Exercicis: Domini, recorregut i imatge d'una funció

Un alumne afirma que el domini de la funció racional $f(x) = \frac{3x}{x^2+9}$ és $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$. Explica quin és l'error en el seu raonament en avaluar el denominador i escriu el domini correcte de la funció.

En un examen, un alumne indica que el domini de la funció radical $g(x) = \sqrt{12 - 3x}$ és l'interval $[4, +\infty)$. Demostra matemàticament per què aquest resultat és un error comú en resoldre inequacions i calcula el domini correcte.

Determina el domini de definició de la funció polinòmica següent:

$f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$

Troba el domini de la funció racional següent:

$f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$

Calcula el domini de definició de la funció amb radical:

$f(x) = \sqrt{3x + 12}$

A partir de la representació gràfica següent de la funció $f(x)$, determina el seu domini i el seu recorregut.

Troba el domini de la funció racional següent amb denominador de segon grau:

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

Determina el domini de la funció logarítmica següent:

$f(x) = \log_2(5 - x)$

Un aparcament cobra $2$ € per cada hora o fracció d'hora que un vehicle roman estacionat, amb un límit màxim de $12$ hores al dia. Escriu la funció que relaciona el temps d'estacionament $x$ (en hores) amb l'import a pagar $f(x)$, i determina el seu domini i el seu recorregut en el context d'aquest problema.

Calcula el domini de la funció següent que conté un radical d'índex senar:

$f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$

El servei públic de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat (com BiciMAD a Madrid) aplica als usuaris ocasionals una tarifa composta per $0,50$ € fixos de desbloqueig més $0,15$ € per cada minut de trajecte. Per normativa de seguretat viària i ordenança municipal, el temps màxim autoritzat per a un únic trajecte ininterromput és de 2 hores ($120$ minuts). La funció que descriu el cost final en euros en funció dels minuts utilitzats és $C(t) = 0,50 + 0,15 \cdot t$.

1. a) Si consideres únicament la fórmula algebraica sense tenir en compte la situació real, quin és el seu domini matemàtic i per què?
2. b) Tenint en compte les restriccions normatives del servei, determina el domini real i el recorregut (o imatge) de la funció, expressant ambdós conjunts com a intervals.
3. c) Un usuari afirma que a l'aplicació li han cobrat $22$ € per un sol trajecte continu dins de la norma. Raona, recolzant-te en el concepte de recorregut, per què aquesta factura no és possible.

En resoldre una tasca sobre el domini de la funció racional $f(x) = \frac{x + 5}{x - 3}$, l'Alejandro escriu al seu quadern el següent:

«Perquè la funció es pugui calcular, el numerador no pot donar zero, així que $x + 5 \ne 0$, d'on $x \ne -5$. A més, la variable $x$ mai pot ser un nombre negatiu, per la qual cosa el domini és l'interval $[0, +\infty) \setminus \{5\}$».

1. a) Assenyala els dos errors de raonament conceptual que ha comès l'Alejandro en la seva justificació.
2. b) Explica per què en una funció matemàtica el numerador d'una fracció sí que pot anul·lar-se i quin valor numèric pren exactament $f(-5)$.
3. c) Corregeix l'exercici determinant el domini correcte de $f(x)$ i expressa'l de dues maneres diferents: com a exclusió de valors sobre $\mathbb{R}$ i mitjançant unió d'intervals.

Determina el domini de la funció següent amb un radical quadràtic:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Troba el domini de definició de la funció que combina una fracció i una arrel:

$f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$

Observa la gràfica de la funció a trossos $g(x)$. Determina el seu domini i el seu recorregut, prestant especial atenció a l'asimptota vertical i als punts on els intervals són oberts o tancats.

Amb un fil de ferro de $40$ cm de longitud es vol construir un rectangle. Si anomenem $x$ la longitud de la base del rectangle, determina l'expressió de la funció àrea $A(x)$ i troba el seu domini de definició tenint en compte les limitacions geomètriques del problema.

Es llança un petit coet de joguina verticalment cap amunt des del terra. L'altura $h$ (en metres) que assoleix en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = 20t - 5t^2$. Determina el domini i el recorregut d'aquesta funció sabent que el moviment acaba quan el coet impacta de nou contra el terra.

Calcula el domini de la funció logarítmica següent amb argument quadràtic:

$f(x) = \ln(9 - x^2)$

Determina el domini de la funció que inclou una arrel al numerador i un polinomi al denominador:

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$

Una empresa que fabrica components electrònics ha determinat que els ingressos diaris per vendre $x$ components vénen donats per $I(x) = 150x - x^2$, i els costos totals de producció per $C(x) = 2000 + 10x$. Sabent que la fàbrica té una capacitat màxima de producció de $100$ components al dia, determina la funció benefici $B(x)$ i el seu domini vàlid en aquest context econòmic.

En una estació de l'AEMET ubicada al Parc Nacional de Sierra Nevada, a $2500$ m d'altitud, la temperatura exterior $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) registrada durant una jornada de primavera s'ajusta al model $T(t) = -0,2 \cdot (t - 14)^2 + 8$, on $t$ representa l'hora del dia mesurada de manera contínua des de la mitjanit ($t \in [0, 24]$).

1. a) Abans de fer càlculs numèrics, estima de manera raonada a quina hora del dia esperaries registrar la temperatura més alta i si consideres probable que a la matinada la temperatura baixi de $0\,^{\circ}\text{C}$.
2. b) Mitjançant l'anàlisi algebraica de l'expressió (o calculant el vèrtex de la paràbola), troba la temperatura màxima assolida i avalua les temperatures previstes a les $00:00$ ($t = 0$) i a les $24:00$ ($t = 24$).
3. c) Determina amb precisió el recorregut (o conjunt imatge) de la funció per a aquell dia complet i comprova si la teva estimació inicial era coherent amb els límits obtinguts.

Imagina que estàs programant els paràmetres de seguretat en una pantalla de control per a un hivernacle industrial:

1. a) Escriu la fórmula algebraica d'una funció racional $f(x) = \frac{1}{Q(x)}$ el domini de definició de la qual sigui exactament $\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$. Explica pas a pas com construeixes el denominador $Q(x)$ per obligar que la funció falli únicament en aquests dos valors.
2. b) Dissenya l'expressió d'una funció amb radical quadràtic $g(x) = \sqrt{P(x)}$ el domini d'existència de la qual comenci a $6$ i s'estengui a valors més grans, és a dir, $[6, +\infty)$. Justifica la teva elecció resolent la inequació corresponent.
3. c) Seria possible inventar una funció polinòmica el domini de la qual fos exactament l'interval $[6, +\infty)$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats del domini dels polinomis.

Determina el domini de la funció següent, que requereix resoldre una inequació racional dins d'una arrel quadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Troba analíticament el recorregut de la funció quadràtica següent (recorda calcular les coordenades del seu vèrtex):

$f(x) = -3x^2 + 12x - 5$

Calcula els valors que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè el domini de la funció següent sigui tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$:

$f(x) = \frac{2x - 7}{x^2 + kx + 16}$

A partir d'una làmina rectangular de cartró de $40 \text{ cm} \times 25 \text{ cm}$ es vol construir una caixa sense tapa. Per a fer-ho, es retalla un quadrat de costat $x$ en cadascuna de les quatre cantonades i es dobleguen les vores cap amunt. Determina l'expressió de la funció volum $V(x)$ de la caixa i troba el seu domini de definició vàlid.

Donades les funcions $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x^2 - 5x + 4$, troba l'expressió analítica de la funció composta $(f \circ g)(x)$ i determina rigorosament el seu domini.

Analitza la gràfica següent de la funció $h(x)$. Determina el seu domini, el seu recorregut i els punts on la funció no està definida o presenta alguna discontinuïtat, indicant de quin tipus es tracta.

Determina el domini de la funció logarítmica següent l'argument de la qual és una expressió racional:

$f(x) = \log_2\left(\frac{x^2 - 4}{x}\right)$

Calcula el domini de la funció racional següent que inclou un valor absolut al seu denominador:

$f(x) = \frac{3x + 1}{|x - 3| - 5}$

El Ministeri per a la Transició Ecològica i el Repte Demogràfic (MITECO) registra les reserves hídriques d'un embassament del sud peninsular durant un període d'estiatge de $90$ dies. Els tècnics estimen que el volum embassat $V(t)$, expressat en hectòmetres cúbics ($\text{hm}^3$), segueix el model amb radical $V(t) = \sqrt{3600 - 40 \cdot t}$, on $t$ representa el nombre de dies transcorreguts des de l'inici de l'estiu ($t = 0$).

1. a) Determina el domini purament algebric de la funció $V(t)$ resolent la inequació que imposa l'arrel d'índex parell.
2. b) Explica el significat físic del valor de $t$ que anul·la el radicand ($V(t) = 0$). Tindria sentit pràctic ampliar el domini més enllà d'aquest punt? Defineix quin ha de ser el domini contextualitzat del model per al seguiment durant els $90$ dies de la campanya estival.
3. c) Troba el recorregut de la funció en l'interval temporal de $90$ dies ($t \in [0, 90]$) i interpreta quina informació aporten els valors extrems del recorregut als gestors de la conca hidrogràfica.

Per calcular el domini de la funció $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}$, dos estudiants plantegen camins diferents:

• Estratègia 1 (Marcos): Aplica les regles per separat. Primer resol $10 - 2x \ge 0$ per ser una arrel quadrada, després busca quan s'anul·la el denominador resolent $\sqrt{10 - 2x} = 0$, i finalment exclou aquesta solució del conjunt anterior.

• Estratègia 2 (Sara): Agrupa totes dues condicions en una sola inequació. Argumenta que, com que el radical és al denominador, el radicand no pot ser ni negatiu ni zero, per la qual cosa planteja directament $10 - 2x > 0$.

1. a) Desenvolupa de manera detallada tots dos mètodes i verifica si amb tots dos s'obté un domini idèntic.
2. b) Avalua les dues estratègies: quina consideres més directa i amb menor risc d'error en l'ús de parèntesis o claudàtors en escriure els intervals? Justifica la teva elecció.
3. c) Si la funció fos $g(x) = \frac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 3}$, reflexiona i raona si l'estratègia simplificada de la Sara continuaria servint en un sol pas o si seria obligatori recórrer al mètode d'anàlisi per parts d'en Marcos.