Ejercicios: Distribuciones marginales

Dada la siguiente tabla de doble entrada para las variables $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	3	4
1	2	5
2	4	1

Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $X$.

Se ha estudiado la relación entre dos variables estadísticas $X$ e $Y$, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:

$X \setminus Y$	10	20
0	3	2
1	1	6
2	4	0

Determina la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula el tamaño total de la población $N$.

La distribución marginal de una variable bidimensional para su componente $X$ viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	2	4	6
$n_i$	3	5	2

Calcula la media marginal $\bar{x}$.

Se han recogido los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$ al observar a 5 individuos:

$(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$

A partir de estos datos, construye la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$.

En la siguiente tabla de doble entrada faltan los totales marginales (las sumas de las filas y de las columnas).

$X \setminus Y$	1	2	3	Total $X$
5	2	0	4	?
6	1	3	1	?
Total $Y$	?	?	?	$N = ?$

Copia la tabla y completa los valores marginales que faltan.

La distribución marginal de la variable $Y$ en un estudio estadístico es la siguiente:

$y_j$	0	1	2
$n_j$	4	4	2

Sabiendo que su media marginal es $\bar{y} = 0,8$, calcula la varianza marginal $\sigma_Y^2$.

Observa la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:

$X \setminus Y$	100	200	300
1	5	8	2
2	3	1	7

Identifica el valor de la frecuencia marginal $n_{2 \bullet}$ (el total de individuos con $X=2$) y el valor de la frecuencia marginal $n_{\bullet 3}$ (el total de individuos con $Y=300$).

En un grupo de 10 amigos, se ha preguntado por el número de hermanos ($X$) y el número de mascotas ($Y$). Los resultados $(X, Y)$ son:

$(1, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 0), (3, 0), (1, 1), (0, 1), (2, 0)$

Escribe la tabla de la distribución marginal del número de mascotas ($Y$).

Un biólogo estudia una especie de anfibio, registrando su masa $X$ (en kg) y su longitud $Y$ (en cm). Los resultados se agrupan en la siguiente tabla de doble entrada:

$X \setminus Y$	15	20	25
0,5	4	2	0
1,0	1	5	3
1,5	0	2	3

Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$ de ambas variables.

En un estudio de mercado sobre el precio de un producto $X$ (agrupado en intervalos de euros) y el número de ventas diarias $Y$, se obtiene:

$X \setminus Y$	10	20	30
$[10, 20)$	5	12	3
$[20, 30)$	8	15	7
$[30, 40)$	2	6	12

Obtén la distribución marginal de $X$ utilizando las marcas de clase y calcula su media marginal.

En un equipo de baloncesto se analiza el número de faltas cometidas ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por partido. La tabla conjunta tiene una frecuencia desconocida $f$:

$X \setminus Y$	5	10	15
1	2	$f$	1
2	3	4	2

Sabiendo que la media marginal de los puntos anotados es $\bar{y} = 10$, encuentra el valor de la frecuencia desconocida $f$.

Se analiza la duración de la batería $X$ (en horas) y el tamaño de la pantalla $Y$ (en pulgadas) de varios modelos de tabletas:

$X \setminus Y$	7	8	10
6	2	5	1
8	4	8	3
10	1	4	6
12	0	2	4

Construye la distribución marginal de la duración de la batería ($X$) y calcula su desviación típica marginal.

Se ha registrado el número de horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para 10 estudiantes:

$(5, 6), (7, 8), (4, 5), (8, 9), (5, 5), (6, 7), (7, 7), (9, 10), (4, 6), (6, 8)$

Construye la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas. A partir de ella, obtén la distribución marginal de las calificaciones ($Y$) y determina qué porcentaje de alumnos obtuvo una calificación marginal superior a 6.

En un ensayo clínico se relaciona la dosis de un medicamento $X$ (en mg) con los días de recuperación $Y$:

$X \setminus Y$	3	5	7
100	6	4	0
200	2	8	2
300	0	3	5

Calcula el coeficiente de variación marginal de la variable $Y$ para analizar su dispersión relativa.

Se registran la temperatura media $X$ (en °C) y los días de lluvia mensuales $Y$ en varias ciudades:

$X \setminus Y$	2	4	6
15	3	5	2
20	4	7	3
25	1	4	6

Extrae las distribuciones marginales de $X$ e $Y$. Comprueba numéricamente que la suma de las frecuencias marginales de $X$ coincide con la suma de las frecuencias marginales de $Y$, y que ambas equivalen al tamaño total de la muestra $N$.

Se estudia la cantidad de fertilizante $X$ (en kg/ha) y el rendimiento de la cosecha $Y$ (en toneladas/ha) en diferentes parcelas:

$X \setminus Y$	2	3	4
50	5	2	1
100	3	6	2
150	0	4	7

Calcula la varianza marginal de $X$ y la varianza marginal de $Y$. ¿Cuál de las dos variables presenta mayor dispersión absoluta?

En una fábrica se analiza el número de defectos $X$ y el tiempo de revisión $Y$ (en minutos) de un lote de piezas. La tabla de frecuencias conjuntas contiene dos parámetros $a$ y $b$:

$X \setminus Y$	2	4	6
0	10	5	2
1	4	$a$	3
2	1	2	$b$

Se sabe que el tamaño total de la muestra es $N = 40$ y que la media marginal del número de defectos es $\bar{x} = 0,8$. Determina los valores de las frecuencias $a$ y $b$.

En un experimento termodinámico se mide la presión $X$ (en atm) y el volumen $Y$ (en litros), agrupando los datos en intervalos:

$X \setminus Y$	$[1, 3)$	$[3, 5)$	$[5, 7)$
$[10, 20)$	12	8	0
$[20, 30)$	5	15	6
$[30, 40)$	0	4	10

Extrae las distribuciones marginales utilizando las marcas de clase. Calcula sus desviaciones típicas marginales y determina qué variable tiene mayor dispersión relativa mediante el cálculo del coeficiente de variación marginal.

Un estudio relaciona el nivel de ingresos $X$ (en miles de euros) y el índice de satisfacción $Y$ (del 1 al 3). En lugar de frecuencias absolutas, se proporcionan las frecuencias relativas conjuntas $h_{ij}$:

$X \setminus Y$	1	2	3
15	0,10	0,15	0,05
25	0,05	0,25	0,10
35	0,00	0,10	0,20

Calcula las distribuciones marginales relativas y, a partir de ellas, obtén las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Se evalúa la resistencia a la tracción $X$ (en MPa) y el porcentaje de carbono $Y$ en aleaciones de acero. La tabla está incompleta, pero se conocen los totales marginales:

$X \setminus Y$	0,2	0,4	0,6	Total $X$
400	8	?	2	15
500	?	12	?	25
600	1	?	5	10
Total $Y$	12	22	16	$N=50$

Reconstruye la tabla de doble entrada completa. A continuación, calcula la varianza marginal de $Y$.

El siguiente gráfico de burbujas representa la distribución bidimensional del Nivel de Riesgo ($X$) y el Retorno esperado ($Y$) de un conjunto de carteras de inversión. El número dentro de cada burbuja indica la frecuencia conjunta.

A partir del gráfico, extrae las distribuciones marginales de ambas variables y calcula la media marginal del Retorno ($\bar{y}$).

Se analiza la edad $X$ (en intervalos) y el número de hijos $Y$ de un grupo de familias:

$X \setminus Y$	0	1	2	3
$[20, 30)$	15	10	2	0
$[30, 40)$	8	18	12	4
$[40, 50)$	3	7	15	6

Calcula la media y la varianza marginal de la Edad ($X$) usando las marcas de clase. Si por un error de registro se debe aplicar un factor de corrección sumando 2 años a cada marca de clase, ¿cuáles serán la nueva media y varianza marginales de $X$ sin necesidad de recalcular toda la tabla? Razona tu respuesta basándote en las propiedades de la media y la varianza.

Una tienda registra el precio base $X$ (en euros) y el número de unidades vendidas $Y$ de distintos artículos. La distribución marginal de los precios base $X$ obtenida de la tabla bidimensional es:

$x_i$	10	20	30	40
$n_i$	25	40	20	15

Sabiendo que el precio final de venta al público ($X'$) se calcula aplicando un impuesto fijo de 5 euros más un incremento del 20% sobre el precio base (es decir, $X' = 1,20X + 5$), calcula la media y la desviación típica marginal de los precios finales $X'$ sin tener que transformar cada uno de los valores individualmente.

Un ecólogo mide la cantidad de luz solar $X$ y el crecimiento de una planta $Y$. Los datos se resumen en la siguiente tabla:

$X \setminus Y$	10	20
5	2	3
8	4	1

Demuestra numéricamente que el cálculo de la media marginal de $X$ utilizando la fórmula completa bidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ da exactamente el mismo resultado que si primero se extrae la distribución marginal de $X$ y se aplica la fórmula unidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Muestra el desarrollo paso a paso de ambos métodos.