Exercicis: Progressions aritmètriques

Observa les seqüències de nombres següents. La teva tasca consisteix a identificar quines d'elles són progressions aritmètriques.

Per a aquelles que ho siguin, indica quina és la diferència ($d$) constant entre els seus termes i calcula el nombre que aniria a la posició següent.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

En un supermercat estan muntant una exhibició de llaunes de tomàquet en forma de piràmide triangular plana contra una paret.

A la fila superior (el cim) posen 1 llauna. A la fila de just a sota en posen 2 llaunes, a la tercera fila 3 llaunes, i així successivament, augmentant una llauna per cada nivell que baixen.

Si la piràmide té un total de 8 files d'altura:

1. a) Escriu la successió que representa el nombre de llaunes a cada fila.
2. b) Quantes llaunes hi haurà a l'última fila (la de la base)?

Donada la progressió aritmètica següent:

1. Identifica el primer terme ($a_1$) i la diferència ($d$).

2. Utilitzant la fórmula del terme general $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcula el valor del terme que ocupa la posició 20 ($a_{20}$).

La Ioana ha decidit estalviar per comprar-se una bicicleta nova. A la seva guardiola ja té 50 € que li van regalar pel seu aniversari. Ha decidit que, a partir de la setmana que ve, desarà 5 € de la seva paga cada setmana sense fallar.

1. a) Escriu els estalvis totals que tindrà la Ioana al final de la setmana 1, la setmana 2, la setmana 3 i la setmana 4.
2. b) De quin tipus de progressió es tracta i quina és la diferència?
3. c) Calcula quants diners tindrà acumulats a la setmana 12.

Calcula la suma dels 15 primers termes d'una progressió aritmètica sabent que:

• El primer terme és $a_1 = 3$.

• L'últim terme que s'ha de sumar és $a_{15} = 45$.

Recorda utilitzar la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica:

En un restaurant s'ajunten taules quadrades per formar una taula llarga de celebració.

• Si s'utilitza 1 taula aïllada, hi caben 4 persones (una per costat).

• Si s'ajunten 2 taules, hi caben 6 persones.

• Si s'ajunten 3 taules, hi caben 8 persones.

Observa el dibuix i respon:

1. a) Quantes persones hi caben si ajuntem 4 taules?
2. b) Quina és la diferència constant de persones que hi caben per cada taula extra que afegim?
3. c) Calcula quantes persones hi cabrien si ajuntem una filera de 10 taules.

Troba el terme general ($a_n$) de les següents progressions aritmètriques donades pels seus primers termes. Expressa'l de la forma més simplificada possible (per exemple: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Una planta de bambú creix molt ràpid i de manera constant sota condicions controlades de laboratori.

El dia 1, la planta fa 15 cm d'alçària.

El dia 2, la planta fa 18 cm d'alçària.

Sabent que el seu creixement segueix una progressió aritmètica:

1. a) Quants centímetres creix la planta cada dia ($d$)?
2. b) Quant farà la planta el dia 7?

En un examen de 3r d'ESO, es demana calcular el terme que ocupa la posició 12 ($a_{12}$) en la progressió aritmètica decreixent: $18, 14, 10, 6, \dots$

La Clàudia ho resol a la seva llibreta de la manera següent:

«La diferència és $d = 4$ perquè els nombres van de 4 en 4.

Aplico la fórmula del terme general: $a_{12} = a_1 + 12 \cdot d = 18 + 12 \cdot 4 = 18 + 48 = 66$.»

1. a) Troba i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per la Clàudia en el seu plantejament.
2. b) Corregeix l'exercici pas a pas calculant el valor real de la diferència $d$ i el valor correcte del terme $a_{12}$.
3. c) Sense fer operacions complexes, per què resulta evident que el resultat obtingut per la Clàudia ($66$) no té cap sentit veient els primers termes de la successió?

Imagina que ets tu qui dissenya els exercicis per a una prova escrita de la teva classe. Has d'inventar dues progressions aritmètiques diferents que compleixin una mateixa condició: en totes dues, el vuitè terme ha de valer exactament 30 ($a_8 = 30$).

1. a) Construeix una primera progressió que sigui creixent i la diferència de la qual sigui un nombre parell ($d > 0$). Indica el valor que has triat per a $d$, calcula el seu primer terme $a_1$ i escriu l'expressió simplificada del seu terme general $a_n$.
2. b) Construeix una segona progressió que sigui decreixent ($d < 0$) i el primer terme de la qual sigui més gran que 50 ($a_1 > 50$). Mostra els valors triats per a $d$ i $a_1$, i escriu el seu terme general $a_n$.
3. c) Comprova numèricament en totes dues progressions que, en substituir $n = 8$ en les teves fórmules, s'obté exactament 30.

Donada la successió aritmètica formada pels nombres: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Escriu la fórmula del terme general $a_n$.
2. b) Calcula el valor del terme que ocupa la posició 30 ($a_{30}$).
3. c) Determina quina posició ocupa el nombre $127$ en aquesta successió.

En una progressió aritmètica sabem que el tercer terme ($a_3$) val $12$ i el vuitè terme ($a_8$) val $27$.

Calcula la diferència $d$ de la progressió i escriu el valor del primer terme $a_1$.

En Xavier està estalviant per comprar-se una bicicleta nova. La primera setmana desa $25$ € a la seva guardiola. S'ha proposat augmentar la quantitat que desa cada setmana en $2,50$ € respecte a la setmana anterior. És a dir, la segona setmana en desa $27,50$ €, la tercera $30$ €, i així successivament.

Si manté aquest ritme:

1. a) Quants diners haurà de desar a la guardiola la setmana número 12?
2. b) Quants diners haurà acumulat en total en acabar la setmana 12?

Un auditori té les seves butaques disposades en forma de trapezi. La primera fila (la més pròxima a l'escenari) té $15$ seients. Cada fila següent té $2$ seients més que l'anterior.

Si l'auditori té un total de $20$ files:

1. a) Quants seients té l'última fila?
2. b) Quina és la capacitat total (nombre total de butaques) de l'auditori?

Calcula la suma de tots els múltiples de $3$ que hi ha entre el $100$ i el $200$.

Les mides dels quatre angles d'un quadrilàter formen una progressió aritmètica. Sabent que l'angle més petit fa $60^{\circ}$, calcula la mida dels altres tres angles.

Recorda: La suma dels angles interiors d'un quadrilàter és sempre $360^{\circ}$.

En un magatzem estan apilant tubs de PVC formant una estructura triangular. A la fila inferior (la base) hi han col·locat $18$ tubs. A la fila immediatament superior hi han posat $17$ tubs, a la següent $16$, i així successivament fins a coronar la pila amb un únic tub al cim.

1. a) Quantes files de tubs s'han apilat en total?
2. b) Quants tubs hi ha en total a l'estructura?

Volem col·locar $5$ posts de senyalització en una carretera recta que uneix dos pobles situats al quilòmetre $10$ i al quilòmetre $28$ respectivament. Els posts s'han de col·locar entre els dos pobles de manera que la distància entre post i post sigui sempre la mateixa, i també sigui igual a la distància del primer poble al primer post i de l'últim post al segon poble.

Calcula en quin punt quilomètric exacte s'ha de col·locar cadascun dels $5$ posts.

Per preparar la tradicional cursa de la San Silvestre Vallecana (10 km) a Madrid, en Mateo planifica un entrenament de 14 dies seguits. El primer dia corre $3\text{ km}$, i cada jornada decideix augmentar la distància recorreguda en $0,5\text{ km}$ respecte al dia anterior ($a_1 = 3$, $d = 0,5$).

1. a) Estima: Abans de calcular res amb fórmules exactes, estima mentalment si la distància total acumulada durant els 14 dies superarà els $80\text{ km}$. Per raonar la teva estimació, pensa en la distància aproximada que correrà a la meitat del pla (per exemple, el dia 7) i multiplica-la pels 14 dies. Explica per què aquest producte aproxima bé la suma total.
2. b) Calcula: Determina la distància exacta que correrà l'últim dia ($a_{14}$) i, aplicant la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, calcula els quilòmetres totals que haurà recorregut en finalitzar els 14 dies.
3. c) Comprova i valora: Compara la teva estimació inicial amb el resultat exacte. Ha estat encertada la teva predicció? Quina relació matemàtica hi ha entre el valor del dia intermedi i la mitjana entre el primer i l'últim terme $\frac{a_1 + a_{14}}{2}$?

Segons registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), en una atmosfera estable la temperatura disminueix de manera aproximadament constant $0,65\,^\circ\text{C}$ per cada $100\text{ m}$ que s'ascendeix en altitud (gradient tèrmic vertical). En un dia clar de primavera, a les 11:00 h es registra una temperatura de $14,2\,^\circ\text{C}$ al poble alpujarreny de Trevélez (Granada), situat a $1500\text{ m}$ d'altitud. S'estableixen punts de control altimètrics cada $100\text{ m}$ de pujada cap a Sierra Nevada: el punt 1 és a $1500\text{ m}$ ($a_1 = 14,2$), el punt 2 a $1600\text{ m}$, el punt 3 a $1700\text{ m}$, etc.

1. a) Modela la temperatura dels punts de control com una progressió aritmètica: identifica el valor de la diferència $d$ i escriu la fórmula del terme general $a_n$ en funció del nombre de punt de control $n$.
2. b) El refugi de Poqueira es troba a una altitud de $2500\text{ m}$. Quin número de punt de control $n$ li correspon i quina temperatura s'hi registrarà a aquella mateixa hora?
3. c) En aquell mateix vessant, a quina altitud exacta s'assoliria la temperatura de congelació ($0\,^\circ\text{C}$)? Justifica raonadament si aquesta cota coincideix exactament amb algun dels punts de control de la progressió o se situa entre dos d'ells.

Un parc d'aventures vol instal·lar una tirolina nova. El disseny de l'estructura forma un triangle rectangle tal com es mostra a la figura. L'enginyer ha determinat que les longituds dels tres costats del triangle (la base a terra, el post vertical i el cable de la tirolina) han de formar una progressió aritmètica.

Si sabem que la diferència d'aquesta progressió és de $6\text{ m}$ (és a dir, cada costat fa 6 metres més que l'anterior), calcula:

1. La longitud de cadascun dels tres costats.

2. La longitud total de cable i material necessària per formar el perímetre del triangle.

(Pista: Recorda el teorema de Pitàgores $a^2 + b^2 = c^2$ i planteja els costats en funció de la diferència).

En un magatzem de subministraments de fontaneria, els tubs de PVC s'apilen formant una estructura trapezoïdal per estalviar espai i mantenir l'equilibri.

A la fila inferior (la base) hi ha 35 tubs. A la fila superior (el cim) hi ha 5 tubs. Cada fila té un tub menys que la fila immediatament inferior.

1. Quantes files d'altura té la pila?

2. Quants tubs de PVC hi ha emmagatzemats en total en aquesta estructura?

Els angles interiors d'un pentàgon convex (polígon de 5 costats) estan en progressió aritmètica.

Sabem que la suma dels angles interiors d'un polígon es calcula amb la fórmula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, on $n$ és el nombre de costats. Si l'angle menor del pentàgon fa $72^{\circ}$:

1. Calcula la diferència $d$ de la progressió.

2. Determina quant fa l'angle major.

3. Escriu la mida dels cinc angles.

Una ciclista entrena per a una competició i segueix un pla d'entrenament progressiu durant 14 dies.

El pla estableix que cada dia ha de recórrer una distància determinada, augmentant aquesta distància en una quantitat fixa de quilòmetres respecte al dia anterior.

Sabem que:

• El tercer dia ($a_3$) va recórrer 24 km.

• L'últim dia ($a_{14}$) va recórrer 79 km.

Respon raonadament:

1. Quants quilòmetres va recórrer el primer dia?

2. Quin és l'increment diari de distància ($d$)?

3. Calcula la distància total acumulada que haurà recorregut en acabar els 14 dies d'entrenament.

Tres nombres formen una progressió aritmètica. Sabem que la seva suma és igual a 33 i que el seu producte és igual a 1287.

Planteja un sistema d'equacions utilitzant les propietats de les progressions aritmètriques (pots anomenar els termes $x-d$, $x$ i $x+d$ per simplificar) i troba el valor d'aquests tres nombres.

El pati de butaques d'un auditori de música té forma de trapezi isòsceles. A causa d'aquesta forma, cada fila té més seients que l'anterior.

• La primera fila (la més propera a l'escenari) té 20 butaques.

• L'auditori té un total de 780 butaques.

• Cada fila té 2 butaques més que la fila immediatament anterior.

Utilitzant les fórmules de la suma d'una progressió aritmètica ($S_n$), planteja una equació de segon grau per esbrinar quantes files ($n$) té en total l'auditori.

Es vol instal·lar una tanca de seguretat en una carretera recta. Els posts de la tanca s'han de col·locar a distàncies regulars formant una progressió aritmètica.

Sabem que:

• El post número 11 es troba al punt quilomètric 5,4.

• La distància entre el post número 5 i el post número 20 és de 450 metres ($0,45\text{ km}$).

Calcula:

1. La distància de separació entre cada post (diferència de la progressió).

2. En quin punt quilomètric es col·locarà el primer post.

Una empresa tecnològica ofereix dos tipus de contracte salarial a un enginyer per a un projecte de 5 anys (60 mesos):

• Opció A: Un salari inicial de $1500\text{ €}$ mensuals, amb un augment de $20\text{ €}$ cada mes respecte al mes anterior (progressió aritmètica mensual).

• Opció B: Un salari fix de $24.000\text{ €}$ el primer any, amb un augment anual de $3.000\text{ €}$ cada any següent (progressió aritmètica anual).

Calcula el total de diners guanyats en els 5 anys complets amb cada opció i determina quina és la més beneficiosa econòmicament per a l'enginyer. (Nota: En l'opció A has de sumar 60 termes; en l'opció B has de sumar 5 termes anuals).

En una progressió aritmètica no coneixem ni el primer terme ni la diferència, però sabem que el sisè terme és 19 ($a_6 = 19$) i el quinzè terme és 64 ($a_{15} = 64$). Necessitem esbrinar el terme que ocupa la posició 40 ($a_{40}$).

Dos estudiants de 3r d'ESO proposen dues estratègies diferents:

• Mètode d'en Sergio: Plantejar el sistema de dues equacions amb dues incògnites format per $a_1 + 5d = 19$ i $a_1 + 14d = 64$, resoldre'l per trobar $a_1$ i $d$, i després calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Mètode de la Laura: Adonar-se que per passar del terme 6 al 15 es fan 9 passos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Aïllar $d$ directament d'aquesta única equació i, a continuació, calcular $a_{40}$ avançant des de $a_{15}$ amb la fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sense calcular $a_1$.

1. a) Resol el problema seguint els passos del mètode d'en Sergio fins a trobar $a_{40}$.
2. b) Resol el problema seguint els passos del mètode de la Laura i comprova si s'arriba a la mateixa solució.
3. c) Compara tots dos mètodes: quin consideres més eficient i amb menys risc de cometre errors de càlcul? Justifica la teva resposta.
4. d) Si a més el problema et demanés calcular la suma dels primers 40 termes ($S_{40}$), continuaria sent el mètode de la Laura més curt o el plantejament d'en Sergio agafaria avantatge? Raona per què.

Una empresa de repartiment de paqueteria urbana a Madrid renova la seva flota amb furgonetes elèctriques sota un contracte de rènting de 24 mesos (2 anys). El primer mes d'ús, una furgoneta recorre $3200\text{ km}$ ($a_1 = 3200$). A causa de l'envelliment gradual de les bateries i del manteniment, l'empresa assumeix que cada mes la furgoneta recorrerà una quantitat fixa de quilòmetres menys que el mes anterior, descrivint una progressió aritmètica decreixent de diferència $d$.

1. a) L'empresa estableix que, per rendibilitat logística, el quilometratge de l'últim mes del contracte (mes 24) no ha de ser inferior a $2050\text{ km}$ ($a_{24} \ge 2050$). Determina quina és la màxima reducció mensual admisible (el valor límit de la diferència $d$).
2. b) Assumint que la reducció mensual és exactament aquesta diferència límit trobada a l'apartat anterior, calcula la distància total acumulada que haurà recorregut la furgoneta durant els 24 mesos del contracte ($S_{24}$).
3. c) En una reunió de direcció, un gestor proposa un objectiu comercial alternatiu: «Mantenint l'inici de $3200\text{ km}$ en el mes 1, hem d'aconseguir que la furgoneta acumuli un total d'almenys $80\,000\text{ km}$ en els 24 mesos, permetent que el quilometratge descendeixi mes a mes ($d < 0$)». Demostra matemàticament, a partir de les propietats de la suma d'una progressió aritmètica, si la proposta d'aquest gestor és possible o matemàticament inviable.