Ejercicios: Ecuación de una recta

Dada la ecuación general de la recta $r: 3x - 5y + 7 = 0$, un estudiante afirma rápidamente que su vector director es $\vec{v} = (3, -5)$. Identifica el error que ha cometido al extraer la información de la ecuación general y determina un vector director y un vector normal correctos para esta recta.

Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(2, -5)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (3, 4)$.

Obtén la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-1, 6)$ y tiene la misma dirección que el vector $\vec{u} = (-3, 2)$.

Escribe la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto $B(4, 1)$ y tiene pendiente $m = -\frac{1}{2}$.

Expresa en forma general la recta dada por la siguiente ecuación continua:

$\frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-5}$

Comprueba analíticamente si los puntos $C(3, 2)$ y $D(-1, 4)$ pertenecen a la recta de ecuación $2x + y - 8 = 0$.

Dada la recta de ecuación $3x - 4y + 12 = 0$, halla el valor de su pendiente y su ordenada en el origen.

Determina las coordenadas de dos puntos diferentes que pertenezcan a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

$x = 1 - t$

$y = 2 + 3t$

Identifica las coordenadas de un punto y las componentes de un vector director de la recta dada por la ecuación:

$\frac{x+4}{-3} = \frac{y-2}{7}$

Un dron de vigilancia marítima se desplaza en línea recta a velocidad constante. A las 10:00 es detectado en el punto $P(2, 5)$ y a las 10:15 en el punto $Q(8, -1)$ (coordenadas cartesianas en km). Halla la ecuación explícita de la trayectoria que describe el dron.

En la planificación de un nuevo barrio, la calle principal sigue la recta $r: 2x - 5y + 10 = 0$. Se quiere trazar una calle secundaria paralela a la principal que pase por la plaza central situada en $A(4, -3)$. Determina la ecuación general de esta nueva calle.

Una tubería de agua discurre a lo largo de la recta $s: x + 3y - 6 = 0$. Es necesario conectar una casa situada en $C(-2, 5)$ mediante un conducto perpendicular a la tubería principal. Halla las ecuaciones paramétricas del conducto.

Dos satélites de observación siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: 3x + y - 7 = 0$ y $s: x - 2y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas exactas del punto donde sus rutas se cruzan.

El coste de producción $y$ (en cientos de euros) de $x$ unidades de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Si sabemos que la recta de producción pasa por el punto $(10, 15)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (2, 1)$, halla la ecuación general del modelo y el coste fijo (el valor de $y$ cuando $x=0$).

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $(k-1)x + 2y - 5 = 0$ pase por el punto $P(3, -1)$.

Escribe las ecuaciones generales de las cuatro rectas que delimitan el borde de una pista de tenis rectangular, sabiendo que dos de sus lados adyacentes están sobre los ejes de coordenadas y el vértice opuesto al origen de coordenadas se encuentra en $V(24, 11)$.

Calcula el valor de $a$ para que las rectas $r: ax + 3y - 2 = 0$ y $s: 4x - 6y + 5 = 0$ sean perpendiculares entre sí.

Se quiere construir un muro fronterizo que divida equitativamente la zona de influencia de dos antenas de telecomunicaciones situadas en $A(-4, 2)$ y $B(6, -2)$. El muro debe coincidir exactamente con la mediatriz del segmento $AB$. Halla la ecuación general de la recta que define dicho muro.

Un rayo de luz láser parte del punto $P(-3, 5)$ y se refleja en un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas. Tras el rebote, el rayo reflejado pasa por el punto $Q(4, 2)$.

• Halla las ecuaciones explícitas de las rectas que contienen al rayo incidente y al rayo reflejado.

• Calcula las coordenadas del punto exacto de impacto en el espejo.

Las rectas que delimitan un parque urbano triangular son $r: x - y + 4 = 0$, $s: 2x + y - 7 = 0$ y $t: x + 2y + 1 = 0$. Calcula las coordenadas de los tres vértices del parque.

Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas $r: 2x - y + 3 = 0$ y $s: x + 4y - 12 = 0$, y que además forma un ángulo de $45^\circ$ con la parte positiva del eje $X$.

Un panel solar con forma triangular tiene sus vértices situados en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(2, 6)$. Calcula las ecuaciones generales de las tres alturas del triángulo y verifica analíticamente que se cortan en un único punto (el ortocentro).

Determina el área de la región triangular delimitada por los ejes de coordenadas y la recta que pasa por el punto $M(3, 4)$ y es perpendicular al vector $\vec{n} = (2, 5)$.

Discute la posición relativa de las rectas $r: mx + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x + (m-1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.

En una partida de billar, se lanza una bola desde el punto $A(2, 1)$ hacia la banda superior de la mesa, la cual está situada sobre la recta $y = 5$. Tras rebotar en la banda, la bola sigue una trayectoria rectilínea y golpea a otra bola situada en el punto $B(8, 3)$. Calcula las coordenadas del punto exacto de la banda donde rebotó la bola, sabiendo que en un choque elástico el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.