Exercicis: Equacions de segon grau

Resol la següent equació de segon grau incompleta aïllant directament la incògnita:

$3x^2 - 48 = 0$

Troba les solucions de la següent equació treient factor comú:

$5x^2 + 15x = 0$

Aplica la fórmula general per trobar les arrels de la següent equació de segon grau completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Calcula el discriminant, $\Delta = b^2 - 4ac$, i indica el nombre de solucions reals que té l'equació:

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

Escriu una equació de segon grau de la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabent que les seves solucions són $x_1 = 4$ i $x_2 = -3$.

Determina mentalment les solucions de la següent equació, que ja es troba factoritzada:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Troba un nombre natural tal que el seu quadrat menys el seu triple sigui igual a $18$. Planteja l'equació corresponent i resol-la.

Resol la següent equació eliminant en primer lloc els denominadors per transformar-la en una equació amb coeficients enters:

$\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} = \frac{5}{6}$

En un examen de Matemàtiques, el Sergio ha de resoldre l'equació incompleta $3x^2 - 15x = 0$. El seu desenvolupament al paper ha estat el següent:

I conclou: «L'única solució de l'equació és $x = 5$».

1. a) Explica raonadament quin error conceptual comet el Sergio en dividir tots dos membres entre la incògnita $x$ i quina conseqüència directa té sobre les solucions.
2. b) Resol l'equació de manera correcta utilitzant l'extracció de factor comú i justifica, a partir de la propietat del producte nul ($A \cdot B = 0$), per què en realitat hi ha dues solucions diferents.

En un poliesportiu municipal de Sevilla construiran una nova pista reglamentària de pàdel. Seguint la normativa oficial de la Federación Española de Pádel, el perímetre del recinte ha de mesurar $60\text{ m}$ (de manera que la suma de la seva llargària i la seva amplada és de $30\text{ m}$) i la superfície total de joc ha de ser de $200\text{ m}^2$.

1. a) Si anomenem $x$ a l'amplada de la pista en metres, expressa la seva longitud en funció de $x$ i planteja l'equació de segon grau que determina l'àrea del recinte.
2. b) Resol l'equació per obtenir els possibles valors de $x$.
3. c) Explica el significat geomètric d'obtenir dues solucions algebraiques diferents: es tracta de dues pistes diferents o representen la llargària i l'amplada de la mateixa pista?

Resol la següent equació desenvolupant prèviament els productes notables i agrupant els termes semblants:

$(x - 2)^2 + (x + 1)^2 = 5$

L'àrea d'un panell solar rectangular és de $24$ m$^2$. Sabent que la seva llargada mesura $2$ metres més que la seva amplada $x$, calcula les dimensions exactes del panell.

Un coet de modelisme es llança verticalment cap amunt. La seva altura $h$ en metres després de $t$ segons ve donada per l'equació $h = 40t - 5t^2$. Determina en quins instants el coet estarà exactament a $75$ metres d'altura.

En l'equació $2x^2 + kx - 15 = 0$, se sap que una de les solucions és $x = 3$. Calcula el valor del paràmetre $k$ i troba l'altra solució.

La suma dels quadrats de dos nombres enters senars consecutius és $130$. Planteja una equació de segon grau, resol-la i troba aquests nombres (indica totes les parelles possibles).

Un grup d'amics lloga una furgoneta per $120$ euros per fer un viatge, dividint el cost a parts iguals. A última hora s'hi apunten $2$ amics més, la qual cosa fa que cadascun dels assistents pagui $3$ euros menys. Planteja l'equació corresponent i troba quants amics van finalment al viatge.

Resol la següent equació operant algebraicament amb les fraccions per transformar-la en una equació polinòmica de segon grau:

$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x^2-1}$

Sense resoldre l'equació $3x^2 - 12x + c = 0$, esbrina el valor del terme independent $c$ sabent que el producte de les seves arrels és $3$. Calcula també la suma d'aquestes arrels utilitzant les relacions de Cardano-Vieta.

Per resoldre l'equació $2(x - 3)^2 - 50 = 0$, dos companys de classe proposen camins diferents:

• L'Elena suggereix desenvolupar el producte notable $(x - 3)^2$, multiplicar per $2$, restar $50$, ordenar l'equació completa en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ i aplicar la fórmula quadràtica general.

• En Darío proposa aïllar el terme al quadrat $(x - 3)^2$ dividint entre $2$ i aclarir directament aplicant l'arrel quadrada amb doble signe ($\pm$) a tots dos membres.

1. a) Resol l'equació seguint el mètode proposat pel Darío.
2. b) Compara totes dues estratègies: quin dels dos mètodes és més eficient i redueix la probabilitat de cometre errors amb els signes o les operacions intermèdies? Justifica la teva resposta.
3. c) En quin cas resultaria impossible aplicar el procediment del Darío i seria imprescindible recórrer a la forma general i a la fórmula quadràtica?

La Dirección General de Tráfico (DGT) modelitza la distància total d'aturada $d$ (en metres) d'un turisme sobre asfalt sec en funció de la seva velocitat $v$ (en $\text{km/h}$) mitjançant la següent expressió quadràtica:

Després d'un incident en una carretera convencional amb límit de velocitat de $90\text{ km/h}$, la Guàrdia Civil de Trànsit va mesurar una marca de frenada i aturada de $70\text{ m}$.

1. a) Estima: Sense resoldre l'equació completa, calcula la distància que requeriria el turisme a $80\text{ km/h}$ i a $100\text{ km/h}$. A partir d'aquests dos valors, raona entre quines velocitats es trobava el vehicle i indica si sospites que el conductor superava el límit legal de $90\text{ km/h}$.
2. b) Calcula: Substitueix $d = 70$ a la fórmula i multiplica tots els termes per $200$ per treballar amb coeficients enters. Resol l'equació de segon grau resultant per calcular la velocitat exacta $v$.
3. c) Comprova i valora: Contrasta el resultat amb la teva estimació prèvia, descarta justificadament la solució matemàtica que no té sentit físic i dictamina si el conductor va cometre una infracció per excés de velocitat.

Discuteix el nombre de solucions reals de l'equació $x^2 - (m+2)x + 9 = 0$ en funció dels valors del paràmetre $m$.

En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura $2$ cm més que el catet major, i aquest mesura $2$ cm més que el catet menor. Planteja una equació de segon grau aplicant el teorema de Pitàgores i calcula el perímetre exacte del triangle.

Donades les arrels $x_1$ i $x_2$ de l'equació genèrica $ax^2 + bx + c = 0$ (amb $c \neq 0$), demostra algebraicament que la suma de les inverses de les arrels, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, és sempre igual a $-\frac{b}{c}$.

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $68$ metres i la seva àrea és de $240$ m$^2$. Utilitza la relació entre la suma i el producte de les arrels d'una equació de segon grau ($x^2 - Sx + P = 0$) per determinar les dimensions de la parcel·la.

Una fotografia de $20$ cm d'amplada per $30$ cm d'altura s'emmarca amb un paspartú d'amplada uniforme $x$. Si l'àrea total del paspartú és exactament igual a l'àrea de la fotografia, planteja una equació de segon grau i troba l'amplada $x$ del paspartú.

Escriu una equació de segon grau les arrels de la qual siguin el doble de les arrels de l'equació $x^2 - 5x + 6 = 0$. Resol-ho aplicant les propietats de la suma i el producte de les arrels, sense calcular prèviament les arrels de l'equació original.

Simplifica i resol la següent equació racional, parant atenció a les possibles solucions espúries que anul·lin els denominadors:

$\frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{12}{x^2-4} + 1$

Un tren de mercaderies viatja a una velocitat constant. Un tren d'alta velocitat, que viatja $50$ km/h més ràpid, recorre una distància de $300$ km en $1$ hora menys que el tren de mercaderies. Planteja una equació de segon grau per determinar la velocitat a la qual viatja el tren de mercaderies.

En el disseny de l'estructura d'un pont de vianants, l'arc inferior respon a una equació quadràtica de la forma $x^2 + bx + c = 0$, on la variable $x$ representa la posició horitzontal en metres respecte a una balisa central. S'estableixen dues condicions estructurals per als suports a terra ($x_1$ i $x_2$):

1. La separació total entre tots dos suports ha de ser de $40\text{ m}$ (és a dir, $x_2 - x_1 = 40$).

2. Pel desnivell del terreny, la suma de les posicions horitzontals dels suports és $x_1 + x_2 = 20$.

1. a) Sense calcular abans el valor de cada suport, determina el valor del coeficient $b$ aplicant les relacions de Cardano-Vieta ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$).
2. b) Planteja i resol el sistema de dues equacions lineals que formen la suma i la diferència dels suports per trobar les posicions exactes $x_1$ i $x_2$.
3. c) Dedueix el valor del terme independent $c$ mitjançant el producte de les solucions ($x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$), escriu l'equació general completa i demostra, a partir del signe del seu discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$, que queda garantida l'existència de dos suports reals i diferents.

Una companyia de teatre juvenil a Valladolid ofereix les seves representacions a un preu habitual de $12\text{ €}$ per entrada, registrant una assistència mitjana de $300$ persones per funció. Un estudi de mercat de l'associació cultural revela que, per cada euro ($1\text{ €}$) que decideixin incrementar el preu de l'entrada, hi assistiran $15$ espectadors menys. La recaptació per funció respon al producte:

1. a) Si anomenem $x$ a la quantitat d'euros en què s'incrementa el preu inicial:

• Escriu en funció de $x$ les expressions del nou preu i del nou nombre d'espectadors.

• Desenvolupa el seu producte i comprova que els ingressos totals venen donats per una expressió de segon grau.

1. b) Per finançar una gira per Castella i Lleó, la companyia necessita recaptar exactament $3780\text{ €}$ en una funció. Planteja l'equació corresponent, simplifica-la dividint tots els seus termes entre $-15$ i resol-la.
2. c) Interpreta els dos resultats obtinguts: quins dos preus diferents d'entrada permeten assolir exactament aquest mateix objectiu de recaptació? Quina de les dues opcions aconsellaries triar si la finalitat social de la companyia és facilitar l'accés al teatre al major nombre possible de ciutadans? Raona la teva elecció.