Exercicis: Funció lineal o de proporcionalitat directa

En una botiga de llaminadures, cada bossa de llaminadures costa $1,50 \text{ €}$. Volem estudiar la relació entre el nombre de bosses que comprem ($x$) i els diners totals que paguem ($y$).

Identifica:

• La variable independent.

• La variable dependent.

• La constant de proporcionalitat ($m$).

• L'equació de la funció que relaciona totes dues magnituds.

Observa la taula de valors següent que relaciona el temps que està encesa una bombeta LED ($x$, en hores) amb el consum d'energia ($y$, en watts hora, Wh):

Temps ($x$)	1	2	3	4
Consum ($y$)	9	18	27	36

Indica si es tracta d'una funció de proporcionalitat directa, calcula la seva constant de proporcionalitat i escriu la seva equació.

Troba el pendent de la funció de proporcionalitat directa següent representada en el gràfic i escriu la seva equació de la forma $y = mx$.

Un repartidor de pizzes en bicicleta viatja a una velocitat constant de $20 \text{ km/h}$.

• Escriu la funció que relaciona la distància recorreguda ($y$, en km) amb el temps transcorregut ($x$, en hores).

• Quants quilòmetres haurà recorregut després de $3$ hores de feina?

Completa la taula següent sabent que la relació entre $x$ i $y$ és de proporcionalitat directa amb una constant $m = 4$. Després, representa els punts en un pla cartesià.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica raonadament quina de les tres gràfiques següents correspon a una funció de proporcionalitat directa.

Donada la funció de proporcionalitat directa $y = -3x$:

• Indica el valor del seu pendent.

• La funció és creixent o decreixent?

• Calcula el valor de la imatge per a $x = 2$ i per a $x = -1$.

En una recepta de cuina s'indica que per cada $100 \text{ g}$ de farina cal fer servir $2$ ous.

• Calcula la constant de proporcionalitat que relaciona el nombre d'ous ($y$) amb la quantitat de farina ($x$, mesurada en centenars de grams).

• Escriu l'equació de la funció.

• Si tenim una bossa de $500 \text{ g}$ de farina, quants ous necessitarem segons aquesta funció?

En una campanya de reciclatge, una ONG ha determinat que per cada quilogram d'envasos de plàstic PET que es recicla, s'estalvien $1,5$ litres de petroli en la fabricació de nous productes.

1. a) Escriu la funció que relaciona els quilograms de plàstic reciclats ($x$) amb els litres de petroli estalviats ($y$).

1. b) Crea una taula de valors per a $0, 5, 10$ i $20$ kg de plàstic.

1. c) Quants litres de petroli s'hauran estalviat si l'institut aconsegueix reciclar $120$ kg d'envasos?

Tres amics comparen els seus plans de dades mòbils per veure quants "Gigas" consumeixen en veure vídeos en alta definició. Es sap que el consum és proporcional al temps de visualització.

• Pla A: $y = 0,8x$

• Pla B: $y = 1,2x$

• Pla C: $y = 0,5x$

On $x$ és el temps en hores i $y$ són els Gigas consumits.

1. a) Quin dels tres plans consumeix dades més ràpidament? Justifica la teva resposta fent servir el concepte de pendent.
2. b) Si un usuari té un límit de $6$ GB diaris, quantes hores de vídeo podria veure amb el Pla B abans d'esgotar les seves dades?

Observa la gràfica següent, que representa dues funcions de proporcionalitat directa, $r$ i $s$. Mostren els punts obtinguts per dos jugadors en un videojoc al llarg del temps (el temps està en minuts).

1. a) Troba l'equació de la recta $r$ sabent que passa pel punt $P(2, 10)$.

1. b) Troba l'equació de la recta $s$ sabent que passa pel punt $Q(4, 8)$.

1. c) Què representa el pendent en aquest context?

En una botiga d'aplicacions, la descàrrega d'un lot de "monedes virtuals" per a un joc segueix una funció lineal. Sabem que $500$ monedes costen $4,50$ €.

1. a) Calcula la constant de proporcionalitat (preu per moneda).
2. b) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el nombre de monedes ($x$) amb el cost en euros ($y$).
3. c) Si un adolescent té estalviats $15$ €, quantes monedes podrà comprar com a màxim?

Troba l'equació de la funció de proporcionalitat directa $y = mx$ la gràfica de la qual passa pel punt $A(-3, 12)$. Representa la funció gràficament indicant almenys dos punts més per on passi la recta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de repartiment vola a una velocitat constant de $12$ metres per segon ($\text{m/s}$).

1. a) Completa la taula següent, que relaciona el temps de vol ($x$) amb la distància recorreguda ($y$):

Temps ($\text{s}$)	$1$	$5$	$10$	$30$
Distància ($\text{m}$)	$12$

1. b) Representa gràficament la funció en uns eixos cartesians (temps a l'eix horitzontal i distància a l'eix vertical).

1. c) Indica quina és el pendent i explica quin significat físic té en aquest problema.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Indica, de manera raonada, quines de les taules següents corresponen a una funció de proporcionalitat directa. Per a les que ho siguin, calcula la seva constant de proporcionalitat ($m$) i escriu la seva equació.

Taula 1:

$x$	$2$	$4$	$6$
$y$	$10$	$20$	$30$

Taula 2:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$7$	$9$

Taula 3:

$x$	$-1$	$-3$	$-5$
$y$	$4$	$12$	$20$

Una empresa d'impressió 3D cobra als instituts únicament pel material utilitzat. Es sap que $100$ grams de filament PLA costen $3,50$ €.

1. a) Determina la funció que calcula el cost ($y$) segons els grams de material ($x$).
2. b) És una funció creixent o decreixent? Per què?
3. c) Si la peça que vols imprimir per al teu projecte de Tecnologia pesa $45$ grams, quant et costarà la impressió?

En una plataforma de streaming de videojocs, la qualitat de la transmissió consumeix dades de manera proporcional al temps d'ús. Un usuari ha comprovat que després de jugar durant $15$ minuts, el seu encaminador indica un consum de $1,2$ Gigabytes (GB).

• Determina la constant de proporcionalitat $m$ que relaciona el consum de dades ($y$, en GB) amb el temps ($x$, en minuts).

• Escriu l'equació de la funció lineal que modela aquesta situació.

• Si l'usuari té un límit diari de $5$ GB abans que la seva velocitat es redueixi, quants minuts i segons exactes pot jugar mantenint aquesta qualitat?

Un laboratori de robòtica està provant un prototip que es desplaça en línia recta a velocitat constant. Es sap que la funció que relaciona la distància recorreguda ($d$) amb el temps ($t$) és una funció de proporcionalitat directa. En l'instant $t = 4,5$ segons, el robot ha recorregut exactament $11,25$ metres.

• Calcula el pendent de la funció i indica quina magnitud física representa en aquest context.

• Escriu l'expressió algebraica de la funció.

• Si el robot ha de recorrer una pista de $0,05$ quilòmetres, quant de temps trigarà? Expressa el resultat en segons.

El gràfic següent mostra la relació entre el volum d'aigua ($V$) en un recipient cilíndric i l'alçada ($h$) que assoleix el nivell de l'aigua. A causa de la forma del recipient, aquesta relació és de proporcionalitat directa.

• A partir dels punts observats en el gràfic, determina la constant de proporcionalitat.

• Escriu l'equació que permet calcular el volum en funció de l'alçada.

• Quina alçada assolirà l'aigua si aboquem $7$ litres al recipient?

En un taller de disseny, utilitzen una màquina de tall làser que consumeix energia de manera proporcional a l'àrea del material tallat. S'ha observat que per tallar $4$ peces quadrades de $15$ cm de costat cadascuna, la màquina consumeix $180$ Juls (J).

• Calcula el consum d'energia per cada centímetre quadrat tallat ($cm^2$).

• Defineix la funció lineal que relaciona el consum total d'energia ($y$) amb la superfície tallada ($x$).

• Quanta energia consumiria la màquina per tallar un únic panell rectangular de $0,4$ metres de llarg per $25$ centímetres d'ample?

Dos amics, Lucía i Marcos, estan estalviant per a un viatge. Lucía estalvia a un ritme constant que s'expressa mitjançant la funció $f(x) = 12,5x$, on $x$ és el nombre de setmanes i $y$ els diners estalviats en euros. Marcos no sap la seua funció, però sap que a la setmana $8$ tenia estalviats exactament $92$ euros i que el seu estalvi també és proporcional al temps.

1. a) Troba l'equació de la funció de Marcos, $g(x)$.

1. b) Representa les dues funcions en uns mateixos eixos de coordenades (esbós).

1. c) Quin dels dos té un "pendent" més gran? Interpreta aquest resultat en termes de qui estalvia més ràpid.

1. d) Si el viatge costa $300$ euros, quantes setmanes de diferència hi haurà entre el moment en què Lucía aconseguisca els diners i el moment en què els aconseguisca Marcos?

Un mapa a escala mostra una relació de proporcionalitat directa entre la distància mesurada en el paper ($x$, en mil·límetres) i la distància real en el terreny ($y$, en quilòmetres). Sabem que una distància real de $150$ km es representa al mapa amb un segment de $60$ mm.

• Determina l'equació de la funció lineal que permet convertir mm del mapa a km reals.

• Quina distància real separa dues ciutats si al mapa estan a $14,4$ centímetres? (Ves amb compte amb les unitats).

• Si volem representar una ruta de senderisme de $12.500$ metres, quants mil·límetres mesurarà al mapa?

La llei de Hooke estableix que l'allargament d'una molla és directament proporcional a la força que s'hi aplica. Una molla mesura $12$ cm en repòs. En penjar-hi un pes de $2$ kg, la molla passa a mesurar $15$ cm.

• Alcompte: La funció de proporcionalitat relaciona la força (o massa, en aquest cas) amb l'allargament (el que augmenta la longitud), no amb la longitud total. Calcula l'allargament produït pels $2$ kg.

• Determina la constant de proporcionalitat $m$ ($cm/kg$).

• Escriu la funció $y = mx$ que relaciona l'allargament $y$ amb la massa $x$.

• Quina serà la longitud total de la molla si hi pengem un pes de $5,4$ kg?

Una empresa de reciclatge de plàstic estima que el pes del polietilè obtingut ($y$) és directament proporcional al nombre d'ampolles buides processades ($x$). En processar un contenidor amb $120$ ampolles, s'obtenen $3,3$ kg de material reciclat.

• Troba la constant de proporcionalitat i explica el seu significat.

• Si l'empresa rep una comanda per fabricar peces que requereixen $55$ kg de plàstic, quantes ampolles hauran de reciclar?

• Si per cada ampolla reciclada l'empresa rep una subvenció de $0,015$ €, escriu la funció lineal que relaciona els diners rebuts ($D$) amb el pes del plàstic obtingut ($y$). (Nota: hauràs de combinar la relació ampolles-pes amb la relació ampolles-diners).