Ejercicios: Ecuaciones de primer grado

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado eliminando previamente los paréntesis:

$4(x - 3) - 2(x + 1) = 5(x - 2) + 4$

Calcula el valor de $x$ en la siguiente ecuación con denominadores:

$\frac{2x - 1}{3} + \frac{x + 2}{4} = 5$

Halla la solución de la ecuación reduciendo a común denominador:

$\frac{x}{2} - \frac{3(x - 1)}{5} = \frac{x + 4}{10} - 1$

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Comprueba si las ecuaciones $3x - 5 = 7$ y $2x + k = 10$ son equivalentes cuando $k = 2$.

Sin necesidad de resolverla por completo, desarrolla e indica cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación de primer grado:

$3(2x - 1) + 4 = 6x + 1$

El triple de un número menos la mitad de ese mismo número da como resultado $45$. Plantea una ecuación de primer grado y calcula de qué número se trata.

El perímetro de una parcela rectangular es de $48\text{ m}$. Si se sabe que la base mide exactamente el doble que la altura, plantea una ecuación para hallar cuánto miden los lados de la parcela.

La edad de Carlos es el triple que la de su hermana Ana. Dentro de $5\text{ años}$, la suma de sus edades será de $34\text{ años}$. Plantea una ecuación de primer grado para averiguar qué edad tiene cada uno en la actualidad.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado que combina fracciones y paréntesis anidados:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2(x + 1)}{6} = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$

Halla la solución de la ecuación operando con números decimales:

$0,5(2x - 4) + 1,2(x + 3) = 3,4x - 0,8$

En una cafetería se mezclan dos tipos de granos de café. El primero cuesta $6\text{ \euro/kg}$ y el segundo $8\text{ \euro/kg}$. Si se quieren obtener $50\text{ kg}$ de mezcla a un precio final de $6,60\text{ \euro/kg}$, plantea una ecuación para averiguar cuántos kilos de cada tipo de café se deben utilizar.

Dos trenes de mercancías salen a la misma hora de dos estaciones A y B separadas por una distancia de $450\text{ km}$, circulando por vías paralelas en sentidos opuestos. El tren que sale de A viaja a $120\text{ km/h}$ y el que sale de B a $80\text{ km/h}$. Plantea una ecuación para determinar cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia de la estación A lo harán.

Un teatro vende entradas de platea a $25\text{ \euro}$ y entradas de anfiteatro a $15\text{ \euro}$. En la función del sábado se vendieron un total de $320\text{ entradas}$, recaudando $6300\text{ \euro}$. Plantea una ecuación de primer grado para calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron.

Calcula el valor que debe tomar el parámetro $m$ para que la solución de la siguiente ecuación sea $x = 4$:

$\frac{mx - 2}{5} - \frac{x - 1}{3} = x - 3$

Se tiene un rectángulo cuya base es $5\text{ cm}$ mayor que su altura. Si la base se aumenta en $2\text{ cm}$ y la altura disminuye en $1\text{ cm}$, el perímetro del nuevo rectángulo es de $36\text{ cm}$. Plantea una ecuación para calcular las dimensiones del rectángulo original.

Un grifo A llena una piscina vacía en $6\text{ horas}$, y un grifo B la llena en $4\text{ horas}$. Si se abren los dos grifos a la vez, plantea una ecuación de primer grado para averiguar cuánto tiempo tardarán en llenar la piscina de forma conjunta.

Resuelve la siguiente ecuación desarrollando previamente los productos notables. Observa cómo los términos de segundo grado se anulan al simplificar:

$(2x - 3)^2 - (x + 2)(4x - 1) = 3x - 5$

Dada la ecuación literal $a(x - 2) + 3 = 4x - b$, discute el número de soluciones que tendrá la ecuación en función de los valores que tomen los parámetros $a$ y $b$.

Un ciclista sale de una ciudad a una velocidad constante de $15\text{ km/h}$. Exactamente una hora más tarde, sale un coche en su persecución desde el mismo punto a $90\text{ km/h}$. Plantea una ecuación para calcular cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al ciclista y a qué distancia de la ciudad se producirá el encuentro.

En una joyería se dispone de un lingote de oro con un $80\%$ de pureza y de un segundo lingote con un $95\%$ de pureza. Plantea una ecuación para descubrir qué cantidad de cada lingote se debe fundir si se quiere obtener un nuevo lingote de exactamente $3\text{ kg}$ con un $89\%$ de pureza.

En un examen tipo test que consta de $40\text{ preguntas}$, se otorgan $3\text{ puntos}$ por cada respuesta correcta, se resta $1\text{ punto}$ por cada respuesta incorrecta y las preguntas no contestadas no suman ni restan. Un alumno ha dejado $4\text{ preguntas}$ sin contestar y ha obtenido una puntuación final de $60\text{ puntos}$. Plantea una ecuación de primer grado para calcular cuántas preguntas ha respondido correctamente.

Calcula el valor de $x$ en la siguiente ecuación con parámetros literales, suponiendo que $a \neq 0$, $b \neq 0$ y $a \neq b$:

$\frac{x - a}{b} + \frac{x - b}{a} = 2$

Una tienda de electrónica aplica un descuento del $15\%$ sobre el precio de venta al público de un ordenador portátil. Al pagar en caja, se añade un $21\%$ de IVA sobre el precio ya rebajado. Si el cliente paga finalmente $822,80\text{ \euro}$, plantea una ecuación de primer grado para calcular cuál era el precio inicial del ordenador antes del descuento y sin IVA.

La suma de las edades de tres hermanos es de $44\text{ años}$. El mediano tiene $3\text{ años}$ más que el hermano pequeño, y se sabe que la edad del mayor equivale a la suma de las edades de sus dos hermanos menores menos $2\text{ años}$. Plantea una ecuación de primer grado para determinar la edad exacta de cada uno de los tres hermanos.