Ejercicios: Representación en el plano cartesiano

En el siguiente plano cartesiano se han marcado las posiciones de cuatro objetos en una habitación. Escribe las coordenadas $(x, y)$ de cada uno de los puntos representados: el mando ($A$), el libro ($B$), las llaves ($C$) y la mochila ($D$).

Dibuja un sistema de ejes de coordenadas en tu cuaderno e identifica en qué cuadrante (primero, segundo, tercero o cuarto) se encuentran los siguientes puntos sin necesidad de representarlos:

• $P(4, 7)$

• $Q(-3, 5)$

• $R(-2, -8)$

• $S(6, -1)$

Estamos diseñando un nivel para un videojuego en una cuadrícula. Tres de los vértices de una habitación rectangular son los puntos $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ y $C(6, 5)$.

1. a) Representa los puntos en un plano cartesiano.
2. b) ¿Cuáles deben ser las coordenadas del cuarto vértice $D$ para que la habitación sea un rectángulo perfecto?
3. c) Une los puntos en orden y comprueba tu respuesta.

Completa las siguientes frases sobre el sistema de coordenadas cartesianas:

1. a) El eje horizontal recibe el nombre de eje de ________ y se representa con la letra $X$.
2. b) El eje vertical recibe el nombre de eje de ________ y se representa con la letra $Y$.
3. c) El punto de intersección de ambos ejes se llama ________ y sus coordenadas son $(0, 0)$.

Un dron de reparto parte del centro logístico, situado en el punto $(0, 0)$. Realiza dos entregas: la primera en el punto $A(0, 4)$ y la segunda en el punto $B(5, 0)$.

1. a) Indica sobre qué eje se encuentra cada uno de los puntos de entrega.
2. b) Si el dron vuela en línea recta desde el punto $A$ hasta el punto $B$, representa la trayectoria en unos ejes de coordenadas.

Representa en una cuadrícula los siguientes puntos y únelos siguiendo el orden alfabético. Al finalizar, une el último punto con el primero. ¿Qué figura geométrica has obtenido?

• $A(-2, 2)$

• $B(2, 2)$

• $C(2, -2)$

• $D(-2, -2)$

Dados los puntos $M(3, 2)$ y $N(3, -4)$:

1. a) Represéntalos en el plano cartesiano.
2. b) ¿Qué tienen en común sus coordenadas?
3. c) Si dibujas la recta que pasa por ambos, ¿es una recta horizontal o vertical?

Dibuja el punto $A(-4, 3)$ en tu cuaderno.

1. a) Escribe las coordenadas de un punto $B$ que tenga la misma abscisa que $A$, pero su ordenada sea la opuesta.
2. b) Escribe las coordenadas de un punto $C$ que tenga la misma ordenada que $A$, pero su abscisa sea la opuesta.
3. c) Representa los tres puntos y observa la simetría que se crea respecto a los ejes.

Un grupo de arqueólogos está mapeando las ruinas de una antigua ciudad romana. Han situado el centro de un anfiteatro en el origen de coordenadas $O(0,0)$. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos de interés y determina en qué cuadrante se encuentra cada uno:

• Templo de Júpiter: $A(-4, 3)$

• Termas públicas: $B(5, -2)$

• Puerta Norte: $C(0, 6)$

• Foro: $D(-3, -5)$

• Mercado: $E(6, 4)$

Si decidieran construir una valla que uniera los puntos $E$, $B$ y $A$, ¿qué tipo de figura geométrica se formaría?

Observa los puntos representados en el siguiente radar de navegación marítima. Escribe las coordenadas de los barcos identificados con las letras $P$, $Q$, $R$ y $S$. Indica además qué barcos tienen la misma abscisa y cuáles están situados sobre uno de los ejes de coordenadas.

Dibuja un sistema de ejes cartesianos y representa los puntos $A(2, 1)$ y $B(2, 5)$.

• Encuentra las coordenadas de un punto $C$ de forma que el triángulo $ABC$ sea un triángulo rectángulo e isósceles (que tenga dos lados iguales y un ángulo de $90^\circ$).

• ¿Existe más de una solución posible? Escribe las coordenadas de todas las que encuentres.

En un videojuego de estrategia, la base de operaciones está en el punto $M(-3, 2)$. El programador quiere colocar tres puestos de vigilancia en posiciones simétricas:

• El puesto $P_1$ es el simétrico de $M$ respecto al eje X.

• El puesto $P_2$ es el simétrico de $M$ respecto al eje Y.

• El puesto $P_3$ es el simétrico de $M$ respecto al origen de coordenadas.

Representa los cuatro puntos en el plano cartesiano y escribe sus coordenadas.

Un dron de reparto sigue una ruta lineal. Despega del almacén en el punto $S(-5, -2)$ y debe pasar por los puntos $T(-2, 1)$ y $U(1, 4)$ antes de llegar a su destino.

• Representa los puntos en un plano. ¿Están alineados?

• Si el dron continúa su trayectoria siguiendo la misma dirección, ¿pasará por el punto $V(4, 7)$? Justifica tu respuesta gráficamente.

Dibuja un plano cartesiano y localiza los siguientes puntos que forman los vértices de un rectángulo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ y $C(3, 4)$.

• Halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ para cerrar el rectángulo.

• Calcula el perímetro y el área de este rectángulo contando las unidades de la cuadrícula.

• ¿En qué cuadrante se encuentra la mayor parte de la superficie del rectángulo?

Identifica cuáles de los siguientes puntos cumplen la condición de que su ordenada es el doble de su abscisa ($y = 2x$):

• $A(1, 2)$

• $B(-2, -4)$

• $C(3; 1,5)$

• $D(-1, 2)$

• $E(0, 0)$

Represéntalos en un plano cartesiano. ¿Qué observas al unir estos puntos?

En una estación meteorológica se ha registrado la variación de la temperatura a lo largo de una mañana. Los datos obtenidos son:

• A las $0$ horas (medianoche): $-2^\circ C$

• A las $2$ horas: $-1^\circ C$

• A las $4$ horas: $2^\circ C$

• A las $6$ horas: $4^\circ C$

Representa estos datos como puntos $(x, y)$ en el plano cartesiano, donde el eje $X$ representa el tiempo y el eje $Y$ la temperatura. ¿Qué significado tiene el punto donde la gráfica corta al eje de abscisas? ¿Y el punto donde corta al eje de ordenadas?

El diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa deportiva se basa en un rombo simétrico. Se conocen tres de sus vértices: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ y $C(4, 1)$.

a) Representa estos puntos en el plano cartesiano y determina las coordenadas del cuarto vértice, $D$, para que la figura sea un rombo.

b) Calcula las coordenadas del centro del rombo (el punto donde se cortan sus diagonales).

c) Si quisiéramos duplicar el tamaño del logotipo manteniendo el vértice $A$ en su sitio, ¿cuáles serían las nuevas coordenadas de los puntos $B$ y $C$?

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos utiliza una tarifa "por tramos" para evitar trayectos demasiado cortos. El coste $y$ (en euros) depende del tiempo $x$ (en minutos) según estas reglas:

• Si el trayecto dura entre $0$ y $10$ minutos (inclusive), el coste es de $2$ €.

• Si dura más de $10$ y hasta $20$ minutos, el coste es de $4$ €.

• A partir de los $20$ minutos, el coste es de $4$ € fijos más $0,10$ € por cada minuto adicional que pase de los $20$.

a) Representa gráficamente esta función en el plano cartesiano para un tiempo de $0$ a $40$ minutos.

b) Indica si la función es continua o discontinua. Si es discontinua, señala los puntos de salto.

c) ¿Cuánto pagará una persona que use el patinete durante $25$ minutos? ¿Y una que lo use $10$ minutos y un segundo?

Un dron de vigilancia realiza un recorrido de ida y vuelta desde su base. Su distancia a la base (en metros) respecto al tiempo (en segundos) viene dada por la siguiente gráfica:

a) Determina el dominio y el recorrido de esta función según la gráfica.

b) Identifica los intervalos de tiempo en los que el dron se aleja de la base, se acerca o permanece estático.

c) ¿Cuál es la velocidad del dron (en m/s) durante los primeros $10$ segundos? Recuerda que $v = \frac{distancia}{tiempo}$.

En un videojuego de estrategia, el área de influencia de una torre de defensa está limitada por los puntos $(x, y)$ que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de su abscisa más el valor absoluto de su ordenada debe ser menor o igual que $4$, es decir, $|x| + |y| \leq 4$.

a) Representa en el plano cartesiano todos los puntos que forman la frontera de esta región (donde $|x| + |y| = 4$). ¿Qué figura geométrica obtienes?

b) Comprueba si los puntos $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ y $R(0, -4)$ están dentro, fuera o en el borde del área de influencia.

c) Calcula el área de esta región en unidades cuadradas.

Un biólogo mide la profundidad de un lago en diferentes puntos a lo largo de una línea recta que cruza de una orilla a la otra. La orilla de inicio está en $x=0$ y la orilla final en $x=10$. La profundidad $y$ (en metros, expresada en valores negativos para indicar profundidad) sigue la función $y = x^2 - 10x$.

a) Crea una tabla de valores para $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Representa los puntos en el plano cartesiano y únelos con una curva suave.

c) ¿En qué punto se alcanza la profundidad máxima del lago y cuál es ese valor?

d) ¿Qué representa el hecho de que en $x=0$ y $x=10$ el valor de $y$ sea $0$?

En una clase de diseño artístico, los alumnos deben crear figuras mediante simetrías. Se dibuja un triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(2, 5)$.

a) Representa el triángulo original.

b) Dibuja el triángulo simétrico respecto al eje $Y$. Escribe las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$ y $C'$.

c) Dibuja el triángulo simétrico del original respecto al origen de coordenadas $O(0,0)$. Escribe las coordenadas de estos nuevos vértices $A''$, $B''$ y $C''$.

d) ¿Cómo han cambiado los signos de las coordenadas en cada caso?

Dos barcos, el Alfa y el Beta, se desplazan por el océano. Sus posiciones en el plano cartesiano (donde cada unidad representa $1$ milla náutica) vienen dadas por las siguientes funciones respecto al tiempo $t$ (en horas):

• Barco Alfa: $y = 2t - 4$

• Barco Beta: $y = -t + 5$

a) Representa ambas trayectorias en los mismos ejes de coordenadas para valores de $t$ entre $0$ y $6$.

b) ¿En qué punto del mapa se cruzarán ambos barcos? Halla las coordenadas $(x, y)$ de dicho punto visualmente en la gráfica.

c) ¿A qué hora ($t$) sucederá ese encuentro?

Analiza las siguientes dos gráficas representadas en un mismo sistema de ejes y responde razonadamente:

a) ¿Cuáles de ellas representan una función? Justifica tu respuesta usando el concepto de "unicidad de imagen".

b) Para las que sean funciones, indica si son crecientes o decrecientes en todo su dominio.

c) Si una de las gráficas es una circunferencia centrada en el origen con radio $3$, ¿por qué no puede ser una función? Pon un ejemplo numérico de un valor de $x$ que tenga dos valores de $y$ asociados.