Ejercicios: Los números primos

En un videojuego de estrategia, necesitas clasificar los cristales de energía según su pureza. Los cristales con números primos dan energía extra, mientras que los números compuestos deben ser procesados.

Clasifica los siguientes números en la tabla de tu cuaderno:

$11, 15, 23, 27, 31, 39, 42, 47, 51$

Para organizar las estanterías de una biblioteca escolar, el bibliotecario utiliza los criterios de divisibilidad. Sin realizar la división larga, indica cuáles de los siguientes números son divisibles por $3$ y cuáles por $5$:

1. a) $123$
2. b) $405$
3. c) $1.020$
4. d) $715$

La Criba de Eratóstenes es un método antiguo para encontrar números primos tachando los múltiplos de números anteriores. Observa el siguiente gráfico de los números del $1$ al $20$:

Copia la cuadrícula en tu cuaderno y completa el proceso hasta el número $50$ para identificar todos los números primos menores que $50$.

En clase de Matemáticas estamos aprendiendo a descomponer números en sus bloques fundamentales: los factores primos. Realiza la descomposición factorial (usando la "raya vertical") de los siguientes números:

1. a) $24$
2. b) $60$
3. c) $100$

Un programador está creando una lista de todos los divisores del número $30$ para un algoritmo de seguridad.

Utiliza su descomposición en factores primos para encontrar todos sus divisores naturales.

Pista: Recuerda que el $1$ y el propio número siempre son divisores.

Una tienda de chuches quiere empaquetar $20$ piruletas de fresa y $28$ de limón en bolsas iguales, de forma que tengan el máximo número de piruletas posibles sin mezclarlas. Para ello deben calcular el Máximo Común Divisor (M.C.D.).

Calcula el M.C.D. de $20$ y $28$ y explica cuántas piruletas habrá en cada bolsa.

Dos amigos corren en una pista circular. Ana tarda $8$ minutos en dar una vuelta y Borja tarda $12$ minutos. Si salen juntos de la línea de meta, ¿cuántos minutos pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez en la meta?

Utiliza el mínimo común múltiplo (m.c.m.) para resolverlo.

¿Sabías que los números primos se utilizan para crear códigos de seguridad en internet? Un código secreto es un número primo mayor que $40$ y menor que $50$. ¿Qué números podrían ser el código? Comprueba tu respuesta usando los criterios de divisibilidad.

En un juego de estrategia online, para desbloquear un cofre necesitas introducir una clave de cuatro cifras de la forma $52X4$. Si el sistema te indica que la clave es un número divisible por $3$ y por $4$ simultáneamente, ¿cuáles son todos los posibles valores que puede tomar la cifra $X$? Razona tu respuesta aplicando los criterios de divisibilidad correspondientes.

Una aplicación de mensajería utiliza un filtro de seguridad que solo permite pasar mensajes cuyo identificador sea un número primo. Clasifica los siguientes identificadores en números primos o números compuestos, justificando tu decisión en cada caso mediante la búsqueda de algún divisor distinto de la unidad y el propio número:

1. a) $119$
2. b) $131$
3. c) $143$
4. d) $151$
5. e) $203$

Observa el siguiente árbol de factores incompleto que representa la descomposición de un número natural. Tu tarea es completarlo y escribir finalmente la descomposición factorial de dicho número utilizando potencias de factores primos.

En una estación de metro de Madrid coinciden tres líneas a las $07:00$ de la mañana. La línea $L1$ pasa cada $12$ minutos, la línea $L2$ cada $15$ minutos y la línea $L5$ cada $20$ minutos.

1. a) ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que vuelvan a coincidir por primera vez?
2. b) ¿A qué hora exacta se producirá ese encuentro?

Un banco de alimentos ha recibido una donación de $120$ botes de legumbres, $150$ litros de leche y $72$ latas de conserva. Quieren preparar el mayor número posible de cajas iguales para repartir a familias necesitadas, sin que sobre nada de ningún producto.

1. a) ¿Cuántas cajas pueden preparar como máximo?
2. b) ¿Qué cantidad de cada producto llevará cada una de esas cajas?

Se sabe que el máximo común divisor de dos números es $m.c.d.(a, b) = 15$ y que su producto es $a \cdot b = 6750$. Utiliza la relación matemática entre el producto de dos números y sus divisores/múltiplos comunes para hallar el mínimo común múltiplo de dichos números sin necesidad de calcularlos por separado.

Se llaman números primos gemelos a aquellas parejas de números primos que están separados únicamente por un número par (es decir, su diferencia es $2$). Por ejemplo, $3$ y $5$ son primos gemelos.

1. a) Encuentra todas las parejas de números primos gemelos menores que $60$.
2. b) ¿Es la pareja $(21, 23)$ una pareja de primos gemelos? Justifica tu respuesta.

Calcula el valor numérico de los números $A$ y $B$ a partir de sus descomposiciones factoriales y, posteriormente, halla el $m.c.m.(A, B)$ y el $m.c.d.(A, B)$.

$A = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$B = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$

Indica si $A$ y $B$ son primos entre sí y explica por qué basándote en el resultado del máximo común divisor.

Un experto en ciberseguridad está diseñando un sistema de cifrado para una aplicación de mensajería. La clave de seguridad principal es un número $N$ que se obtiene multiplicando los dos únicos números primos gemelos que existen entre $100$ y $110$. Sin embargo, al revisar la lista, se da cuenta de que no existen primos gemelos en ese intervalo. Para solucionar el problema, decide que la clave será el producto de los dos números primos más cercanos a $105$ (uno por debajo y otro por arriba).

Determina cuáles son esos dos números primos, comprueba razonadamente que lo son mediante el método de la raíz cuadrada y calcula el valor de la clave de seguridad $N$.

En una exhibición de gimnasia rítmica, hay un grupo de $p$ gimnastas. El coreógrafo intenta organizar a las deportistas en filas y columnas para formar un rectángulo perfecto, pero observa que la única forma de hacerlo es colocando a todas en una sola fila. Al añadir una gimnasta más al grupo, el número total de personas $(p+1)$ se convierte en un número que tiene exactamente 8 divisores.

Si se sabe que $40 < p < 60$, identifica el valor de $p$, demuestra que es un número primo y encuentra todas las formas posibles de organizar el grupo de $(p+1)$ gimnastas en rectángulos de más de una fila.

La conjetura de Goldbach afirma que todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos. Tu tarea es investigar esta conjetura para el número $120$.

Busca y escribe todas las parejas de números primos cuya suma sea exactamente $120$. Para demostrar que los números elegidos son realmente primos, selecciona la pareja cuyos componentes estén más alejados entre sí y aplica el criterio de divisibilidad de los números primos menores que $\sqrt{n}$ para cada uno de ellos.

Un arquitecto está diseñando una plaza circular y quiere colocar farolas en el borde. El número de farolas debe ser un número primo $n$. Para que la iluminación sea estética, el arquitecto ha descubierto que si resta 1 al número de farolas $(n-1)$, el resultado debe ser un número cuya descomposición en factores primos sea $2^3 \cdot 3^2$.

Calcula el valor de $n$, justifica por qué es un número primo y representa en un diagrama de árbol la descomposición factorial del número compuesto $(n-1)$.

Se dice que un número natural es "especial" si es el producto de tres números primos distintos y menores que $20$. Un ejemplo sería $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Halla el número "especial" más grande posible y el más pequeño posible. A continuación, averigua cuántos divisores tiene cada uno de estos dos números sin necesidad de enumerarlos todos, utilizando únicamente los exponentes de su descomposición factorial.

Averigua el valor de la cifra $X$ para que el número $35X1$ sea un número primo. Para ello, sigue estos pasos:

1. Aplica los criterios de divisibilidad para descartar valores de $X$ que lo hagan divisible por $3$ o $11$.

2. De los valores restantes, utiliza el método de la raíz cuadrada para comprobar cuál de ellos genera un número primo. Ten en cuenta que solo necesitas probar la divisibilidad por números primos hasta la parte entera de $\sqrt{35X1}$.

Dos cometas pasan cerca de la Tierra de forma periódica. El cometa A pasa cada $p$ años, siendo $p$ un número primo. El cometa B pasa cada $q$ años, siendo $q$ el siguiente número primo consecutivo a $p$. Se sabe que la última vez que coincidieron fue hace $77$ años y que esa fue la primera vez que se veían desde que se tiene constancia histórica.

Si $p$ y $q$ son números de dos cifras, identifica de qué números se trata y calcula cuántos años tendrán que pasar para que vuelvan a coincidir de nuevo.

Considera los números naturales entre $90$ y $100$.

1. a) Clasifícalos en primos y compuestos.
2. b) Para los números compuestos, indica cuál de ellos tiene la mayor cantidad de divisores distintos.
3. c) ¿Existe algún número en ese intervalo que sea el resultado de elevar un número primo a una potencia mayor que 1? Justifica tu respuesta.