Ejercicios: Progresiones aritméticas

Observa las siguientes secuencias de números. Tu tarea consiste en identificar cuáles de ellas son progresiones aritméticas.

Para aquellas que lo sean, indica cuál es la diferencia ($d$) constante entre sus términos y calcula el número que iría en la siguiente posición.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

En un supermercado están montando una exhibición de latas de tomate en forma de pirámide triangular plana contra una pared.

En la fila superior (la cima) colocan 1 lata. En la fila justo debajo colocan 2 latas, en la tercera fila 3 latas, y así sucesivamente, aumentando una lata por cada nivel que bajan.

Si la pirámide tiene un total de 8 filas de altura:

1. a) Escribe la sucesión que representa el número de latas en cada fila.
2. b) ¿Cuántas latas habrá en la última fila (la de la base)?

Dada la siguiente progresión aritmética:

$$ 7, 10, 13, 16, \dots $$

1. Identifica el primer término ($a_1$) y la diferencia ($d$).

2. Utilizando la fórmula del término general $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcula el valor del término que ocupa la posición 20 ($a_{20}$).

Carla ha decidido ahorrar para comprarse una bicicleta nueva. En su hucha ya tiene 50 € que le regalaron por su cumpleaños. Ha decidido que, a partir de la próxima semana, guardará 5 € de su paga cada semana sin fallar.

1. a) Escribe los ahorros totales que tendrá Carla al final de la semana 1, semana 2, semana 3 y semana 4.
2. b) ¿De qué tipo de progresión se trata y cuál es la diferencia?
3. c) Calcula cuánto dinero tendrá acumulado en la semana 12.

Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que:

• El primer término es $a_1 = 3$.

• El último término a sumar es $a_{15} = 45$.

Recuerda utilizar la fórmula de la suma de una progresión aritmética:

$$ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $$

En un restaurante se juntan mesas cuadradas para formar una mesa larga de celebración.

• Si se usa 1 mesa aislada, caben 4 personas (una por lado).

• Si se juntan 2 mesas, caben 6 personas.

• Si se juntan 3 mesas, caben 8 personas.

Observa el dibujo y responde:

1. a) ¿Cuántas personas caben si juntamos 4 mesas?
2. b) ¿Cuál es la diferencia constante de personas que caben por cada mesa extra que añadimos?
3. c) Calcula cuántas personas cabrían si juntamos una hilera de 10 mesas.

Halla el término general ($a_n$) de las siguientes progresiones aritméticas dadas por sus primeros términos. Exprésalo de la forma más simplificada posible (por ejemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Una planta de bambú crece muy rápido y de manera constante bajo condiciones controladas de laboratorio.

El día 1, la planta mide 15 cm de altura.

El día 2, la planta mide 18 cm de altura.

Sabiendo que su crecimiento sigue una progresión aritmética:

1. a) ¿Cuántos centímetros crece la planta cada día ($d$)?
2. b) ¿Cuánto medirá la planta en el día 7?

Dada la sucesión aritmética formada por los números: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Escribe la fórmula del término general $a_n$.
2. b) Calcula el valor del término que ocupa la posición 30 ($a_{30}$).
3. c) Determina qué posición ocupa el número $127$ en esta sucesión.

En una progresión aritmética sabemos que el tercer término ($a_3$) vale $12$ y el octavo término ($a_8$) vale $27$.

Calcula la diferencia $d$ de la progresión y escribe el valor del primer término $a_1$.

Javier está ahorrando para comprarse una bicicleta nueva. La primera semana guarda $25$ € en su hucha. Se ha propuesto aumentar la cantidad que guarda cada semana en $2,50$ € respecto a la semana anterior. Es decir, la segunda semana guarda $27,50$ €, la tercera $30$ €, y así sucesivamente.

Si mantiene este ritmo:

1. a) ¿Cuánto dinero tendrá que guardar en la hucha la semana número 12?
2. b) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en total al finalizar la semana 12?

Un auditorio tiene sus butacas dispuestas en forma de trapecio. La primera fila (la más cercana al escenario) tiene $15$ asientos. Cada fila siguiente tiene $2$ asientos más que la anterior.

Si el auditorio tiene un total de $20$ filas:

1. a) ¿Cuántos asientos tiene la última fila?
2. b) ¿Cuál es la capacidad total (número total de butacas) del auditorio?

Calcula la suma de todos los múltiplos de $3$ que hay entre el $100$ y el $200$.

Pista: Primero encuentra cuál es el primer múltiplo de 3 mayor que 100 y cuál es el último múltiplo de 3 menor que 200.

Las medidas de los cuatro ángulos de un cuadrilátero forman una progresión aritmética. Sabiendo que el ángulo más pequeño mide $60^{\circ}$, calcula la medida de los otros tres ángulos.

Recuerda: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es siempre $360^{\circ}$.

En un almacén están apilando tubos de PVC formando una estructura triangular. En la fila inferior (la base) han colocado $18$ tubos. En la fila inmediatamente superior han puesto $17$ tubos, en la siguiente $16$, y así sucesivamente hasta coronar la pila con un único tubo en la cima.

1. a) ¿Cuántas filas de tubos se han apilado en total?
2. b) ¿Cuántos tubos hay en total en la estructura?

Queremos colocar $5$ postes de señalización en una carretera recta que une dos pueblos situados en el kilómetro $10$ y el kilómetro $28$ respectivamente. Los postes deben colocarse entre los dos pueblos de manera que la distancia entre poste y poste sea siempre la misma, y también sea igual a la distancia del primer pueblo al primer poste y del último poste al segundo pueblo.

Calcula en qué punto kilométrico exacto debe colocarse cada uno de los $5$ postes.

Un parque de aventuras quiere instalar una nueva tirolina. El diseño de la estructura forma un triángulo rectángulo como se muestra en la figura. El ingeniero ha determinado que las longitudes de los tres lados del triángulo (la base en el suelo, el poste vertical y el cable de la tirolina) deben formar una progresión aritmética.

Si sabemos que la diferencia de dicha progresión es de $6\text{ m}$ (es decir, cada lado mide 6 metros más que el anterior), calcula:

1. La longitud de cada uno de los tres lados.

2. La longitud total de cable y material necesaria para formar el perímetro del triángulo.

(Pista: Recuerda el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ y plantea los lados en función de la diferencia).

En un almacén de suministros de fontanería, los tubos de PVC se apilan formando una estructura trapezoidal para ahorrar espacio y mantener el equilibrio.

En la fila inferior (la base) hay 35 tubos. En la fila superior (la cima) hay 5 tubos. Cada fila tiene un tubo menos que la fila inmediatamente inferior.

1. ¿Cuántas filas de altura tiene la pila?

2. ¿Cuántos tubos de PVC hay almacenados en total en esta estructura?

Los ángulos interiores de un pentágono convexo (polígono de 5 lados) están en progresión aritmética.

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un polígono se calcula con la fórmula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, donde $n$ es el número de lados. Si el ángulo menor del pentágono mide $72^{\circ}$:

1. Calcula la diferencia $d$ de la progresión.

2. Determina cuánto mide el ángulo mayor.

3. Escribe la medida de los cinco ángulos.

Una ciclista está entrenando para una competición y sigue un plan de entrenamiento progresivo durante 14 días.

El plan establece que cada día debe recorrer una distancia determinada, aumentando esta distancia en una cantidad fija de kilómetros respecto al día anterior.

Sabemos que:

• El tercer día ($a_3$) recorrió 24 km.

• El último día ($a_{14}$) recorrió 79 km.

Responde razonadamente:

1. ¿Cuántos kilómetros recorrió el primer día?

2. ¿Cuál es el incremento diario de distancia ($d$)?

3. Calcula la distancia total acumulada que habrá recorrido al finalizar los 14 días de entrenamiento.

Tres números forman una progresión aritmética. Sabemos que su suma es igual a 33 y que su producto es igual a 1287.

Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las propiedades de las progresiones aritméticas (puedes llamar a los términos $x-d$, $x$ y $x+d$ para simplificar) y halla el valor de dichos tres números.

El patio de butacas de un auditorio de música tiene forma de trapecio isósceles. Debido a esta forma, cada fila tiene más asientos que la anterior.

• La primera fila (la más cercana al escenario) tiene 20 butacas.

• El auditorio tiene un total de 750 butacas.

• Cada fila tiene 2 butacas más que la fila inmediatamente anterior.

Utilizando las fórmulas de la suma de una progresión aritmética ($S_n$), plantea una ecuación de segundo grado para averiguar cuántas filas ($n$) tiene en total el auditorio.

Se quiere instalar una valla de seguridad en una carretera recta. Los postes de la valla se deben colocar a distancias regulares formando una progresión aritmética.

Sabemos que:

• El poste número 11 se encuentra en el punto kilométrico 5,4.

• La distancia entre el poste número 5 y el poste número 20 es de 450 metros ($0,45\text{ km}$).

Calcula:

1. La distancia de separación entre cada poste (diferencia de la progresión).

2. En qué punto kilométrico se colocará el primer poste.

Una empresa tecnológica ofrece dos tipos de contrato salarial a un ingeniero para un proyecto de 5 años (60 meses):

• Opción A: Un salario inicial de $1500\text{ €}$ mensuales, con un aumento de $20\text{ €}$ cada mes respecto al mes anterior (progresión aritmética mensual).

• Opción B: Un salario fijo de $24.000\text{ €}$ el primer año, con un aumento anual de $3.000\text{ €}$ cada año siguiente (progresión aritmética anual).

Calcula el total de dinero ganado en los 5 años completos con cada opción y determina cuál es la más beneficiosa económicamente para el ingeniero. (Nota: En la opción A debes sumar 60 términos; en la opción B debes sumar 5 términos anuales).