Exercicis: Taula d'una funció

En un festival de música, el preu d'una entrada és de $15$ €. Si volem comprar diverses entrades per a un grup d'amics, la relació entre el nombre d'entrades i el cost total es pot organitzar en una taula.

Completa els valors que falten en la taula de valors següent:

Nombre d'entrades ($x$)	1	2	3	4	10
Cost total en € ($y$)	$15$	?	?	$60$	?

Un ciclista avança per una ruta a una velocitat constant de $20$ km/h. La taula següent mostra la distància recorreguda segons el temps transcorregut:

Temps en hores ($x$)	0,5	1	1,5	2	3
Distància en km ($y$)	$10$	$20$	$30$	$40$	$60$

A partir de la taula, indica:

• a) Quina és la variable independent i quina és la variable dependent?

• b) És una funció contínua o discreta? Raona la teva resposta.

Donada la funció definida per l'expressió algebraica $y = 3x - 2$, construeix una taula de valors calculant la imatge ($y$) per als valors següents de la variable independent:

$x = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra una quota fixa de $2$ € per desbloquejar el patinet i després $0,50$ € per cada minut d'ús.

Completa la taula que relaciona el temps d'ús amb el cost total del lloguer:

Temps en min ($x$)	0	10	20	30	60
Cost en € ($y$)	$2$	?	?	?	?

Observa la taula de valors següent, que relaciona dues magnituds:

$x$	1	2	3	4	5
$y$	12	6	4	3	2,4

1. a) Comprova que el producte $x \cdot y$ és constant en tots els parells de valors. Quin és aquest valor?

1. b) De quin tipus de funció es tracta (lineal, afí o de proporcionalitat inversa)?

Perquè una relació sigui una funció, a cada valor de la variable independent ($x$) li ha de correspondre un únic valor de la variable dependent ($y$).

Indica quina de les taules següents NO representa una funció i explica per què:

Taula A:

$x$	1	2	3	4
$y$	5	5	7	7

Taula B:

$x$	1	2	2	3
$y$	4	5	6	8

Volem estudiar com varia el perímetre d'un quadrat segons la longitud del seu costat. Recorda que un quadrat té els seus quatre costats iguals i que el perímetre és la suma de tots ells.

Completa la taula de valors i respon: quant val la constant de proporcionalitat entre el perímetre i el costat?

Costat en cm ($x$)	1	2,5	3	5	10
Perímetre en cm ($y$)	?	?	$12$	?	?

Un servei de streaming de pel·lícules té una oferta: el primer mes costa només $2$ € i cada mes addicional costa $8$ €.

Escriu la funció que relaciona el nombre de mesos contractats ($x$) amb el cost total ($y$) i completa la taula de valors següent:

Mesos ($x$)	1	2	3	6	12
Cost total en € ($y$)	$2$	?	?	?	?

Una plataforma de streaming de videojocs ofereix un pla prèmium que costa $5 \text{ €}$ al mes com a quota fixa, més $0,50 \text{ €}$ per cada hora de joc d'alta qualitat.

La funció que relaciona el cost mensual $y$ amb el nombre d'hores jugades $x$ és $y = 0,5x + 5$.

Completa la taula de valors següent a la teva llibreta per analitzar la despesa mensual:

Hores jugades ($x$)	$0$	$4$	$10$	$20$	$35$
Cost total ($y$)

Observa la relació entre la longitud del costat d'un quadrat i la seva àrea. Sabem que si el costat mesura $x$, l'àrea ve donada per la funció $y = x^2$.

Copia i completa la taula a la teva llibreta:

Costat del quadrat ($x$) en $cm$	$1$	$2,5$	$4$	$5$	$6,2$
Àrea ($y$) en $cm^2$

És aquesta una funció de proporcionalitat directa? Justifica la teva resposta basant-te en els valors de la taula.

Un grup d'amics vol llogar una casa rural que costa $240 \text{ €}$ el cap de setmana. El preu que ha de pagar cadascun ($y$) depèn del nombre de persones que hi vagin ($x$).

La taula que relaciona les dues magnituds és la següent:

Persones ($x$)	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$
Preu per persona ($y$)	$120$		$60$			$30$

1. a) Completa els valors que falten.

1. b) Escriu la fórmula de la funció.

1. c) De quin tipus de funció es tracta (lineal, afí o de proporcionalitat inversa)?

Una empresa de missatgeria cobra $4 \text{ €}$ per l'enviament d'un paquet, més una quantitat variable de $1,20 \text{ €}$ per cada quilogram de pes.

1. a) Identifica la variable independent i la variable dependent.
2. b) Crea una taula de valors que relacioni el pes del paquet (des de $1 \text{ kg}$ fins a $5 \text{ kg}$) amb el cost total de l'enviament.
3. c) Escriu l'expressió algebraica de la funció.

Donada la funció $y = -2x + 3$, completa la taula de valors següent incloent nombres negatius i decimals:

$x$	$-2$	$-0,5$	$0$	$1$	$2,5$
$y$

Tenint en compte els resultats, indica si la funció és creixent o decreixent.

S'ha mesurat la temperatura d'un congelador des que es va encendre. Les dades obtingudes es mostren a la taula següent:

Temps transcorregut ($min$)	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
Temperatura ($^\circ C$)	$18$	$10$	$2$	$-6$	$-14$

1. a) Quina és la temperatura inicial del congelador?

1. b) Quants graus baixa la temperatura cada $5$ minuts? És un descens uniforme?

1. c) Si la tendència es manté, quina temperatura hi haurà als $25$ minuts?

Troba l'expressió algebraica de la funció que correspon a la taula de valors següent:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-2$	$1$	$4$	$7$	$10$

Un dron s'enlaira des del terra i ascendeix a una velocitat constant de $3$ metres per segon.

1. a) Elabora una taula de valors que relacioni el temps de vol (en segons) amb l'altura assolida (en metres) per als instants $t = 0, 2, 4, 6, 8, 10$.

1. b) Quina altura assolirà el dron als $12$ segons?

1. c) Quant de temps tardarà a assolir una altura de $45$ metres? Amplia la taula si cal per respondre.

Una empresa de telecomunicacions ofereix una tarifa de dades per a "gamers" que consisteix en una quota fixa de $12 \text{ €}$ al mes. Aquesta quota inclou els primers $20 \text{ GB}$ de descàrrega. A partir d'aquí, cada $\text{GB}$ extra costa $1,5 \text{ €}$.

a) Completa la taula de valors següent, que relaciona el consum de dades en un mes ($x$) amb el cost total de la factura ($y$):

Dades consumides ($GB$)	10	20	25	30	40
Cost total ($€$)

b) És aquesta relació una funció de proporcionalitat directa? Justifica la teva resposta analitzant els quocients de la taula.

c) Determina l'expressió algebraica de la funció per al tram en què el consum és superior a $20 \text{ GB}$.

Un equip d'espeleòlegs està descendint a un avenc profund. Han observat que la temperatura augmenta de manera constant a mesura que baixen. A nivell del terra ($0 \text{ m}$) la temperatura és de $18 \text{ °C}$. Per cada $150 \text{ m}$ de descens, la temperatura augmenta $2,25 \text{ °C}$.

a) Construeix una taula de valors que meostri la temperatura per a profunditats de $0, 300, 600, 900$ i $1200$ metres sota el nivell del terra.

b) Calcula la constant de creixement (pendent) d'aquesta funció, expressant quant augmenta la temperatura per cada metre de descens.

c) Si al fons de l'avenc el termòmetre marca $45 \text{ °C}$, utilitza la lògica de la taula per determinar a quina profunditat es troben.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues plataformes de streaming competeixen per aconseguir clients. La plataforma "CineTotal" cobra una quota fixa de $8 \text{ €}$ i $0,50 \text{ €}$ per cada pel·lícula d'estrena llogada. La plataforma "EstrenosYA" no té quota fixa, però cobra $2,50 \text{ €}$ per cada pel·lícula d'estrena.

a) Elabora una taula de valors comparativa per al lloguer de $0, 2, 4, 5$ i $6$ pel·lícules a totes dues plataformes.

b) Analitzant la taula, a partir de quantes pel·lícules comença a ser més rendible la subscripció a "CineTotal"?

c) Quin tipus de funció representa cada plataforma? (Lineal, afí o constant).

En un laboratori de física s'està estudiant la relació entre la pressió i el volum d'un gas a temperatura constant (Llei de Boyle). Les dades obtingudes es recullen en la taula de valors següent:

Volum $V$ ($litros$)	2	4	5	8	10
Pressió $P$ ($atm$)	10	5	4	2,5	2

a) Comprova si es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa calculant la constant de proporcionalitat $k = V \cdot P$ per a cada parell de valors.

b) Quin volum ocuparà el gas si la pressió augmenta fins a $20 \text{ atm}$?

c) Si el volum es redueix a la quarta part de l'inicial ($2 \text{ litres}$), què passa amb la pressió segons la constant trobada?

Un jardiner utilitza un dipòsit de $500 \text{ litros}$ d'aigua per regar. El dipòsit perd aigua a un ritme constant de $12,5 \text{ litros}$ per minut quan el reg està encès. El gràfic mostra com varia el volum d'aigua del dipòsit amb el temps.

a) Crea una taula de valors que relacioni el temps transcorregut ($0, 5, 10, 20, 30$ minuts) amb la quantitat d'aigua restant al dipòsit.

b) Identifica el valor de l'ordenada a l'origen (quantitat inicial) i el pendent (ritme de pèrdua) a partir de les dades de la teva taula.

c) Quant de temps trigarà el dipòsit a quedar-se exactament a la meitat de la seva capacitat?

Donada la taula de valors següent d'una funció afí, troba els valors perduts i determina l'expressió algebraica que la defineix:

$x$	-2	-1	0	1	3
$y$	-11		-5	-2

a) Calcula l'augment de $y$ per cada unitat que augmenta $x$ per trobar el pendent $m$.

b) Completa els buits de la taula basant-te en la regularitat trobada.

c) Escriu l'expressió analítica de la funció de la forma $y = mx + n$.

Un ciclista professional realitza un entrenament de resistència. La taula mostra la distància recorreguda en funció del temps, però en diferents trams d'intensitat:

Temps ($h$)	0	1	1,5	2,5	4
Distància ($km$)	0	30	45	75	120

a) Indica si la velocitat ha estat constant durant tot l'entrenament analitzant els increments de la taula.

b) Quina distància haurà recorregut després de $3 \text{ hores i } 15 \text{ minuts}$ si manté el mateix ritme que en l'últim tram?

c) Representa els punts de la taula en un sistema de coordenades. Estan tots els punts alineats sobre la mateixa recta que passa per l'origen?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una ONG ha calculat que el cost d'enviar paquets d'ajuda humanitària depèn del nombre de camions utilitzats. Els costos fixos de logística són de $2500 \text{ €}$ i el cost operatiu de cada camió és de $1200 \text{ €}$.

a) Completa la taula de valors relacionant el nombre de camions ($1, 2, 5, 10$) amb el cost total de l'enviament.

b) Si el pressupost màxim de la ONG per a un enviament és de $20000 \text{ €}$, afegeix una columna a la taula calculant els diners sobrants en cada cas.

c) És la funció "diners sobrants" una funció creixent o decreixent? Justifica la teva resposta observant la taula.