Exercicis: Distribucions marginals

Donada la taula de doble entrada següent per a les variables $X$ i $Y$:

$X \setminus Y$	3	4
1	2	5
2	4	1

Escriu la taula de la distribució marginal de la variable $X$.

S'ha estudiat la relació entre dues variables estadístiques $X$ i $Y$, i s'ha obtingut la taula de freqüències conjuntes següent:

$X \setminus Y$	10	20
0	3	2
1	1	6
2	4	0

Determina la distribució marginal de la variable $Y$ i calcula la mida total de la població $N$.

La distribució marginal d'una variable bidimensional per al seu component $X$ ve donada per la taula següent:

$x_i$	2	4	6
$n_i$	3	5	2

Calcula la mitjana marginal $\bar{x}$.

S'han recollit els parells de valors $(x_i, y_i)$ següents en observar 5 individus:

$(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$

A partir d'aquestes dades, construeix la taula de la distribució marginal de la variable $Y$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En la taula de doble entrada següent falten els totals marginals (les sumes de les files i de les columnes).

$X \setminus Y$	1	2	3	Total $X$
5	2	0	4	?
6	1	3	1	?
Total $Y$	?	?	?	$N = ?$

Copia la taula i completa els valors marginals que falten.

La distribució marginal de la variable $Y$ en un estudi estadístic és la següent:

$y_j$	0	1	2
$n_j$	4	4	2

Sabent que la seva mitjana marginal és $\bar{y} = 0,8$, calcula la variància marginal $\sigma_Y^2$.

Observa la taula de freqüències conjuntes següent:

$X \setminus Y$	100	200	300
1	5	8	2
2	3	1	7

Identifica el valor de la freqüència marginal $n_{2 \bullet}$ (el total d'individus amb $X=2$) i el valor de la freqüència marginal $n_{\bullet 3}$ (el total d'individus amb $Y=300$).

En un grup de 10 amics, s'ha preguntat pel nombre de germans ($X$) i el nombre de mascotes ($Y$). Els resultats $(X, Y)$ són:

$(1, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 0), (3, 0), (1, 1), (0, 1), (2, 0)$

Escriu la taula de la distribució marginal del nombre de mascotes ($Y$).

En una enquesta sobre mobilitat urbana del Consorci de Transports, es pregunta a 50 usuaris d'autobús pel nombre de transbordaments que fan en el seu trajecte habitual ($X$) i el temps mitjà d'espera en minuts ($Y$). Els resultats es presenten en la taula de doble entrada següent:

$X \setminus Y$	5	10	15
0	14	6	0
1	5	15	4
2	1	2	3

1. a) Construeix la taula de la distribució marginal de la variable $X$ (nombre de transbordaments), indicant els valors $x_i$ i les seves respectives freqüències marginals $f_{i\bullet}$.
2. b) Calcula la mitjana marginal $\bar{x}$.
3. c) Interpreta què descriu el valor de $\bar{x}$ en el context dels desplaçaments habituals d'aquests ciutadans.

Un grup d'estudiants de 4t d'ESO recull dades sobre el nombre de germans ($X$) i les hores setmanals dedicades als videojocs ($Y$) en una mostra de 30 companys d'institut:

$X \setminus Y$	2	5	8
0	5	4	3
1	4	6	2
2	2	3	1

En Marcos vol calcular la mitjana marginal del nombre de germans ($\bar{x}$) i escriu al seu quadern:

«Els valors possibles de la variable $X$ són 0, 1 i 2 germans. Per tant, la mitjana és $\bar{x} = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ germà».

1. a) Explica amb claredat quin és l'error de concepte que ha comès en Marcos i per què el seu mètode donaria sempre el mateix resultat independentment del nombre real d'alumnes que tinguin 0, 1 o 2 germans.
2. b) Corregeix el procediment: obtén la distribució marginal de $X$ amb les seves freqüències corresponents i calcula el valor real de la mitjana marginal $\bar{x}$.

Un biòleg estudia una espècie d'amfibi i en registra la massa $X$ (en kg) i la longitud $Y$ (en cm). Els resultats s'agrupen en la taula de doble entrada següent:

$X \setminus Y$	15	20	25
0,5	4	2	0
1,0	1	5	3
1,5	0	2	3

Calcula les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$ de totes dues variables.

En un estudi de mercat sobre el preu d'un producte $X$ (agrupat en intervals d'euros) i el nombre de vendes diàries $Y$, s'obté:

$X \setminus Y$	10	20	30
$[10, 20)$	5	12	3
$[20, 30)$	8	15	7
$[30, 40)$	2	6	12

Obtén la distribució marginal de $X$ utilitzant les marques de classe i calcula la seva mitjana marginal.

En un equip de bàsquet s'analitza el nombre de faltes comeses ($X$) i els punts anotats ($Y$) per partit. La taula conjunta té una freqüència desconeguda $f$:

$X \setminus Y$	5	10	15
1	2	$f$	1
2	3	4	2

Sabent que la mitjana marginal dels punts anotats és $\bar{y} = 9{,}5$, troba el valor de la freqüència desconeguda $f$.

S'analitza la durada de la bateria $X$ (en hores) i la mida de la pantalla $Y$ (en polzades) de diversos models de tauletes:

$X \setminus Y$	7	8	10
6	2	5	1
8	4	8	3
10	1	4	6
12	0	2	4

Construeix la distribució marginal de la durada de la bateria ($X$) i calcula la seva desviació típica marginal.

S'ha registrat el nombre d'hores d'estudi setmanals ($X$) i la qualificació obtinguda en un examen ($Y$) per a 10 estudiants:

$(5, 6), (7, 8), (4, 5), (8, 9), (5, 5), (6, 7), (7, 7), (9, 10), (4, 6), (6, 8)$

Construeix la taula de doble entrada de freqüències absolutes. A partir d'aquesta taula, obtén la distribució marginal de les qualificacions ($Y$) i determina quin percentatge d'alumnes va obtenir una qualificació marginal superior a 6.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un assaig clínic es relaciona la dosi d'un medicament $X$ (en mg) amb els dies de recuperació $Y$:

$X \setminus Y$	3	5	7
100	6	4	0
200	2	8	2
300	0	3	5

Calcula el coeficient de variació marginal de la variable $Y$ per analitzar la seva dispersió relativa.

Es registren la temperatura mitjana $X$ (en °C) i els dies de pluja mensuals $Y$ en diverses ciutats:

$X \setminus Y$	2	4	6
15	3	5	2
20	4	7	3
25	1	4	6

Extreu les distribucions marginals de $X$ i $Y$. Comprova numèricament que la suma de les freqüències marginals de $X$ coincideix amb la suma de les freqüències marginals de $Y$, i que totes dues equivalen a la mida total de la mostra $N$.

S'estudia la quantitat de fertilitzant $X$ (en kg/ha) i el rendiment de la collita $Y$ (en tones/ha) en diferents parcel·les:

$X \setminus Y$	2	3	4
50	5	2	1
100	3	6	2
150	0	4	7

Calcula la variància marginal de $X$ i la variància marginal de $Y$. Quina de les dues variables presenta una dispersió absoluta més gran?

Una estació meteorològica d'AEMET en una zona muntanyosa registra durant 40 jornades d'hivern la temperatura mínima en ºC ($X$) i els centímetres de neu acumulada ($Y$):

$X \setminus Y$	0	5	10
-2	1	6	8
0	5	12	3
2	4	1	0

1. a) Estima: Sense calcular encara la mitjana marginal de la temperatura ($\bar{x}$), observa les freqüències marginals de les files ($f_{i\bullet}$) i raona si esperes que $\bar{x}$ sigui un nombre positiu, negatiu o exactament zero. Justifica la teva predicció analitzant en quin valor de $X$ es concentra més pes de la mostra.
2. b) Comprova: Construeix la taula de la distribució marginal de $X$ i calcula amb exactitud la mitjana $\bar{x}$ i la variància marginal $\sigma_x^2$.
3. c) Valora: Confirmen els teus càlculs exactes l'estimació realitzada a l'apartat a)? Explica si el resultat numèric obtingut té sentit climàtic per a un mes hivernal en alta muntanya.

Una empresa de paqueteria urgent analitza una flota de $N = 20$ furgonetes segons dues variables: el nombre de districtes assignats ($X$, que només pren els valors 10 o 20 districtes) i el torn de repartiment ($Y$, on 1 representa el torn de matí i 2 el de tarda).

S'han extraviat les dades individuals de la taula conjunta, però es coneixen dues condicions marginals:

1) La mitjana marginal del nombre de districtes assignats és $\bar{x} = 14$.

2) El nombre total de furgonetes assignades al torn de matí ($Y = 1$) és exactament el triple de les assignades al torn de tarda ($Y = 2$).

1. a) Planteja les equacions necessàries per deduir les freqüències marginals de $X$ ($f_{1\bullet}$ i $f_{2\bullet}$) i les freqüències marginals de $Y$ ($f_{\bullet 1}$ i $f_{\bullet 2}$).
2. b) Dissenya una taula de doble entrada de mida $2 \times 2$ amb freqüències conjuntes interiors no nul·les que compleixi de manera exacta totes les freqüències marginals que has calculat.

En una fàbrica s'analitza el nombre de defectes $X$ i el temps de revisió $Y$ (en minuts) d'un lot de peces. La taula de freqüències conjuntes conté dos paràmetres $a$ i $b$:

$X \setminus Y$	2	4	6
0	10	5	2
1	4	$a$	3
2	1	2	$b$

Es sap que la mida total de la mostra és $N = 40$ i que la mitjana marginal del nombre de defectes és $\bar{x} = 0,8$. Determina els valors de les freqüències $a$ i $b$.

En un experiment termodinàmic es mesura la pressió $X$ (en atm) i el volum $Y$ (en litres), i s'agrupen les dades en intervals:

$X \setminus Y$	$[1, 3)$	$[3, 5)$	$[5, 7)$
$[10, 20)$	12	8	0
$[20, 30)$	5	15	6
$[30, 40)$	0	4	10

Extreu les distribucions marginals utilitzant les marques de classe. Calcula les seves desviacions típiques marginals i determina quina variable té una dispersió relativa més gran mitjançant el càlcul del coeficient de variació marginal.

Un estudi relaciona el nivell d'ingressos $X$ (en milers d'euros) i l'índex de satisfacció $Y$ (del 1 al 3). En lloc de freqüències absolutes, es proporcionen les freqüències relatives conjuntes $h_{ij}$:

$X \setminus Y$	1	2	3
15	0,10	0,15	0,05
25	0,05	0,25	0,10
35	0,00	0,10	0,20

Calcula les distribucions marginals relatives i, a partir d'aquestes, obtén les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$.

S'avalua la resistència a la tracció $X$ (en MPa) i el percentatge de carboni $Y$ en aliatges d'acer. La taula està incompleta, però es coneixen els totals marginals:

$X \setminus Y$	0,2	0,4	0,6	Total $X$
400	8	?	2	15
500	?	13	?	25
600	1	?	5	10
Total $Y$	12	22	16	$N=50$

Reconstrueix la taula de doble entrada completa. A continuació, calcula la variància marginal de $Y$.

El gràfic de bombolles següent representa la distribució bidimensional del Nivell de Risc ($X$) i el Retorn esperat ($Y$) d'un conjunt de carteres d'inversió. El número de dins de cada bombolla indica la freqüència conjunta.

A partir del gràfic, extreu les distribucions marginals de totes dues variables i calcula la mitjana marginal del Retorn ($\bar{y}$).

S'analitza l'edat $X$ (en intervals) i el nombre de fills $Y$ d'un grup de famílies:

$X \setminus Y$	0	1	2	3
$[20, 30)$	15	10	2	0
$[30, 40)$	8	18	12	4
$[40, 50)$	3	7	15	6

Calcula la mitjana i la variància marginal de l'Edat ($X$) fent servir les marques de classe. Si per un error de registre s'ha d'aplicar un factor de correcció sumant 2 anys a cada marca de classe, quines seran la nova mitjana i la nova variància marginals de $X$ sense necessitat de recalcular tota la taula? Raona la teva resposta basant-te en les propietats de la mitjana i la variància.

Una botiga registra el preu base $X$ (en euros) i el nombre d'unitats venudes $Y$ de diferents articles. La distribució marginal dels preus base $X$ obtinguda de la taula bidimensional és:

$x_i$	10	20	30	40
$n_i$	25	40	20	15

Sabent que el preu final de venda al públic ($X'$) es calcula aplicant un impost fix de 5 euros més un increment del 20% sobre el preu base (és a dir, $X' = 1,20X + 5$), calcula la mitjana i la desviació típica marginal dels preus finals $X'$ sense haver de transformar cadascun dels valors individualment.

Un ecòleg mesura la quantitat de llum solar $X$ i el creixement d'una planta $Y$. Les dades es resumeixen en la taula següent:

$X \setminus Y$	10	20
5	2	3
8	4	1

Demostra numèricament que el càlcul de la mitjana marginal de $X$ utilitzant la fórmula completa bidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ dona exactament el mateix resultat que si primer s'extreu la distribució marginal de $X$ i s'aplica la fórmula unidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Mostra el desenvolupament pas a pas de tots dos mètodes.

En una factoria de components mecànics es controla la longitud en centímetres ($X$) d'una peça i la seva resistència al desgast ($Y$). A partir de la distribució marginal de $X$, el departament de qualitat ja ha obtingut que la mitjana és $\bar{x} = 12\text{ cm}$ i la seva desviació típica és $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (per la qual cosa la seva variància és $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Per adaptar els plànols a una normativa internacional, s'exigeix expressar la longitud en mil·límetres i afegir un marge fix d'acoblament de 5 mm, aplicant la transformació lineal $X' = 10 \cdot X + 5$.

Per trobar la nova mitjana marginal $\bar{x}'$ i la nova variància marginal $\sigma_{x'}^2$, es proposen dos mètodes:

• Mètode 1: Transformar cada valor individual original $x_i$ calculant $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refer tota la taula de freqüències marginals i aplicar des de l'inici les fórmules generals amb sumatoris.

• Mètode 2: Emprar directament les propietats algebraiques dels canvis d'origen i escala sobre els paràmetres ja coneguts: $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ i $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Aplica el Mètode 2 per calcular numèricament $\bar{x}'$ i $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Compara ambdós mètodes i justifica quin és més eficient quan es treballa amb bases de dades reals de milers de registres. Arriben els dos camins exactament al mateix resultat?
3. c) Explica detalladament per què el sumand $+5$ modifica el valor de la mitjana, però no produeix cap canvi en el càlcul de la variància marginal.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) estudia en una mostra de 100 explotacions agrícoles la superfície de conreu en hectàrees ($X$) i el volum anual d'aigua de reg emprat en milers de metres cúbics ($Y$):

$X \setminus Y$	4	8	12
2	30	10	0
5	10	25	5
10	0	5	15

1. a) Obtén per separat les distribucions marginals de $X$ i de $Y$, i calcula per a cadascuna d'elles la mitjana i la variància marginal: $\bar{x}$, $\sigma_x^2$, $\bar{y}$ i $\sigma_y^2$.
2. b) Un informe tècnic preliminar conclou: «Com que la variància de l'aigua de reg ($\sigma_y^2$) és numèricament superior a la variància de la superfície ($\sigma_x^2$), les explotacions són més heterogènies i disperses en el consum hídric que en la seva mida de terreny». Justifica raonadament per què aquesta comparació directa entre variàncies no és estadísticament vàlida.
3. c) Calcula el coeficient de variació de cada variable ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$) i determina, basant-te en aquest indicador adimensional, quina de les dues variables presenta en realitat més dispersió relativa.