Exercicis: Representació al pla cartesià

En el pla cartesià següent s'han marcat les posicions de quatre objectes en una habitació. Escriu les coordenades $(x, y)$ de cadascun dels punts representats: el comandament ($A$), el llibre ($B$), les claus ($C$) i la motxilla ($D$).

Dibuixa un sistema d'eixos de coordenades a la teva llibreta i identifica en quin quadrant (primer, segon, tercer o quart) es troben els punts següents sense necessitat de representar-los:

• $P(4, 7)$

• $Q(-3, 5)$

• $R(-2, -8)$

• $S(6, -1)$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estem dissenyant un nivell per a un videojoc en una quadrícula. Tres dels vèrtexs d'una habitació rectangular són els punts $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ i $C(6, 5)$.

1. a) Representa els punts en un pla cartesià.

1. b) Quines han de ser les coordenades del quart vèrtex $D$ perquè l'habitació sigui un rectangle perfecte?

1. c) Uneix els punts en ordre ($A$, $B$, $C$ i $D$) i comprova la teva resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Completa les frases següents sobre el sistema de coordenades cartesianes:

1. a) L'eix horitzontal rep el nom d'eix d'________ i es representa amb la lletra $X$.
2. b) L'eix vertical rep el nom d'eix d'________ i es representa amb la lletra $Y$.
3. c) El punt d'intersecció de tots dos eixos es diu ________ i les seves coordenades són $(0, 0)$.

Un dron de repartiment surt del centre logístic, situat al punt $(0, 0)$. Fa dos lliuraments: el primer al punt $A(0, 4)$ i el segon al punt $B(5, 0)$.

1. a) Indica sobre quin eix es troba cadascun dels punts de lliurament.

1. b) Si el dron vola en línia recta des del punt $A$ fins al punt $B$, representa la trajectòria en uns eixos de coordenades (en paper quadriculat, amb una unitat per quadrat). Marca també els punts $A$ i $B$.

Representa en una quadrícula els punts següents i uneix-los seguint l'ordre alfabètic. Quan acabis, uneix l'últim punt amb el primer. Quina figura geomètrica has obtingut?

• $A(-2, 2)$

• $B(2, 2)$

• $C(2, -2)$

• $D(-2, -2)$

Donats els punts $M(3, 2)$ i $N(3, -4)$:

1. a) Representa'ls en el pla cartesià.

1. b) Què tenen en comú les seves coordenades?

1. c) Si dibuixes la recta que passa per tots dos, és una recta horitzontal o vertical?

Dibuixa el punt $A(-4, 3)$ a la teva llibreta.

1. a) Escriu les coordenades d'un punt $B$ que tingui la mateixa abscissa que $A$, però la seva ordenada sigui l'oposada.
2. b) Escriu les coordenades d'un punt $C$ que tingui la mateixa ordenada que $A$, però la seva abscissa sigui l'oposada.
3. c) Representa els tres punts i observa la simetria que es crea respecte als eixos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un grup d'arqueòlegs està cartografiant les ruïnes d'una antiga ciutat romana. Han situat el centre d'un amfiteatre a l'origen de coordenades $O(0,0)$. Representa en un pla cartesià (al teu quadern, amb paper quadriculat) els punts d'interès següents i determina en quin quadrant es troba cadascun:

• Temple de Júpiter: $A(-4, 3)$

• Termes públiques: $B(5, -2)$

• Porta Nord: $C(0, 6)$

• Fòrum: $D(-3, -5)$

• Mercat: $E(6, 4)$

Si decidissin construir una tanca que unís els punts $E$, $B$ i $A$, quin tipus de figura geomètrica es formaria?

Observa els punts representats en el radar de navegació marítima següent. Escriu les coordenades dels vaixells identificats amb les lletres $P$, $Q$, $R$ i $S$. Indica a més quins vaixells tenen la mateixa abscissa i quins estan situats sobre un dels eixos de coordenades.

Dibuixa un sistema d'eixos cartesians i representa els punts $A(2, 1)$ i $B(2, 5)$.

• Troba les coordenades d'un punt $C$ de manera que el triangle $ABC$ sigui un triangle rectangle i isòsceles (que tingui dos costats iguals i un angle de $90^\circ$).

• Existeix més d'una solució possible? Escriu les coordenades de totes les que trobis.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un videojoc d'estratègia, la base d'operacions està en el punt $M(-3, 2)$. El programador vol col·locar tres llocs de vigilància en posicions simètriques:

• El lloc $P_1$ és el simètric de $M$ respecte a l'eix X.

• El lloc $P_2$ és el simètric de $M$ respecte a l'eix Y.

• El lloc $P_3$ és el simètric de $M$ respecte a l'origen de coordenades.

Representa els quatre punts al pla cartesià i escriu les seves coordenades.

Un dron de repartiment segueix una ruta lineal. Enlaira des del magatzem al punt $S(-5, -2)$ i ha de passar pels punts $T(-2, 1)$ i $U(1, 4)$ abans d'arribar al seu destí.

1. a) Representa els punts $S$, $T$ i $U$ en un pla cartesià (en paper quadriculat). Estan alineats?

1. b) Si el dron continua la seva trajectòria seguint la mateixa direcció, passarà pel punt $V(4, 7)$? Justifica la teva resposta gràficament: representa també $V$ i la recta que uneix els punts.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa un pla cartesià i localitza els punts següents que formen els vèrtexs d'un rectangle: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ i $C(3, 4)$.

• Troba les coordenades del quart vèrtex $D$ per tancar el rectangle.

• Calcula el perímetre i l'àrea d'aquest rectangle comptant les unitats de la quadrícula.

• En quin quadrant es troba la major part de la superfície del rectangle?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica quins dels punts següents compleixen la condició que la seva ordenada és el doble de la seva abscissa ($y = 2x$):

• $A(1, 2)$

• $B(-2, -4)$

• $C(3; 1,5)$

• $D(-1, 2)$

• $E(0, 0)$

Representa'ls en un pla cartesià. Què observes en unir aquests punts?

En una estació meteorològica s'ha registrat la variació de la temperatura al llarg d'un matí. Les dades obtingudes són:

• A les $0$ hores (mitjanit): $-2\,^\circ C$

• A les $2$ hores: $-1\,^\circ C$

• A les $4$ hores: $2\,^\circ C$

• A les $6$ hores: $4\,^\circ C$

A la figura tens els eixos amb la seva escala (a l'eix $X$, cada unitat és $1$ hora; a l'eix $Y$, cada unitat és $1\,^\circ C$). Copia-la al teu quadern, preferiblement en paper quadriculat, i resol:

1. a) Representa aquestes dades com a punts $(x, y)$ al pla cartesià, on l'eix $X$ representa el temps i l'eix $Y$ la temperatura.

1. b) Uneix els punts amb segments per traçar la gràfica.

1. c) Quin significat té el punt on la gràfica talla l'eix d'abscisses? Indica'n les coordenades de manera aproximada.

1. d) Quin significat té el punt on la gràfica talla l'eix d'ordenades? Indica'n les coordenades.

El disseny d'un nou logotip per a una marca de roba esportiva es basa en un rombe $ABCD$ (amb els vèrtexs en aquest ordre). Se'n coneixen tres vèrtexs: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ i $C(4, 1)$, que apareixen a la figura.

a) Determina les coordenades del quart vèrtex, $D$, perquè la figura $ABCD$ sigui un rombe, i representa'l al pla cartesià.

b) Calcula les coordenades del centre del rombe (el punt on es tallen les seves diagonals).

c) Si volguéssim duplicar la mida del logotip mantenint el vèrtex $A$ al seu lloc (és a dir, multiplicant per 2 les distàncies des d'$A$ a cada vèrtex), quines serien les noves coordenades dels punts $B$ i $C$?

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics utilitza una tarifa "per trams" per evitar trajectes massa curts. El cost $y$ (en euros) depèn del temps $x$ (en minuts) segons aquestes regles:

• Si el trajecte dura entre $0$ i $10$ minuts (inclosos), el cost és de $2$ €.

• Si dura més de $10$ i fins a $20$ minuts, el cost és de $4$ €.

• A partir dels $20$ minuts, el cost és de $4$ € fixos més $0,10$ € per cada minut addicional que passi dels $20$.

a) Representa gràficament aquesta funció al pla cartesià per a un temps de $0$ a $40$ minuts.

b) Indica si la funció és contínua o discontínua. Si és discontínua, assenyala els punts de salt.

c) Quant pagarà una persona que utilitzi el patinet durant $25$ minuts? I una que l'utilitzi $10$ minuts i un segon?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de vigilància fa un recorregut d'anada i tornada des de la seva base. La seva distància a la base (en metres) respecte al temps (en segons) ve donada per la gràfica següent:

a) Determina el domini i el recorregut d'aquesta funció segons la gràfica.

b) Identifica els intervals de temps en què el dron s'allunya de la base, s'hi apropa o roman estàtic.

c) Quina és la velocitat del dron (en m/s) durant els primers $10$ segons? Recorda que $v = \frac{distancia}{tiempo}$.

En un videojoc d'estratègia, l'àrea d'influència d'una torre de defensa està limitada pels punts $(x, y)$ que compleixen la condició següent: el valor absolut de la seva abscissa més el valor absolut de la seva ordenada ha de ser menor o igual que $4$, és a dir, $|x| + |y| \leq 4$.

a) Representa al pla cartesià tots els punts que formen la frontera d'aquesta regió (on $|x| + |y| = 4$). Quina figura geomètrica obtens?

b) Comprova si els punts $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ i $R(0, -4)$ estan dins, fora o al voral de l'àrea d'influència.

c) Calcula l'àrea d'aquesta regió en unitats quadrades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un biòleg mesura la profunditat d'un llac en diferents punts al llarg d'una línia recta que creua d'una riba a l'altra. La riba d'inici és a $x=0$ i la riba final a $x=10$. La profunditat $y$ (en metres, expressada en valors negatius per indicar profunditat) segueix la funció $y = x^2 - 10x$.

a) Crea una taula de valors per a $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Representa els punts en el pla cartesià i uneix-los amb una corba suau.

c) En quin punt s'assoleix la profunditat màxima del llac i quin és aquest valor?

d) Què representa el fet que a $x=0$ i $x=10$ el valor de $y$ sigui $0$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una classe de disseny artístic, els alumnes han de crear figures mitjançant simetries. Es dibuixa un triangle amb els vèrtexs $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ i $C(2, 5)$.

a) Representa el triangle original.

b) Dibuixa el triangle simètric respecte a l'eix $Y$. Escriu les coordenades dels nous vèrtexs $A'$, $B'$ i $C'$.

c) Dibuixa el triangle simètric de l'original respecte a l'origen de coordenades $O(0,0)$. Escriu les coordenades d'aquests nous vèrtexs $A''$, $B''$ i $C''$.

d) Com han canviat els signes de les coordenades en cada cas?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos vaixells, l'Alfa i el Beta, es desplacen per l'oceà. Les seves posicions al pla cartesià (on cada unitat de l'eix vertical representa $1$ milla nàutica) vénen donades per les funcions següents respecte al temps $t$ (en hores):

• Vaixell Alfa: $y = 2t - 4$

• Vaixell Beta: $y = -t + 5$

Utilitza els eixos de la figura (copia'ls al teu quadern) per resoldre els apartats.

a) Representa les dues trajectòries als mateixos eixos de coordenades per a valors de $t$ entre $0$ i $6$.

b) En quin punt del mapa es creuaran els dos vaixells? Troba les coordenades $(t, y)$ d'aquest punt visualment a la gràfica.

c) A quina hora ($t$) succeirà aquesta trobada?

Analitza les dues gràfiques següents, $G_1$ i $G_2$, representades en un mateix sistema d'eixos, i respon raonadament. La gràfica $G_1$ és la recta $y=0{,}5x+4$ i la gràfica $G_2$ és una circumferència amb centre a l'origen i radi $3$.

a) Quines d'elles representen una funció? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte d'"unicitat d'imatge".

b) Per a les que siguin funcions, indica si són creixents o decreixents en tot el seu domini.

c) Fixa't en els punts de $G_2$ amb $x=0$: quins valors de $y$ els corresponen? Què en conclous sobre si $G_2$ compleix la unicitat d'imatge? Posa també un altre valor de $x$ diferent de $0$ per al qual passi el mateix.