en forma general la recta donada per la següent equació contínua:

$\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-5}$

Comprova analíticament si els punts $C(3, 2)$ i $D(-1, 4)$ pertanyen a la recta d'equació $2x + y - 8 = 0$.

Donada la recta d'equació $3x - 4y + 12 = 0$, troba el valor del seu pendent i la seva ordenada a l'origen.

Determina les coordenades de dos punts diferents que pertanyin a la recta les equacions paramètriques de la qual són:

$x = 1 - t$

$y = 2 + 3t$

Identifica les coordenades d'un punt i les components d'un vector director de la recta donada per l'equació:

$\frac{x+4}{-3} = \frac{y-2}{7}$

L'Elena ha de calcular l'equació general de la recta que passa pel punt $A(3, -1)$ i té com a vector director $\vec{v} = (-2, 5)$. En la seva llibreta fa el desenvolupament següent:

1. Escriu la contínua: $\dfrac{x - 3}{-2} = \dfrac{y + 1}{5}$.

2. Multiplica en creu: $5 \cdot (x - 3) = -2 \cdot (y + 1) \implies 5x - 15 = -2y - 2$.

3. Passa-ho tot al primer membre: $5x + 2y - 17 = 0$.

Tot seguit, per comprovar si el punt $B(-1, 9)$ pertany a la recta, l'Elena substitueix les coordenades en el seu resultat i conclou que sí que hi pertany perquè $5 \cdot (-1) + 2 \cdot 9 - 17 = -4 \ne 0$.

1. a) Troba i explica els dos errors comesos per l'Elena (un d'algebraic en el pas 3 en transposar termes i un altre de conceptual en la interpretació final sobre el punt $B$).
2. b) Escriu l'equació general correcta i comprova analíticament si el punt $B(-1, 9)$ pertany de debò a la recta.

Dissenya raonadament una recta en forma contínua que compleixi alhora aquestes tres condicions:

1. Talla l'eix d'ordenades ($OY$) en el punt $(0, -3)$.

2. El seu vector director $\vec{v} = (v_1, v_2)$ està format per nombres enters positius i el seu pendent és menor que $1$.

3. Passa pel punt $P(6, 1)$.

1. a) Dedueix les components d'un vector director vàlid a partir dels punts donats i justifica per què compleix que el seu pendent és menor que $1$.
2. b) Escriu l'equació contínua resultant.
3. c) Justifica per què hi ha infinits vectors directors possibles per expressar aquesta mateixa recta, però només un les components del qual siguin nombres enters positius primers entre si.

Un dron de vigilància marítima es desplaça en línia recta a velocitat constant. A les 10:00 és detectat en el punt $P(2, 5)$ i a les 10:15 en el punt $Q(8, -1)$ (coordenades cartesianes en km). Troba l'equació explícita de la trajectòria que descriu el dron.

En la planificació d'un nou barri, el carrer principal segueix la recta $r: 2x - 5y + 10 = 0$. Es vol traçar un carrer secundari paral·lel al principal que passi per la plaça central situada a $A(4, -3)$. Determina l'equació general d'aquest nou carrer.

Una canonada d'aigua discorre al llarg de la recta $s: x + 3y - 6 = 0$. Cal connectar una casa situada a $C(-2, 5)$ mitjançant un conducte perpendicular a la canonada principal. Troba les equacions paramètriques del conducte.

Dos satèl·lits d'observació segueixen trajectòries rectilínies descrites per les equacions $r: 3x + y - 7 = 0$ i $s: x - 2y + 4 = 0$. Calcula les coordenades exactes del punt on les seves rutes es creuen.

El cost de producció $y$ (en centenars d'euros) de $x$ unitats d'un component electrònic segueix un model lineal. Si sabem que la recta de producció passa pel punt $(10, 15)$ i té com a vector director $\vec{v} = (2, 1)$, troba l'equació general del model i el cost fix (el valor de $y$ quan $x=0$).

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $(k-1)x + 2y - 5 = 0$ passi pel punt $P(3, -1)$.

Escriu les equacions generals de les quatre rectes que delimiten el voral d'una pista de tennis rectangular, sabent que dos dels seus costats adjacents estan sobre els eixos de coordenades i el vèrtex oposat a l'origen de coordenades es troba a $V(24, 11)$.

Calcula el valor de $a$ perquè les rectes $r: ax + 3y - 2 = 0$ i $s: 4x - 6y + 5 = 0$ siguin perpendiculars entre si.

Segons dades de l'AEMET, en condicions atmosfèriques estàndard la temperatura de l'aire disminueix de manera aproximadament lineal amb l'altitud a la troposfera. Durant una jornada de primavera a Sierra Nevada (Granada), es registren les dades següents a les 14:00:

• Estació 1 (cota $1000\text{ m}$, $x = 1\text{ km}$): $14\text{ }^{\circ}\text{C}$.

• Estació 2 (cota $3000\text{ m}$, $x = 3\text{ km}$): $2\text{ }^{\circ}\text{C}$.

1. a) Determina el vector director de la recta que relaciona l'altitud $x$ (en km) amb la temperatura $y$ (en $^{\circ}\text{C}$) i escriu la seva equació explícita $y = mx + n$.
2. b) Interpreta el significat físic del pendent $m$ i de l'ordenada a l'origen $n$ en aquest context meteorològic.
3. c) Un grup de muntanyencs corona el cim del pic Mulhacén ($3480\text{ m}$, és a dir, $x = 3,48\text{ km}$). Utilitza el teu model per estimar la temperatura al cim a aquella hora i raona si hi haurà risc de gelada (temperatura $\le 0\text{ }^{\circ}\text{C}$).

Un grup de senderistes recorre un tram recte al Parc Nacional de Picos de Europa. En el seu mapa cartogràfic (amb quadrícula en quilòmetres), el sender segueix en línia recta el trajecte que uneix el refugi $R(1, 2)$ amb el mirador $M(7, 5)$. Fora del camí, en el punt $F(4, 4)$, es troba una font natural.

1. a) Estima: Observa que la coordenada $x = 4$ de la font està exactament en el punt mitjà horitzontal entre $x = 1$ i $x = 7$. Sense calcular l'equació de la recta, estima de manera raonada si el camí passarà al nord (per sobre, $y > 4$) o al sud (per sota, $y < 4$) de la font.
2. b) Comprova: Obtén l'equació contínua i l'equació general de la recta que defineix el sender $RM$.
3. c) Calcula l'ordenada exacta $y$ del camí quan els excursionistes es troben a $x = 4$. Compara aquest valor amb la teva estimació prèvia i indica a quina distància vertical exacta de la font passaran.

Es vol construir un mur fronterer que divideixi equitativament la zona d'influència de dues antenes de telecomunicacions situades a $A(-4, 2)$ i $B(6, -2)$. El mur ha de coincidir exactament amb la mediatriu del segment $AB$. Troba l'equació general de la recta que defineix aquest mur.

Un raig de llum làser parteix del punt $P(-3, 5)$ i es reflecteix en un mirall pla situat al llarg de l'eix d'abscisses. Després del rebot, el raig reflectit passa pel punt $Q(4, 2)$.

• Troba les equacions explícites de les rectes que contenen el raig incident i el raig reflectit.

• Calcula les coordenades del punt exacte d'impacte en el mirall.

Les rectes que delimiten un parc urbà triangular són $r: x - y + 4 = 0$, $s: 2x + y - 7 = 0$ i $t: x + 2y + 1 = 0$. Calcula les coordenades dels tres vèrtexs del parc.

Troba l'equació general de la recta que passa pel punt d'intersecció de les rectes $r: 2x - y + 3 = 0$ i $s: x + 4y - 12 = 0$, i que a més forma un angle de $45^\circ$ amb la part positiva de l'eix $X$.

Un panell solar amb forma triangular té els vèrtexs situats a les coordenades $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ i $C(2, 6)$. Calcula les equacions generals de les tres altures del triangle i verifica analíticament que es tallen en un únic punt (l'ortocentre).

Determina l'àrea de la regió triangular delimitada pels eixos de coordenades i la recta que passa pel punt $M(3, 4)$ i és perpendicular al vector $\vec{n} = (2, 5)$.

Discuteix la posició relativa de les rectes $r: mx + 2y - 4 = 0$ i $s: 3x + (m-1)y - 6 = 0$ en funció dels possibles valors del paràmetre $m$.

En una partida de billar, es llança una bola des del punt $A(2, 1)$ cap a la banda superior de la taula, la qual està situada sobre la recta $y = 5$. Després de rebotar a la banda, la bola segueix una trajectòria rectilínia i colpeja una altra bola situada en el punt $B(8, 3)$. Calcula les coordenades del punt exacte de la banda on va rebotar la bola, sabent que en un xoc elàstic l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió.

El centre de Salvament Marítim de Tarifa monitora una pastera a la deriva a l'estret de Gibraltar. La seva posició inicial a les 08:00 és $P(3, 8)$ i els corrents la desplacen en línia recta. Les seves coordenades cartesianes (en milles nàutiques) evolucionen segons el paràmetre de temps $t$ (en hores) mitjançant les equacions paramètriques:

Per la seva banda, una patrullera de rescat vigila al llarg d'una línia fixa la trajectòria de la qual ve donada per l'equació general $3x + 2y - 37 = 0$.

Per esbrinar si les seves trajectòries es creuen i en quin moment, es proposen dos camins:

• Mètode 1: Transformar les paramètriques de la deriva a la seva equació general i resoldre un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ i $y$).

• Mètode 2: Substituir directament les expressions paramètriques $x(t)$ i $y(t)$ en l'equació general de la patrullera i aïllar el temps $t$.

1. a) Justifica de manera crítica quin dels dos mètodes és més àgil i directe en aquest cas particular.
2. b) Aplica el mètode triat per calcular el valor del paràmetre $t$ i les coordenades exactes $(x, y)$ del punt de tall.
3. c) Interpreta físicament el resultat: a quina hora exacta es produeix la trobada? Què hauria significat que el valor obtingut per a $t$ hagués estat negatiu?

A la plataforma logística PLAZA de Saragossa, dos combois ferroviaris de mercaderies circulen per vies rectilínies representades sobre un mapa coordinat (en km):

• El comboi A surt de la terminal logística situada a $A(-6, -1)$ i la seva direcció segueix el vector director $\vec{v}_A = (4, 3)$.

• La via del comboi B respon a l'equació general $6x - 8y + 53 = 0$.

1. a) Analitza raonadament la posició relativa de totes dues vies (són secants, paral·leles o coincidents?). Per justificar la teva resposta, compara els seus pendents o vectors directors i comprova si comparteixen algun punt comú.
2. b) Per facilitar el manteniment, es projecta construir una via recta de servei que sigui perpendicular a la trajectòria del comboi A i que parteixi justament de la terminal $A(-6, -1)$. Troba l'equació explícita d'aquesta via de servei.
3. c) Un tercer comboi pateix una avaria i queda aturat en el punt $C(2, 5)$. Determina analíticament si es troba sobre la trajectòria del comboi A. En cas afirmatiu, dedueix quantes vegades el vector director $\vec{v}_A$ s'ha hagut de traslladar des de l'origen $A$ per assolir la posició del comboi avariat.