Exercicis: Concepte de funció

En una botiga d'aplicacions, cada joc prémium té un preu fix de $2,50$ €. Volem analitzar la relació entre el nombre de jocs comprats i el cost total de la compra.

1. a) Identifica quina és la variable independent i quina és la variable dependent.
2. b) És aquesta relació una funció? Raona la teva resposta basant-te en la definició de funció.
3. c) Escriu l'expressió algebraica (fórmula) que relaciona totes dues magnituds, anomenant $x$ al nombre de jocs i $y$ al cost total.

Observa les relacions següents entre magnituds i determina, en cada cas, si es tracta d'una funció o no:

1. a) A cada número de telèfon mòbil li associem el nom del seu propietari a l'agenda.
2. b) A cada estudiant de la teva classe li associem la seva alçada mesurada en centímetres.
3. c) A cada codi de barres d'un supermercat li associem el preu del producte corresponent.
4. d) A cada persona li associem el color d'ulls dels seus germans.

Lucía està controlant el consum de bateria del seu telèfon intel·ligent mentre juga a un videojoc. La gràfica següent mostra el percentatge de bateria restant segons el temps que fa que juga (en minuts):

A partir de la gràfica, respon:

1. a) Quin percentatge de bateria tenia en començar a jugar (temps = $0$)?
2. b) Quanta bateria li queda després de $20$ minuts de joc?
3. c) Si la bateria arriba al $0\%$, quants minuts ha estat jugant en total?

Donada la funció definida per l'expressió algebraica $f(x) = 3x - 2$, completa la taula de valors següent al teu quadern:

$x$ (Entrada)	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$ (Sortida)

Un cop completada, indica quina és la imatge de $x = -1$.

Perquè una gràfica representi una funció, qualsevol línia vertical que tracem ha de tallar la gràfica en un únic punt. Utilitza aquesta "prova de la línia vertical" per decidir quina de les gràfiques següents NO és una funció:

Justifica la teva elecció explicant què passa a la gràfica escollida en traçar una línia vertical.

El preu d'una subscripció mensual a una plataforma de sèries és de $9$ €, però el primer mes té una oferta i només costa $3$ €.

1. a) Elabora una taula que relacioni el nombre de mesos subscrit (de $1$ a $4$ mesos) amb la despesa total acumulada.
2. b) Representa aquests quatre punts en un sistema d'eixos cartesians.
3. c) Té sentit unir els punts amb una línia contínua? Explica per què.

Un excursionista puja una muntanya seguint un sender. La funció que relaciona la seva altitud sobre el nivell del mar, $H$ (en metres), amb la distància horitzontal recorreguda, $d$ (en quilòmetres), és $H(d) = 400 + 150d$.

1. a) A quina altitud es troba el punt d'inici de la ruta ($d = 0$)?
2. b) Si l'excursionista ha recorregut $3$ km en horitzontal, a quina altitud es troba?
3. c) Identifica les variables de la funció i explica el seu significat físic.

Observa els punts representats en el pla cartesià següent, que mostren la temperatura d'un hivernacle durant les primeres hores del matí:

Indica les coordenades $(x, y)$ dels quatre punts marcats a la gràfica i explica què significa cadascuna d'elles en el context del problema. (Exemple: A l'hora $1$, la temperatura és de... ).

En un institut, s'estan analitzant diferents relacions entre magnituds. Determina de manera raonada quines de les situacions següents corresponen a una funció i, en cas afirmatiu, identifica la variable independent i la variable dependent:

1. a) A cada número de DNI dels alumnes se li associa la seva edat actual.
2. b) A cada temperatura màxima assolida al pati durant un dia se li associen les hores en què es va registrar aquesta temperatura.
3. c) A la quantitat de gigabytes ($GB$) consumits en una tarifa mòbil se li associa el preu mensual de la factura.
4. d) A cada nombre natural se li associen els seus divisors.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra una tarifa fixa de $1,20$ € per desbloquejar el vehicle i una quota variable de $0,15$ € per cada minut d'ús.

1. a) Identifica les dues variables que hi intervenen i classifica-les en dependent i independent.
2. b) Escriu l'expressió analítica o fórmula que permet calcular el cost total del lloguer, $y$, en funció del temps d'ús en minuts, $x$.
3. c) Calcula quant pagarà un estudiant que utilitza el patinet durant $22$ minuts per anar de casa seva a l'institut.

Observa les gràfiques següents representades en el pla cartesià. Utilitzant el criteri de la recta vertical, indica raonadament quina representa una funció i quina no.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{2}$, fes les tasques següents:

1. a) Calcula les imatges dels valors $x = 0$, $x = 2$ i $x = -4$.
2. b) Determina el valor de $x$ (antiimatge) la imatge del qual és $f(x) = 6$.
3. c) Pertany el punt $P(-1; -1,5)$ a la gràfica de la funció? Justifica la teva resposta fent els càlculs necessaris.

La taula següent mostra la quantitat d'aigua (en litres) que queda en una piscina portàtil mentre es buida mitjançant una bomba d'extracció:

Temps (minuts)	0	5	10	15	20
Aigua (litres)	4500	3600	2700	1800	900

1. a) És una relació funcional? Explica per què.
2. b) Representa els punts en un sistema d'eixos coordinats triant una escala adequada.
3. c) Si la tendència es manté constant, quant de temps trigarà la piscina a buidar-se per complet?
4. d) Quin volum d'aigua hi haurà quan hagin passat $12$ minuts des de l'inici del buidatge?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'àrea d'un rectangle la base del qual mesura el doble que la seva altura es pot expressar com una funció.

1. a) Si anomenem $x$ a la mesura de l'altura del rectangle, escriu l'expressió analítica de la funció àrea $A(x)$.
2. b) Quina és la variable independent i quina la dependent?
3. c) Calcula l'àrea quan l'altura és de $4,5$ $cm$.
4. d) Si l'àrea del rectangle és de $50$ $cm^2$, quant mesura la seva altura?

Un excursionista registra el percentatge de bateria que queda al seu telèfon intel·ligent al llarg d'una caminada per la muntanya. La gràfica resultant és la següent:

A la vista de la gràfica, respon:

1. a) Quines són les variables independent i dependent? Indica les unitats de mesura.
2. b) Quin era el percentatge de bateria a l'inici de l'excursió?
3. c) És una funció creixent o decreixent? Quin significat físic té això en el context del problema?
4. d) Estima quant de temps ha passat quan al telèfon li queda exactament el $50$% de la càrrega.

Considera la relació que associa a cada nombre enter $x$ el seu valor absolut més tres unitats, és a dir, $y = |x| + 3$.

1. a) Elabora una taula de valors per als nombres enters compresos entre $-3$ i $3$.
2. b) Representa els punts obtinguts en un sistema d'eixos cartesians.
3. c) Té sentit unir els punts amb una línia contínua si l'enunciat diu que $x$ és un nombre enter? Explica per què.
4. d) Indica quin seria el recorregut (conjunt de valors que pren la variable dependent) basant-te en la teva taula i gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un programador de videojocs està dissenyant el sistema de recompenses d'un nou nivell. La quantitat de "Crèdits Estel·lars" ($C$) que rep un jugador depèn del temps ($t$) en minuts que triga a completar una missió, segons la relació:

$$C(t) = \frac{600}{t-5}$$

La figura mostra la gràfica d'aquesta relació per als temps que permet el joc.

1. a) Indica raonadament si aquesta relació és una funció per a qualsevol valor de $t$ més gran que zero.

1. b) Si el temps mínim per completar la missió físicament és de 6 minuts i el màxim permès pel servidor és de 60 minuts, determina el domini i el recorregut d'aquesta funció en aquest context real.

1. c) Què passa amb la recompensa a mesura que el jugador s'apropa al temps de 5 minuts? Tindria sentit que el domini inclogués el valor $t = 5$?

Considera la relació que associa a cada nombre real $x$ la seva distància al nombre enter més pròxim. Per exemple, si $x = 2,3$, la seva distància a l'enter més pròxim (2) és $0,3$. Si $x = 2,8$, la seva distància a l'enter més pròxim (3) és $0,2$.

1. a) Representa gràficament aquesta relació en l'interval $x \in [0, 3]$.
2. b) Explica per què aquesta relació és una funció.
3. c) Determina el recorregut (imatge) de la funció.
4. d) És una funció periòdica? En cas afirmatiu, indica quin és el seu període.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria amb drons cobra pels seus serveis de la manera següent: un cost fix de $5\,€$ per gestió i, a més, $2\,€$ per cada quilogram de pes. Tanmateix, si el paquet supera els $10\,\text{kg}$, el cost per quilogram addicional (només els quilograms que passin de 10) es redueix a la meitat.

1. a) Expressa la funció $P(x)$ que representa el preu total de l'enviament en funció dels quilograms $x$ del paquet. Atenció: la funció ha de tenir dues expressions (una funció definida a trossos).

1. b) Calcula $P(8)$ i $P(15)$.

1. c) Representa la gràfica de la funció.

1. d) Si un client ha pagat $31\,€$, quants quilograms pesava el seu paquet?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol construir un marc rectangular de fusta per a un mirall. Disposem d'un llistó de fusta de $4$ metres de longitud total per fer tot el contorn.

1. a) Si anomenem $x$ a la longitud de la base del marc (en metres), expressa la funció $A(x)$ que calcula l'àrea tancada pel marc.
2. b) Quin és el domini d'aquesta funció tenint en compte les restriccions físiques del problema?
3. c) Calcula l'àrea quan la base mesura $0,5 m$ i quan mesura $1,5 m$.
4. d) Per a quin valor de $x$ s'obté l'àrea màxima? Quina forma geomètrica té el marc en aquest cas?

Analitza les gràfiques següents i determina si representen una funció o no. Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de relació entre variable independent i dependent.

1. a) $x^2 + y^2 = 25$ (Una circumferència de radi 5 centrada en l'origen).
2. b) $y = \sqrt{x}$ (Considerant només l'arrel positiva).
3. c) Una línia vertical en el pla cartesià que passa per $x = 4$.
4. d) Una paràbola tombada la qual té per equació $x = y^2$.

Un dipòsit d'aigua té forma de con invertit. S'està omplint d'aigua a un ritme constant. La relació entre el volum d'aigua ($V$) i l'altura que assoleix l'aigua ($h$) ve donada per la funció:

$$V(h) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (0,5h)^2 \cdot h$$

1. a) Simplifica l'expressió de la funció $V(h)$.
2. b) És una funció lineal? Justifica la teva resposta observant el grau de la variable $h$.
3. c) Calcula l'antiimatge de $V = \frac{2\pi}{3}$, és a dir, l'altura $h$ necessària per tenir aquest volum.
4. d) Si el dipòsit té una altura total de $4 metros$, quin és el domini i el recorregut de la funció en aquesta situació?

Observa la taula de valors següent que relaciona dues magnituds, $A$ i $B$:

Magnitud A ($x$)	-2	-1	0	1	2
Magnitud B ($y$)	5	2	1	2	5

1. a) Troba una expressió analítica (fórmula) que relacioni $y$ amb $x$.
2. b) Indica si és una funció i justifica per què.
3. c) Determina els punts de tall amb els eixos.
4. d) Si ampliem la taula amb el valor $x = 1$ i li assignem $y = 3$, continuaria sent una funció? Raona la resposta.

Una companyia de telefonia ofereix una tarifa per a adolescents anomenada "Gamer Pro". El cost mensual ($C$) en euros depén dels gigabytes ($g$) consumits:

• Els primers $20\ \text{GB}$ són gratuïts (inclosos en la quota fixa de $15\ €$).

• A partir de $20\ \text{GB}$, cada gigabyte extra costa $1,5\ €$, però només fins a un màxim de $50\ \text{GB}$ de consum total.

• Si es consumeixen més de $50\ \text{GB}$, la velocitat es redueix i no es cobra res més.

1. a) Representa gràficament la funció $C(g)$ per a un consum d'entre $0$ i $80\ \text{GB}$.

1. b) Defineix la funció mitjançant una expressió analítica a trossos.

1. c) Indica els intervals on la funció és constant i on és creixent.

1. d) Quin és el domini i el recorregut d'aquesta funció?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.