Exercicis: Taules de contingència

Copia i completa en el teu quadern la taula de contingència següent, que mostra la distribució d'un grup d'estudiants segons el seu sexe i si porten ulleres o no.

En una enquesta realitzada a $80$ persones sobre el seu mitjà de transport principal per anar a la feina, es van obtenir els resultats absoluts següents:

Indica quina és la freqüència absoluta conjunta de les persones que són "Menors de 30 anys" i van "Caminant", i calcula la freqüència marginal absoluta dels qui utilitzen el "Cotxe".

A partir de la taula de contingència de freqüències absolutes següent, elabora la taula corresponent de freqüències relatives globals (expressant els resultats en forma de fracció irreductible).

En un club esportiu hi ha $120$ socis. Sabem que $70$ juguen a tennis, $50$ juguen a pàdel, i dels qui juguen a tennis, $20$ són dones. Si al club hi ha un total de $45$ dones, construeix la taula de contingència de freqüències absolutes que relacioni el sexe (Home / Dona) amb l'esport practicat (Tennis / Pàdel).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la taula següent que classifica els assistents a un congrés segons la seva nacionalitat i l'idioma en què van preferir rebre la documentació:

Calcula la freqüència relativa condicionada que un assistent prefereixi la documentació en anglès, sabent que és europeu.

S'ha preguntat a $200$ clients d'una pizzeria sobre el seu tipus de massa favorit. Els resultats es recullen en la taula següent:

Escriu la distribució marginal de la variable "Tipus de massa" indicant les seves freqüències absolutes.

Donada la taula següent que relaciona la marca de telèfon mòbil i el grup d'edat dels seus propietaris, identifica la moda de la distribució conjunta i la moda de la distribució marginal de la variable "Marca".

En una acadèmia d'idiomes s'ofereixen classes de francès i alemany en horari de matí i de tarda. La taula mostra el nombre de matriculats:

Calcula quin percentatge del total d'alumnes representa els qui estudien francès a la tarda.

En una enquesta realitzada en un institut andalús sobre mobilitat sostenible i activitat física, es recullen les dades de $80$ estudiants de 4t d'ESO a la taula de contingència següent:

El professor planteja la pregunta següent: «Quina és la proporció d'estudiants que no practiquen esport sabent que disposen d'abonament transport?». En Lucas raona així: «Com que hi ha $16$ estudiants que tenen abonament i no practiquen esport sobre els $80$ estudiants del total, la proporció és $\frac{16}{80} = 0,2$ (un $20\%$ )».

1. a) Explica amb precisió l'error conceptual d'en Lucas: quin tipus de freqüència ha calculat ell i quina li havien demanat en realitat?
2. b) Corregeix el càlcul d'en Lucas assenyalant clarament quin ha de ser el total de referència (denominador) i expressa la freqüència condicionada correcta $h(\text{No practica esport} \mid \text{Té abonament})$ en forma de fracció simplificada i percentatge.

Durant una campanya de seguretat viària de la Policia Local de Sevilla sobre l'ús obligatori del casc en patinets elèctrics (vehicles de mobilitat personal), es van registrar les dades següents en un control aleatori a $200$ usuaris:

1. a) Abans de calcular cap fracció o percentatge, observa amb deteniment les dades de les dues columnes d'edat i fes una estimació visual prèvia: en quin grup d'edat intueixes que és proporcionalment més gran l'ús del casc? Justifica la teva intuïció comparant mentalment cada cel·la amb el total marginal de la seva columna.
2. b) Comprova la teva estimació calculant de manera exacta les freqüències relatives condicionades $h(\text{Porta casc} \mid \text{Menor de 25})$ i $h(\text{Porta casc} \mid \text{De 25 o més})$ expressades en percentatge.
3. c) Valora si la teva estimació inicial era encertada i redacta una conclusió breu sobre si l'ús del casc sembla dependre del grup d'edat en aquesta mostra.

En un institut de $300$ alumnes, el $60\%$ participa en activitats extraescolars. Dels alumnes que participen en aquestes activitats, el $40\%$ està apuntat a teatre. A més, es sap que el $15\%$ del total d'alumnes de l'institut no fa activitats extraescolars i tampoc no li agrada el teatre. Construeix la taula de contingència de freqüències absolutes i determina quants alumnes no fan activitats extraescolars però sí que estan apuntats a teatre.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudi mèdic analitza l'efectivitat de dos tractaments (Tractament A i Tractament B) per curar una afecció cutània. Els resultats al cap d'un mes són els següents:

Calcula el percentatge d'èxit (curats) per a cadascun dels tractaments per separat i raona, basant-te en aquests percentatges, quin dels dos tractaments sembla més efectiu.

Completa la taula de contingència següent sabent que les freqüències relatives globals d'algunes cel·les es donen en forma de fracció respecte del total $N = 150$.

En una prova de control de qualitat, un detector de metalls inspecciona $1000$ peces d'equipatge. Es sap que $40$ peces contenen objectes prohibits. El detector fa sonar l'alarma en $35$ de les peces que tenen objectes prohibits i també dóna una falsa alarma en $24$ peces que no contenen res prohibit. Elabora la taula de contingència i calcula el percentatge de peces que realment contenen objectes prohibits entre totes aquelles en què va sonar l'alarma.

Reconstrueix una taula de contingència $2 \times 2$ amb les variables $X$ i $Y$ a partir de la informació següent:

• El total d'individus és $N = 200$.

• La freqüència marginal de $X_1$ és $120$.

• La freqüència marginal de $Y_2$ és $90$.

• El $30\%$ dels individus que compleixen $X_1$ també compleixen $Y_1$.

El diagrama de Venn següent mostra la distribució de $110$ estudiants d'una escola d'idiomes segons si estudien anglès ($A$) o francès ($B$).

Tradueix la informació del diagrama a una taula de contingència on les variables siguin "Estudia anglès" (Sí/No) i "Estudia francès" (Sí/No). A continuació, calcula la proporció d'alumnes que estudien francès sabent que no estudien anglès.

En una empresa de $500$ empleats, s'estudia la relació entre el departament al qual pertanyen i el seu nivell de satisfacció laboral.

Calcula la distribució marginal de la variable "Satisfacció" en percentatges i la distribució condicionada del nivell de satisfacció dins del departament de "Producció".

Una reserva natural classifica els arbres d'una parcel·la segons la seva espècie (Pi / Roure) i el tipus de sòl en què creixen (Sec / Humit). S'han comptat $240$ arbres en total, dels quals $150$ són pins. Es sap que el $60\%$ dels roures creix en sòl humit, mentre que només $40$ pins creixen en sòl humit. Construeix la taula de contingència i determina quin percentatge del total d'arbres creix en sòl sec.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de dades versemblants de l'Enquesta d'Hàbits i Pràctiques Culturals a Espanya publicada pel Ministeri de Cultura i Esport, s'ha dut a terme un estudi amb una mostra de $250$ joves d'entre $15$ i $19$ anys per relacionar dues variables: si llegeixen llibres habitualment en el seu temps lliure (almenys un al mes) i si estan subscrits a plataformes audiovisuals de streaming (Netflix, Prime Video, etc.).

• Del total de $250$ joves, $160$ afirmen estar subscrits a plataformes de streaming.

• Entre els qui estan subscrits a plataformes de streaming, exactament $64$ afirmen llegir llibres habitualment.

• En el conjunt global de la mostra, $118$ joves afirmen llegir llibres habitualment en el seu temps lliure.

1. a) Organitza tota la informació donada en una taula de contingència completa de freqüències absolutes ($2 \times 2$), calculant prèviament els totals marginals i les cel·les que falten.
2. b) Si es tria a l'atzar una persona de les que NO estan subscrites a plataformes de streaming, quina és la proporció que sigui lectora habitual? Expressa el resultat com a fracció irreductible i com a percentatge arrondonit a les dècimes.
3. c) Compara les proporcions condicionades de lectors habituals en ambdós grups: $h(\text{Llegeix} \mid \text{Streaming})$ i $h(\text{Llegeix} \mid \text{No streaming})$. A la vista de les dades, es pot afirmar que estar subscrit a plataformes de streaming s'associa amb una proporció menor de lectors de llibres? Raona la teva resposta.

En el servei de menjador d'un centre educatiu s'analitzen les preferències de menú d'una jornada amb $200$ comensals (professorat i alumnat):

Tres estudiants discuteixen com comprovar si l'elecció del tipus de menú és independent del col·lectiu (ser docent o estudiant):

• La Irene sosté: «Com que la diferència de comensals que trien menú tradicional entre alumnat i professorat és molt gran ($112 - 28 = 84$), l'elecció depèn clarament del col·lectiu».

• La Marta proposa comparar la proporció de vegetarians dins del professorat amb la proporció de vegetarians dins de l'alumnat: $h(\text{Vegetarià} \mid \text{Professorat}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarià} \mid \text{Alumnat})$.

• En Sergio proposa comparar la proporció de vegetarians dins del professorat amb la proporció marginal total de vegetarians a tot el centre: $h(\text{Vegetarià} \mid \text{Professorat}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarià})$.

1. a) Explica per què el mètode proposat per la Irene és erroni i demostra per què les diferències absolutes no són vàlides quan els col·lectius tenen mides totals diferents.
2. b) Fes els càlculs que proposen la Marta i en Sergio. Arriben ambdós mètodes a la mateixa conclusió respecte a si les variables són independents?
3. c) A partir de la teoria de taules de contingència («la distribució condicionada coincideix amb la marginal»), justifica quin dels dos mètodes vàlids (el de la Marta o el d'en Sergio) representa de manera més directa i rigorosa la definició d'independència estadística.

Considera la taula de contingència següent on algunes freqüències absolutes depenen d'un paràmetre $x$:

Si es sap que la freqüència relativa marginal de la "Condició 1" és igual a $0,6$, planteja una equació, troba el valor de $x$ i reconstrueix la taula completa amb valors numèrics.

Es diu que dues variables estadístiques són independents si les freqüències relatives condicionades són iguals a les freqüències relatives marginals corresponents; és a dir, la proporció es manté constant en totes les files i columnes.

Donada la taula incompleta següent:

Calcula el valor exacte de $y$ perquè les dues variables ("Categoria" i "Tipus") siguin perfectament independents.

En dos hospitals diferents s'ha registrat l'èxit d'una operació quirúrgica complexa, separant els casos en "Lleus" i "Greus".

Hospital San Omar:

Hospital La Paz:

Construeix una única taula de contingència global per a cada hospital (sumant casos lleus i greus) que relacioni l'"Hospital" amb el "Resultat" (Èxit / Fracàs). Calcula el percentatge global d'èxit de cada hospital i explica per què es produeix un canvi en la percepció del millor hospital en agregar les dades.

Una fàbrica de components electrònics té dues màquines d'assemblatge. La Màquina I produeix el $60\%$ del total de components i la Màquina II el $40\%$ restant. El control de qualitat revela que el $2\%$ dels components de la Màquina I són defectuosos, mentre que la taxa de defectes a la Màquina II és del $5\%$.

Per a un lot de $2000$ components, elabora la taula de contingència que relacioni la "Màquina" (I / II) amb l'"Estat" (Defectuós / Correcte). Si es selecciona un component defectuós d'aquest lot, quina proporció dels defectuosos prové de la Màquina II?

En una taula de contingència $2 \times 2$ amb les variables $X$ i $Y$, es coneixen les relacions proporcionals següents entre les freqüències absolutes $a, b, c, d$:

Sabent que la raó entre $a$ i $c$ és $\frac{2}{3}$ i la raó entre $b$ i $d$ és $\frac{4}{1}$, planteja un sistema d'equacions per trobar els valors de $a, b, c$ i $d$.

El diagrama d'arbre següent representa les proporcions d'una població de $500$ individus classificats segons dues variables dicotòmiques $A$ i $C$.

Transforma la informació d'aquest diagrama en una taula de contingència de freqüències absolutes on les files siguin $A$ i $B$, i les columnes siguin $C$ i $D$. Calcula la freqüència relativa marginal de $C$.

Un estudi de mercat sobre $600$ consumidors classifica les seves preferències de beguda (Aigua, Refresc, Suc) i el seu rang d'edat (Jove, Adult). La taula està gairebé buida, però es coneixen les pistes següents:

1. El total de Joves és el doble que el d'Adults.

2. El nombre d'Adults que prefereixen Aigua és igual al nombre d'Adults que prefereixen Suc.

3. Els Joves que prefereixen Refresc són $150$.

4. El total de persones que prefereixen Suc és $140$.

5. La freqüència marginal dels qui prefereixen Aigua és $200$.

Dedueix totes les freqüències conjuntes i marginals i construeix la taula de contingència completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una població de $400$ habitants, s'analitzen dues variables: "Practica esport" (Sí/No) i "Fuma" (Sí/No). Es coneixen les distribucions marginals: $240$ persones practiquen esport i $160$ no ho fan; d'altra banda, $100$ persones fumen i $300$ no fumen.

Construeix la taula de contingència de freqüències absolutes assumint que existeix una independència estadística perfecta entre l'hàbit de fumar i la pràctica esportiva en aquesta població.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi de salut comunitària realitzat en un centre de salut de València amb una mostra de $N = 120$ pacients adults, s'analitzen dues variables: «Fa servir fil dental diàriament» (Sí / No) i «Té càries activa» (Sí / No). No disposem de la taula completa, però es coneixen les condicions següents:

1. Exactament el $40\%$ dels pacients de la mostra fa servir fil dental diàriament.

2. En tota la mostra hi ha un total de $48$ persones amb càries activa.

3. Es comprova que l'ús de fil dental redueix notablement la incidència de càries: la freqüència condicionada de tenir càries entre els qui fan servir fil dental és exactament la meitat que la freqüència condicionada de tenir càries entre els qui no en fan servir:

1. a) Assigna una incògnita $x$ a la freqüència conjunta de pacients que fan servir fil dental i tenen càries. Planteja una equació que relacioni les dues freqüències condicionades amb els seus respectius totals marginals i resol el valor de $x$.
2. b) Reconstrueix la taula de contingència completa ($2 \times 2$) amb totes les seves freqüències absolutes conjuntes i marginals, verificant que tots els valors són enters i coherents.
3. c) Si la presència de càries i l'ús diari de fil dental fossin variables estadísticament independents, quants pacients que fan servir fil dental haurien de tenir càries? Compara aquesta xifra teòrica amb el valor real obtingut a la teva taula i redacta una conclusió sobre l'impacte preventiu del fil dental.

Protecció Civil i l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) avaluen l'eficàcia dels avisos meteorològics per precipitacions torrencials en una comarca costanera mediterrània durant una sèrie històrica de $180$ jornades de tardor. Les dades registrades són les següents:

• L'AEMET va activar l'avís meteorològic de nivell taronja o vermell en $30$ dels $180$ dies.

• Es van registrar pluges torrencials reals sobre el terreny en $24$ dels $180$ dies.

• Durant $18$ dels dies en què l'avís va estar activat, efectivament es van produir pluges torrencials.

1. a) Modela la situació construint una taula de contingència completa ($2 \times 2$) de freqüències absolutes, creuant les variables «Avís activat (Sí / No)» i «Pluja torrencial real (Sí / No)» amb les seves corresponents freqüències marginals.
2. b) En una sessió municipal d'avaluació sorgeixen dues opinions contraposades:

• El tècnic d'emergències afirma: «El sistema d'avisos és molt eficaç: el $75\%$ de les vegades que va ploure torrencialment, la població estava previnguda amb avís».

• Una associació veïnal protesta: «El sistema genera massa alarma injustificada: el $40\%$ de les alertes activades són falses alarmes (no arriba a ploure de manera torrencial)».

Calcula les freqüències condicionades $h(\text{Avís activat} \mid \text{Pluja torrencial})$ i $h(\text{Pluja torrencial} \mid \text{Avís activat})$, i interpreta matemàticament per què ambdues afirmacions són correctes però responen a preguntes condicionades inverses.

1. c) Demostra formalment si l'activació de l'avís i l'ocurrència de pluja torrencial són variables dependents o independents comparant la freqüència condicionada $h(\text{Pluja torrencial} \mid \text{Avís activat})$ amb la freqüència marginal $h(\text{Pluja torrencial})$. Raona quines conseqüències pràctiques tindria per a la seguretat ciutadana que ambdues variables resultessin ser estadísticament independents.