Exercicis: Equacions de primer grau

Resol la següent equació de primer grau eliminant prèviament els parèntesis:

$4(x - 3) - 2(x + 1) = 5(x - 2) + 4$

Calcula el valor de $x$ en la següent equació amb denominadors:

$\frac{2x - 1}{3} + \frac{x + 2}{4} = 5$

Troba la solució de l'equació reduint a comú denominador:

$\frac{x}{2} - \frac{3(x - 1)}{5} = \frac{x + 4}{10} - 1$

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució. Comprova si les equacions $3x - 5 = 7$ i $2x + k = 10$ són equivalents quan $k = 2$.

Sense necessitat de resoldre-la per complet, desenvolupa i indica quantes solucions reals té la següent equació de primer grau:

$3(2x - 1) + 4 = 6x + 1$

El triple d'un nombre menys la meitat d'aquest mateix nombre dona com a resultat $45$. Planteja una equació de primer grau i calcula de quin nombre es tracta.

El perímetre d'una parcel·la rectangular és de $48\text{ m}$. Si es sap que la base mesura exactament el doble que l'altura, planteja una equació per trobar quant mesuren els costats de la parcel·la.

L'edat de Carlos és el triple que la de la seva germana Ana. Dins de $5\text{ anys}$, la suma de les seves edats serà de $34\text{ anys}$. Planteja una equació de primer grau per esbrinar quina edat té cadascú en l'actualitat.

En Marcos ha intentat resoldre la següent equació de primer grau a la seva llibreta:

El seu desenvolupament ha estat el següent:

• Pas 1: $5 - 2x - 6 = 19$

• Pas 2: $-1 - 2x = 19$

• Pas 3: $-2x = 20$

• Pas 4: $x = \frac{20}{2} = 10$

1. a) Identifica els dos errors comesos per en Marcos (un al pas 1 i un altre al pas 4) i explica per què són incorrectes basant-te en la propietat distributiva i en la regla de la balança.
2. b) Resol l'equació correctament pas a pas i comprova el resultat obtingut substituint-lo en l'expressió inicial.

En una ciutat espanyola, la tarifa oficial de taxi estableix una baixada de bandera fixa de $2,50$ € i un cost addicional d'$1,20$ € per cada quilòmetre recorregut. La Lucía agafa un taxi des de l'estació de tren fins al seu domicili i el taxímetre marca en finalitzar un import total de $13,30$ €.

1. a) Planteja una equació de primer grau que representi la situació, indicant amb claredat què representa la incògnita $x$.
2. b) Resol l'equació explicant cada transposició de termes que fas per calcular quants quilòmetres ha recorregut.
3. c) Comprova numèricament en el context del problema que la distància obtinguda genera exactament el cost total indicat.

Resol la següent equació de primer grau que combina fraccions i parèntesis niats:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2(x + 1)}{6} = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$

Troba la solució de l'equació operant amb nombres decimals:

$0,5(2x - 4) + 1,2(x + 3) = 3,4x - 0,8$

En una cafeteria es barregen dos tipus de grans de cafè. El primer costa $6\text{ \euro/kg}$ i el segon $8\text{ \euro/kg}$. Si es volen obtenir $50\text{ kg}$ de barreja a un preu final de $6,60\text{ \euro/kg}$, planteja una equació per esbrinar quants quilos de cada tipus de cafè s'han d'utilitzar.

Dos trens de mercaderies surten a la mateixa hora de dues estacions A i B separades per una distància de $450\text{ km}$, circulant per vies paral·leles en sentits oposats. El tren que surt de A viatja a $120\text{ km/h}$ i el que surt de B a $80\text{ km/h}$. Planteja una equació per determinar quant de temps trigaran a creuar-se i a quina distància de l'estació A ho faran.

Un teatre ven entrades de platea a $25\text{ \euro}$ i entrades d'amfiteatre a $15\text{ \euro}$. En la funció de dissabte es van vendre un total de $320\text{ entrades}$, recaptant $6300\text{ \euro}$. Planteja una equació de primer grau per calcular quantes entrades de cada tipus es van vendre.

Calcula el valor que ha de prendre el paràmetre $m$ perquè la solució de la següent equació sigui $x = 4$:

$\frac{mx - 2}{5} - \frac{x - 1}{3} = x - 3$

Es té un rectangle la base del qual és $5\text{ cm}$ més gran que la seva altura. Si la base s'augmenta en $2\text{ cm}$ i l'altura disminueix en $1\text{ cm}$, el perímetre del nou rectangle és de $36\text{ cm}$. Planteja una equació per calcular les dimensions del rectangle original.

Una aixeta A omple una piscina buida en $6\text{ hores}$, i una aixeta B la omple en $4\text{ hores}$. Si s'obren les dues aixetes alhora, planteja una equació de primer grau per esbrinar quant de temps trigaran a omplir la piscina de forma conjunta.

Per resoldre l'equació $\frac{3x - 1}{4} - \frac{x + 2}{6} = \frac{7}{12}$, la Sara i en David proposen dues estratègies diferents:

• La Sara proposa el Mètode A: calcular el m.c.m. dels denominadors ($12$), multiplicar ambdós membres per $12$ des del principi per suprimir denominadors i operar només amb nombres enters.

• En David proposa el Mètode B: descompondre cada fracció separant la incògnita dels termes independents, escrivint $\frac{3}{4}x - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}x - \frac{2}{6} = \frac{7}{12}$, i operar agrupant fraccions.

1. a) Resol l'equació per ambdós mètodes comprovant que s'arriba a la mateixa solució.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes consideres més segur per evitar errades de càlcul, assenyalant en quin pas del mètode d'en David és més freqüent cometre un error amb els signes.

La factura bimestral de l'aigua d'un habitatge a Sevilla consta d'una quota de servei fixa de $14,60$ € més un cost d'$1,80$ € per cada metre cúbic ($m^3$) d'aigua consumit. A l'última factura rebuda, l'import total a pagar ascendeix a $59,60$ €.

1. a) Estima: Sense fer operacions exactes, raona mentalment si el consum bimestral deu haver estat més a prop de $10\text{ m}^3$, de $25\text{ m}^3$ o de $50\text{ m}^3$. Justifica la teva estimació.
2. b) Planteja i resol: Defineix la incògnita $x$, escriu l'equació de primer grau corresponent i resol-la pas a pas per trobar el volum exacte d'aigua consumida.
3. c) Valora: Compara el resultat amb la teva estimació. Sabent que el consum mitjà a Espanya és de $130$ litres diaris per persona (dades de l'INE) i que a la casa hi viuen $2$ persones durant els $60$ dies del bimestre (la qual cosa suposaria uns $15,6\text{ m}^3$ en total), valora si el consum obtingut reflecteix un ús normal o si la família hauria de revisar la instal·lació per una possible fuita.

Resol la següent equació desenvolupant prèviament els productes notables. Observa com els termes de segon grau s'anul·len en simplificar:

$(2x - 3)^2 - (x + 2)(4x - 1) = 3x - 5$

Donada l'equació literal $a(x - 2) + 3 = 4x - b$, discuteix el nombre de solucions que tindrà l'equació en funció dels valors que prenguin els paràmetres $a$ i $b$.

Un ciclista surt d'una ciutat a una velocitat constant de $15\text{ km/h}$. Exactament una hora més tard, surt un cotxe en la seva persecució des del mateix punt a $90\text{ km/h}$. Planteja una equació per calcular quant de temps trigarà el cotxe a atrapar el ciclista i a quina distància de la ciutat es produirà la trobada.

En una joieria es disposa d'un lingot d'or amb un $80\%$ de puresa i d'un segon lingot amb un $95\%$ de puresa. Planteja una equació per descobrir quina quantitat de cada lingot s'ha de fondre si es vol obtenir un nou lingot d'exactament $3\text{ kg}$ amb un $89\%$ de puresa.

En un examen tipus test que consta de $40\text{ preguntes}$, s'atorguen $3\text{ punts}$ per cada resposta correcta, es resta $1\text{ punt}$ per cada resposta incorrecta i les preguntes no contestades no sumen ni resten. Un alumne n'ha deixat $4\text{ preguntes}$ sense contestar i ha obtingut una puntuació final de $60\text{ punts}$. Planteja una equació de primer grau per calcular quantes preguntes ha respost correctament.

Calcula el valor de $x$ en la següent equació amb paràmetres literals, suposant que $a \neq 0$, $b \neq 0$ i $a \neq b$:

$\frac{x - a}{b} + \frac{x - b}{a} = 2$

Una botiga d'electrònica aplica un descompte del $15\%$ sobre el preu de venda al públic d'un ordinador portàtil. En pagar a caixa, s'afegeix un $21\%$ d'IVA sobre el preu ja rebaixat. Si el client paga finalment $822,80\text{ \euro}$, planteja una equació de primer grau per calcular quin era el preu inicial de l'ordinador abans del descompte i sense IVA.

La suma de les edats de tres germans és de $44\text{ anys}$. El mitjà té $3\text{ anys}$ més que el germà petit, i es sap que l'edat del gran equival a la suma de les edats dels seus dos germans petits menys $2\text{ anys}$. Planteja una equació de primer grau per determinar l'edat exacta de cadascun dels tres germans.

Un professor de matemàtiques vol dissenyar un exercici d'examen amb l'estructura $\frac{2x - a}{3} - \frac{x - 1}{4} = b$, on $a$ i $b$ han de ser nombres enters fixats per ell.

1. a) Si el professor necessita que la solució de l'equació sigui obligatòriament $x = 5$, troba una parella de nombres enters $(a, b)$ que compleixi aquesta condició.
2. b) Existeix una única parella $(a, b)$ possible o n'hi ha més? Dedueix una relació matemàtica entre $a$ i $b$ que garanteixi sempre que $x = 5$ sigui solució, i proporciona un segon parell de valors enters diferents dels de l'apartat anterior.
3. c) Seria possible triar valors per a $a$ i $b$ de manera que l'equació resultant no tingués cap solució (equació incompatible)? Justifica la teva resposta analitzant els coeficients que acompanyen la incògnita $x$.

Una persona acabada de titular d'FP a Espanya rep dues ofertes de feina com a tècnica de manteniment i instal·lació de plaques solars:

• Empresa Nord: Ofereix un sou base fix de $1100$ € al mes més una comissió de $45$ € per cada instal·lació completada.

• Empresa Sud: Ofereix un sou base fix de $1340$ € al mes més una comissió de $25$ € per cada instal·lació completada.

1. a) Modela la situació plantejant i resolent una equació de primer grau per determinar amb quantes instal·lacions mensuals ($x$) el salari brut mensual és exactament igual en ambdues empreses.
2. b) Segons les estadístiques del sector, un professional novell fa una mitjana de $8$ instal·lacions al mes, mentre que un d'experimentat n'assoleix $16$. Argumenta raonadament a partir de la teva equació quina empresa li convé triar a un tècnic principiant i quina a un amb experiència.
3. c) Si a ambdós salaris se'ls aplica una retenció fixa del $12\,\%$ per IRPF, escriu la nova equació que iguala els sous nets i justifica matemàticament, sense necessitat de resoldre-la de nou, per què el nombre d'instal·lacions d'equilibri no s'altera.