Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$3x^2 - 48 = 0$

Halla las soluciones de la siguiente ecuación extrayendo factor común:

$5x^2 + 15x = 0$

Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Calcula el discriminante, $\Delta = b^2 - 4ac$, e indica el número de soluciones reales que tiene la ecuación:

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

Escribe una ecuación de segundo grado de la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.

Determina mentalmente las soluciones de la siguiente ecuación, que ya se encuentra factorizada:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Encuentra un número natural tal que su cuadrado menos su triple sea igual a $18$. Plantea la ecuación correspondiente y resuélvela.

Resuelve la siguiente ecuación eliminando en primer lugar los denominadores para transformarla en una ecuación con coeficientes enteros:

$\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} = \frac{5}{6}$

Resuelve la siguiente ecuación desarrollando previamente los productos notables y agrupando los términos semejantes:

$(x - 2)^2 + (x + 1)^2 = 5$

El área de un panel solar rectangular es de $24$ m$^2$. Sabiendo que su largo mide $2$ metros más que su ancho $x$, calcula las dimensiones exactas del panel.

Un cohete de modelismo se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros después de $t$ segundos viene dada por la ecuación $h = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes el cohete estará exactamente a $75$ metros de altura.

En la ecuación $2x^2 + kx - 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Calcula el valor del parámetro $k$ y halla la otra solución.

La suma de los cuadrados de dos números enteros impares consecutivos es $130$. Plantea una ecuación de segundo grado, resuélvela y encuentra dichos números (indica todas las parejas posibles).

Un grupo de amigos alquila una furgoneta por $120$ euros para realizar un viaje, dividiendo el coste a partes iguales. A última hora se apuntan $2$ amigos más, lo que hace que cada uno de los asistentes pague $3$ euros menos. Plantea la ecuación correspondiente y halla cuántos amigos van finalmente al viaje.

Resuelve la siguiente ecuación operando algebraicamente con las fracciones para transformarla en una ecuación polinómica de segundo grado:

$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x^2-1}$

Sin resolver la ecuación $3x^2 - 12x + c = 0$, averigua el valor del término independiente $c$ sabiendo que el producto de sus raíces es $5$. Calcula también la suma de dichas raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta.

Discute el número de soluciones reales de la ecuación $x^2 - (m+2)x + 9 = 0$ en función de los valores del parámetro $m$.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $2$ cm más que el cateto mayor, y este mide $2$ cm más que el cateto menor. Plantea una ecuación de segundo grado aplicando el teorema de Pitágoras y calcula el perímetro exacto del triángulo.

Dadas las raíces $x_1$ y $x_2$ de la ecuación genérica $ax^2 + bx + c = 0$ (con $c \neq 0$), demuestra algebraicamente que la suma de las inversas de las raíces, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, es siempre igual a $-\frac{b}{c}$.

El perímetro de una parcela rectangular mide $68$ metros y su área es de $240$ m$^2$. Utiliza la relación entre la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado ($x^2 - Sx + P = 0$) para determinar las dimensiones de la parcela.

Una fotografía de $20$ cm de ancho por $30$ cm de alto se enmarca con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del paspartú es exactamente igual al área de la fotografía, plantea una ecuación de segundo grado y halla la anchura $x$ del paspartú.

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean el doble de las raíces de la ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$. Resuélvelo aplicando las propiedades de la suma y el producto de las raíces, sin calcular previamente las raíces de la ecuación original.

Simplifica y resuelve la siguiente ecuación racional, prestando atención a las posibles soluciones espurias que anulen los denominadores:

$\frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{12}{x^2-4} + 1$

Un tren de mercancías viaja a una velocidad constante. Un tren de alta velocidad, que viaja $50$ km/h más rápido, recorre una distancia de $300$ km en $1$ hora menos que el tren de mercancías. Plantea una ecuación de segundo grado para determinar la velocidad a la que viaja el tren de mercancías.